2022年高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試試卷 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試試卷 文（含解析）新人教A版 注意事項(xiàng)： 1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息 2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上 第I卷（選擇題） 請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明 評(píng)卷人 得分 一、選擇題（題型注釋） 1．已知集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D. 【解析】 試題分析：先求出集合，然后根據(jù)集合與集合的交集可得，.故應(yīng)選D. 考點(diǎn)：集合的基本運(yùn)算. 2．已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)等于（ ） A.2 B.

2、 C. D. 【答案】A. 【解析】 試題分析：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡復(fù)數(shù)，由純虛數(shù)的定義知，，解得.故應(yīng)選A. 考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義. 3．“”是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的（ ） A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件 【答案】B. 【解析】 試題分析：若，則，由二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)知，在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，即“”是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的充分條件；反過來，若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則，即，不能推出，即“”不是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的

3、必要條件.綜上所述，“”是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的充分不必要條件，故應(yīng)選B. 考點(diǎn)：二次函數(shù)的單調(diào)性；充分條件與必要條件. 4．已知函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B. 【解析】 試題分析：根據(jù)分段函數(shù)的解析式，由即可得到，，故應(yīng)選B. 考點(diǎn)：分段函數(shù)求值. 5．已知兩個(gè)不同的平面和兩個(gè)不重合的直線m、n，有下列四個(gè)命題： ①若； ②若； ③若； ④若. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ） A.0

4、 B.1 C.2 D.3 【答案】D. 【解析】 試題分析：對(duì)于①，因?yàn)?，所以直線與平面所成的角為，又因?yàn)椤?，所以直線與平面所成的角也為，即命題成立，故正確； 對(duì)于②，若，，則經(jīng)過作平面，設(shè)，，又因?yàn)?，，所以在平面?nèi)，，，所以直線、是平行直線.因?yàn)?，，∥，所以?經(jīng)過作平面，設(shè)，，用同樣的方法可以證出∥.因?yàn)?、是平面?nèi)的相交直線，所以∥，故正確； 對(duì)于③，因?yàn)?，∥，所?又因?yàn)椋?，故正確； 對(duì)于④，因?yàn)椤?，，?dāng)直線在平面內(nèi)時(shí)，∥成立，但題設(shè)中沒有在平面內(nèi)這一條件，故不正確.綜上所述，其中正確命題的個(gè)數(shù)是3個(gè)，應(yīng)選D.

5、 考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論. 6．若實(shí)數(shù)滿足條件，則的最大值是（ ） A.8 B.7 C.4 D.2 【答案】B. 【解析】 試題分析：首先根據(jù)題意畫出約束條件所表示的區(qū)域如下圖所示，然后令，則，要求的最大值，即是求的截距最大，由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)C時(shí)，其截距最大，聯(lián)立直線方程，解之得，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為，將其代入得，. 考點(diǎn)：線性規(guī)劃. 7．一個(gè)三棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正三角形，其正（主）視圖如右圖所示.該三棱錐側(cè)面積和體積分別是（ ） A.

6、 B. C. D. 【答案】A. 【解析】 試題分析： 如圖，由題意得三棱錐中，，高，是邊長為2的等邊三角形，所以，所以該三棱錐的體積.又因?yàn)椤推矫?，所以點(diǎn)是的重心，所以，⊥，，所以，所以該三棱錐側(cè)面積.故應(yīng)選A. 考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積. 8．若函數(shù)的大致圖像如右圖，其中為常數(shù)，則函數(shù)的大致圖像是（ ） 【答案】B. 【解析】 試題分析：由函數(shù)的圖像為減函數(shù)可知，，再由圖像的平移知，的圖像由向左平移可知，，故函數(shù)的大致圖像為B選項(xiàng). 考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì). 9．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F的直線與雙曲線的右

7、支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此直線的斜率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】 試題分析：雙曲線的漸近線方程是，過右焦點(diǎn)分別作兩條漸近線的平行線和，由下圖圖像可知，符合條件的直線的斜率的范圍是.故應(yīng)選A. 考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的斜率；雙曲線的簡單性質(zhì). 10．設(shè)向量，，定義一種運(yùn)算“”。向量.已知，，點(diǎn)的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在的圖象上運(yùn)動(dòng)且滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的最小值為（ ） A. B. C.2 D. 【答案】B.

8、【解析】 試題分析：由題意知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則， 又因?yàn)辄c(diǎn)Q在的圖象上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足的解析式，即. 所以函數(shù)的最小值為-2.故應(yīng)選B. 考點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算. 第II卷（非選擇題） 請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明 評(píng)卷人 得分 二、填空題（題型注釋） 11．某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值等于 . 【答案】. 【解析】 試題分析：當(dāng)時(shí)， 第一次執(zhí)行循環(huán)體：，； 第二次執(zhí)行循環(huán)體：，； 第三次執(zhí)行循環(huán)體：，； 第四次執(zhí)行循環(huán)體：，，此時(shí)輸出. 考點(diǎn)：程序框圖與算法. 12．函數(shù)的圖像，其部

9、分圖象如圖所示，則_______. 【答案】. 【解析】 試題分析：由圖像可知，，，所以，所以，所以，即函數(shù)，由五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法可知，當(dāng)時(shí)，有，所以，所以，所以.故應(yīng)填. 考點(diǎn)：由函數(shù)的部分圖像確定其解析式. 13．已知圓C過點(diǎn)，且圓心在軸的負(fù)半軸上，直線被該圓所截得的弦長為，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . 【答案】. 【解析】 試題分析：設(shè)圓C的圓心C的坐標(biāo)為，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.圓心C到直線的距離為：，又因?yàn)樵搱A過點(diǎn)，所以其半徑為.由直線被該圓所截得的弦長為以及弦心距三角形知，，即，解之得：或（舍）.所以，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓的位置關(guān)系.

10、 14．下面給出的四個(gè)命題中： ①以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為； ②若，則直線與直線相互垂直； ③命題“，使得”的否定是“，都有”； ④將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象。 其中是真命題的有___________（將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）． 【答案】①②③. 【解析】 試題分析：①拋物線是焦點(diǎn)為，圓的半徑為，所以圓的方程為，正確； ②當(dāng)時(shí)，兩直線方程為和，兩直線垂直，所以正確； ③根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題可知其正確； ④函數(shù)向右平移，得到的函數(shù)為，所以不正確. 所以正確的命題有①②③.故應(yīng)填①②③. 考點(diǎn)：特稱命題；命題的否定；函數(shù)的

11、圖像變換；拋物線的簡單性質(zhì). 15．已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． 【答案】. 【解析】 試題分析：因?yàn)椋杂苫静坏仁街?，，?dāng)且僅當(dāng)即 等號(hào)成立.問題恒成立轉(zhuǎn)化為，即，由一元二次不等式解法知，. 考點(diǎn)：一元二次不等式及其解法；均值不等式的應(yīng)用. 評(píng)卷人 得分 三、解答題（題型注釋） 16．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，且滿足，. （1）求的面積； （2）若、的值. 【答案】（1）2；（2），. 【解析】 試題分析：（1）首先利用倍角公式可求得的值，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出的值；然后運(yùn)用數(shù)量積的定義化簡得出；最

12、后運(yùn)用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積；（2）由（1）知，因?yàn)橐阎?，可求出，利用余弦定理可?jì)算出的值，再由正弦定理即可求出的值，即為所求. 試題解析：（1）, 而 又，， （2）而， ， 又， 考點(diǎn)：向量的數(shù)量積；余弦定理；正弦定理. 17．如圖所示，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且分別是線段PA、PD、CD、BC的中點(diǎn). （1）求證：BC//平面EFG； （2）求證：平面AEG； （3）求三棱錐E-AFG與四棱錐P-ABCD的體積比. 【答案】（1）因?yàn)锽C∥AD,AD∥EF,所以BC∥EF. 因?yàn)?，所以∥平面EFG； （2）

13、因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥DH ，即 AE⊥DH 因?yàn)椤鰽DG≌△DCH ，所以∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°，所以∠AGD+∠HDC=90°，所以DH⊥AG 又因?yàn)锳E∩AG=A，所以DH⊥平面AEG； （3）. 【解析】 試題分析：（1）首先利用平行公理即平行的傳遞性證明BC∥EF，再由已知條件并運(yùn)用線面平行的判定，證明∥平面EFG；（2）由已知PA⊥平面ABCD，可得PA⊥DH即證明了AE⊥DH，然后利用△ADG≌△DCH 得出對(duì)應(yīng)角相等即∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°即證明了DH⊥AG，從而由直線與平面的判定定理可證DH⊥平面AEG；（3

14、）由三棱錐的等體積可得，，然后根據(jù)三棱錐和四棱錐的體積計(jì)算公式即可求出其體積比. 試題解析：（1）因?yàn)锽C∥AD,AD∥EF,所以BC∥EF. 因?yàn)?，所以∥平面EFG. （2）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥DH ，即 AE⊥DH 因?yàn)椤鰽DG≌△DCH ，所以∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°，所以∠AGD+∠HDC=90°，所以DH⊥AG 又因?yàn)锳E∩AG=A，所以DH⊥平面AEG. （3）. 考點(diǎn)：組合幾何體的面積、體積問題；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定. 18．某公司有男職員45名，女職員15名，按照分層抽樣的方法組建了一個(gè)4人的科研攻關(guān)小組.

15、 （1）求某職員被抽到的概率及科研攻關(guān)小組中男、女職員的人數(shù)； （2）經(jīng)過一個(gè)月的學(xué)習(xí)、討論，這個(gè)科研攻關(guān)組決定選出兩名職員做某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，方法是先從小組里選出1名職員做實(shí)驗(yàn)，該職員做完后，再從小組內(nèi)剩下的職員中選一名做實(shí)驗(yàn)，求選出的兩名職員中恰有一名女職員的概率； （21）試驗(yàn)結(jié)束后，第一次做試驗(yàn)的職員得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為68，70，71，72，74，第二次做試驗(yàn)的職員得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為69，70，70，72，74，請(qǐng)問哪位職員的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定？并說明理由. 【答案】（1）某職員被抽到的概率為；男、女職員的人數(shù)分別為3,1；（2）； （3）第二次做試驗(yàn)的職員做的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定. 【解析】 試題分

16、析：（1）根據(jù)題意，由總?cè)藬?shù)與抽取的人數(shù)，計(jì)算可得某職員被抽到的概率，進(jìn)而設(shè)出該科研攻關(guān)小組中男職員的人數(shù)為，由分層抽樣的方法可得，解之可得的值，即可得出該科研攻關(guān)小組中男、女職員的人數(shù)；（2）先計(jì)算出選出兩名職員的基本事件數(shù)，有共12種；再算出恰有一名女職員的事件數(shù)，最后由古典概型的計(jì)算公式即可得出所求的概率； （3）由題意計(jì)算出兩名職員的平均數(shù)和方差，并比較大小，依據(jù)在均值相同的情況下，方差越小其穩(wěn)定程度越好，即可判斷哪位職員做的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定. 試題解析：（1）所以某職員被抽到的概率為. 設(shè)有名男職員，則，所以，所以男、女職員的人數(shù)分別為3,1. （2）把3名男職員和1名女職員記為，

17、則選取兩名職員的基本事件有共12種，其中有一名女職員的有6種. 所以選出的兩名職員中恰有一名女職員的概率為. （3）， ， 第二次做試驗(yàn)的職員做的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定. 考點(diǎn)：古典概型及其計(jì)算公式；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率. 19．在數(shù)列中，已知. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （3）設(shè)數(shù)列滿足的前項(xiàng)和. 【答案】（1）； （2）因?yàn)?，所?因?yàn)椋睿詳?shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列. （3）. 【解析】 試題分析：（1）直接由題意知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知，即為所求；（2）將（1）中的結(jié)

18、論代入中，化簡得，由等差數(shù)列的定義知，數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列.即為所證. （3）由（1）和（2）知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列.所以數(shù)列的前項(xiàng)和可用分組求和進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果. 試題解析：（1）,∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴. （2）因?yàn)?，所?因?yàn)?，公差，所以?shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列. （3）由（1）知，, 所以 所以 . 考點(diǎn)：等差數(shù)列；等比數(shù)列；分組求和. 20．已知函數(shù). （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若直線是曲線的切線，求實(shí)數(shù)的值； （3）設(shè)在區(qū)間上的最小值.（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） 【答案】（1）的單調(diào)遞

19、減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值=；當(dāng)時(shí)，最小值為. 【解析】 試題分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，分別令導(dǎo)函數(shù)大于0即可求出增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0即可求出減區(qū)間； （2）首先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后直接利用切線的斜率即為切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值以及切點(diǎn)是直線與曲線的共同點(diǎn)可得方程組，解之即可求實(shí)數(shù)的值； （3）先求出的導(dǎo)函數(shù)，分三種情況討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即當(dāng)，即時(shí)， 在區(qū)間上為增函數(shù)，所以最小值為；當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，所以最小值為；當(dāng)，即時(shí)，最小值=.進(jìn)而求得其在區(qū)間上的最小值. 試題解析：（1），（），在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，.所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是

20、和，單調(diào)遞增區(qū)間是. （2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則 ,解得，. （3），則，令，解得，所以，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，在區(qū)間上，為遞增函數(shù). 當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，為遞增函數(shù)，所以最小值為. 當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，所以最小值為. 當(dāng)，即時(shí)，最小值=. 綜上所述，當(dāng)時(shí)，最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值=；當(dāng)時(shí)，最小值為. 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值. 21．已知橢圓過點(diǎn)，且長軸長等于4. （1）求橢圓C的方程； （2）是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，圓O是以為直徑的圓，直線與圓O相切，并與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 試題分析：（1）由題意長軸長為4求得的值，在由橢圓過點(diǎn)建立方程求解即可求出其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由于圓O是以為直徑的圓，直線與圓O相切，利用直線與圓相切的充要條件得到一個(gè)等式，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立利用整體代換的思想，根據(jù)建立k的方程求k即可. 試題解析：（1）由題意，橢圓的長軸長，得， 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以得， 所以橢圓的方程為. （2）由直線l與圓O相切，得，即， 設(shè)，由消去y，整理得 由題意可知圓O在橢圓內(nèi)，所以直線必與橢圓相交，所以. 所以 因?yàn)?，所? 又因?yàn)?，所以，，得k的值為. 考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.