2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次五校聯(lián)考試題 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次五校聯(lián)考試題 文（含解析）新人教A版 本試卷共4頁(yè)，21小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘 【試卷綜析】試題比較平穩(wěn)，基本符合高考復(fù)習(xí)的特點(diǎn)，穩(wěn)中有變，變中求新,適當(dāng)調(diào)整了試卷難度，考查的知識(shí)涉及到函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等幾章知識(shí)，重視學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考察，同時(shí)側(cè)重考察了學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和思維能力的考察，有相當(dāng)一部分的題目靈活新穎，知識(shí)點(diǎn)綜合與遷移。試卷的整體水準(zhǔn)應(yīng)該說(shuō)可以看出編寫(xiě)者花費(fèi)了一定的心血。但是綜合知識(shí)、創(chuàng)新題目的題考的有點(diǎn)少,試題以它的知識(shí)性、思辨性、靈活性，基礎(chǔ)性充分體現(xiàn)了考素質(zhì)，考基礎(chǔ)，考方法，考潛能的檢測(cè)功能。試題起到了引

2、導(dǎo)高中數(shù)學(xué)向全面培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的方向發(fā)展的作用. 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 【題文】1．已知集合，集合，則 A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】集合運(yùn)算. A1 【答案解析】B 解析：集合B用列舉法表示為：，所以 故選B. 【思路點(diǎn)撥】先把集合B用列舉法表示，再根據(jù)交集定義求. 【題文】2．設(shè)復(fù)數(shù)，，若，則 A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)運(yùn)算. L4 【答案解析】A 解析：因?yàn)?，所? ，所以x=-2，故選A. 【思路點(diǎn)撥】利

3、用復(fù)數(shù)乘法求得，由復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)則復(fù)數(shù)的虛部為0得結(jié)論. 【題文】3．已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是 A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】空間中線面平行、垂直的判定與性質(zhì). G4 G5 【答案解析】D 解析：對(duì)于選項(xiàng)A: m,n平行、相交、異面都有可能；對(duì)于選項(xiàng)B: 可能平行、可能相交；對(duì)于選項(xiàng)C： 可能平行、可能相交；所以選項(xiàng)A、B、C都不正確，故選D. 【思路點(diǎn)撥】依次分析各選項(xiàng)得選項(xiàng)A、B、C都不正確，故選D. 【題文】4．已知向量，且，則的值為 A． B． C．5 D．13 【知識(shí)點(diǎn)】向量共線的意義；向量模的計(jì)算.

4、F1 F2 【答案解析】B 解析：由，且得12=-3x，即x=-4,所以 ，故選B. 【思路點(diǎn)撥】由向量共線得x=-4，從而得. 【題文】5．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則 A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列. D2 【答案解析】C 解析：由得，所以，又 所以，從而d=2，所以，故選C. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求得，再由求得d=2， 所以. 【題文】6．執(zhí)行如右圖所示的程序框圖，則輸出的= A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】算法與程序框圖. L1 【答案解

5、析】D 解析：由程序框圖得循環(huán)過(guò)程中y的取值依次是這是一個(gè)以3為周期的周期數(shù)列，而xx除以3余1，所以輸出的y值是此數(shù)列的第一個(gè)數(shù)2，故選D. 【思路點(diǎn)撥】由程序框圖得y取值規(guī)律: 以3為周期的周期數(shù)列,由此得輸出的y值. 【題文】7．將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后所得的 圖像的一個(gè)對(duì)稱軸是 A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖像與性質(zhì). C4 【答案解析】A 解析：將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后所得： ，而對(duì)稱軸是使函數(shù)取得最值的x值，經(jīng)檢驗(yàn)成立，故選A. 【思路點(diǎn)撥】函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后為， 再根據(jù)對(duì)稱軸是使函數(shù)取得最

6、值的x值得結(jié)論. 【題文】8．函數(shù)在區(qū)間[0，4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 A．4 B．5 C．6 D． 7 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn). B9 【答案解析】C 解析：由得x-1=0或，又 所以，所以x=1或，所以函數(shù)在區(qū)間[0，4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是6，故選C. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義:函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)值為0的方程的根，因此只需求方程解的個(gè)數(shù)即可. 【題文】9．已知直線，若曲線上存在兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為 A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系. H4 【答案解析】D 解析：因?yàn)榍€是圓， 若圓上存在兩點(diǎn)

7、P、Q關(guān)于直線對(duì)稱，則直線， 過(guò)圓心（-1,3），所以，解得，故選D. 【思路點(diǎn)撥】將已知曲線方程配方得其為圓，若圓上存在兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱，則 直線過(guò)圓心，由此得關(guān)于m的方程，從而求得m值. 【題文】10．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有成立，則不等式的解集是 A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. B4 B12 【答案解析】A 解析：構(gòu)造函數(shù)，則， 所以是上過(guò)點(diǎn)（1,0）的增函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，從而得； 當(dāng)時(shí)，從而得.由于函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以 不等式的解集,故選A. 【思路點(diǎn)撥】構(gòu)造

8、函數(shù)，確定函數(shù)是上過(guò)點(diǎn)（1,0）的增函數(shù)，由此得在（0,1）上，在上，由函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，得不等式的解集. 二、填空題：本大題共5題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分． （一）必做題（11～13題） 【題文】11. 函數(shù)的定義域?yàn)? 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的定義域. B1 【答案解析】 解析：自變量x滿足的條件為 所以函數(shù)的定義域?yàn)? 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)有意義的條件列出關(guān)于x的不等式組求解. 【題文】12.一個(gè)幾何體的三視圖如圖， 則該幾何體的體積為 . 【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的三視圖. G2 【答案解析】 解析：

9、由三視圖可知此幾何體 是底面半徑為2，高為3的半圓柱，所以其體積為 . 【思路點(diǎn)撥】由幾何體的三視圖得該幾何體的形狀，從而求該幾何體的體積. 【題文】13.設(shè)雙曲線的離心率為2，且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，則此雙曲線的方程為_(kāi)___. 【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線與拋物線的幾何性質(zhì). H6 H7 【答案解析】 解析：根據(jù)題意知：雙曲線的離心率，一焦點(diǎn), 所以，從而，又焦點(diǎn)在y軸上，所以，此雙曲線的方程為. 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)已知條件求得雙曲線的字母參數(shù)a,b,c的值，再由焦點(diǎn)位置求得雙曲線方程. （二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題） 【題文】14. （幾

10、何證明選講選做題）如圖，是圓的切線，切點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上， ，，則圓的面積為_(kāi)_______． 【知識(shí)點(diǎn)】幾何證明. N1 【答案解析】 解析：連接OC，因?yàn)镃D是圓O的切線， C為切點(diǎn)，所以,因?yàn)椋? 所以,作于H，則H為BC中點(diǎn)，因?yàn)锽C=，所以 所以半徑OC=，所以圓的面積為. 【思路點(diǎn)撥】利用圓的切線的性質(zhì)及垂徑定理，求得圓的半徑，從而求出圓面積. 【題文】15. （正四棱錐與球體積選做題）棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球的體積為_(kāi)_______． 【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球. G8 【答案解析】 解析：因?yàn)檎襟w外接球的直徑是正方體的對(duì)角線，而正方體的棱長(zhǎng)為1，所以球

11、的直徑，棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球的體積為： . 【思路點(diǎn)撥】由正方體外接球的直徑等于正方體的對(duì)角線，求得正方體的外接球的直徑，進(jìn)而求得球的體積. 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分。解答需寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟． 【題文】16．（本小題滿分12分） 已知函數(shù) （1）求函數(shù)的最小正周期和值域； （2）若，求的值． 【知識(shí)點(diǎn)】二倍角公式；兩角和與差的三角函數(shù)；三角函數(shù)的性質(zhì)；三角函數(shù)的求值. C6 C5 C3 C7 【答案解析】(1) 的最小正周期為，值域?yàn)?(2) . 解析：（1）由已知，得 -------4分- 所以的最小正

12、周期為，值域?yàn)? ……6分 （2）由（1）知，所以. …8分 所以， ……………………………12分 或由得：…………8分 兩邊平方得：，所以.……………12分 【思路點(diǎn)撥】(1)利用二倍角公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知函數(shù)得： ，由此求函數(shù)的最小正周期和值域； （2）由（1）及得，所以 . 【題文】17．（本小題滿分13分） 某中學(xué)高三年級(jí)從甲（文）、乙（理）兩個(gè)年級(jí)組各選出7名學(xué)生參加高校自主招生數(shù)學(xué)選拔考試，他們?nèi)〉玫某煽?jī)（滿分100分）的莖葉圖如圖所示，其中甲組學(xué)生的平均分是85，乙組學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83． （1）求和的值； （2）計(jì)算甲組7位學(xué)

13、生成績(jī)的方差； （3）從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生， 求甲組至少有一名學(xué)生的概率． 【知識(shí)點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體（莖葉圖）；概率. I2 K2 【答案解析】（1）x=5,y=3;（2）. 解析：（1）∵甲組學(xué)生的平均分是85， ∴. ∴.……………1分 ∵乙組學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83， ∴.……………………2分 （2）甲組7位學(xué)生成績(jī)的方差為： …………5分 （3）甲組成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有兩名，分別記為， 乙組成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有三名，分別記為. ……………6分 從這五名學(xué)生任意抽取兩名學(xué)生共有10種情況： .…9分 其中

14、甲組至少有一名學(xué)生共有7種情況： .………11分 記“從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，甲組至少有一名學(xué)生”為事件， 則.…………………12分 答：從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，甲組至少有一名學(xué)生的概率為. 【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)的意義x、y的值；（2）90分以上的學(xué)生共5名，其中有2名甲組學(xué)生，3名乙組學(xué)生，從這5名學(xué)生中隨機(jī)取出2名學(xué)生的情況有10種，可用列舉法一一寫(xiě)出來(lái)，其中甲組至少有一名學(xué)生共有7種情況，所以從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，其中甲組至少有一名學(xué)生的概率是. 【題文】18．（本小題滿分13分） 如圖甲，在平面

15、四邊形ABCD中，已知，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如圖乙），設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn)． （1）求證：DC平面ABC； （2）設(shè)，求三棱錐A－BFE的體積． 【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的判定與性質(zhì)； 幾何體體積的計(jì)算. G1 G4 G5 【答案解析】(1)略；（2） 解析：（1）證明：在圖甲中，∵且 ∴ ,即………………1分 又在圖乙中，∵平面ABD平面BDC ，且平面ABD平面BDC＝BD ∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．…………………………3分 ∵，∴DC⊥BC…………………………4分 又由…………………………5分

16、 ∴DC平面ABC．…………………………6分[] （2）∵點(diǎn)E、F分別為AC、AD的中點(diǎn)∴EF//CD………………7分 又由（1）知，DC平面ABC ∴EF⊥平面ABC …………………………8分 于是EF即為三棱錐的高， ∴……………9分 在圖甲中，∵, ∴, 由得 ,……………11分 ∴∴………12分 ∴………………13分 （若有其他解法，可視情況酌情給分） 【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，只需在平面ABC中找到兩條相交直線都與直線DC垂直即可，顯然平面ABC中的兩條相交直線是BC和BA；（2）∵點(diǎn)E、F分別為AC、AD的中點(diǎn)，∴EF//CD，又由（1）知，

17、DC平面ABC，∴EF⊥平ABC ， =. 【題文】19．（本小題滿分14分） 各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前四項(xiàng)的和為，且成等比數(shù)列． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和； （2）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值． 【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和；數(shù)列求和；恒成立問(wèn)題. D2 D4 【答案解析】(1) ，;(2) .解析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由已知得……………………2分 解得或 由數(shù)列的各項(xiàng)均不相等，所以…………3分 所以，解得. …………………………4分 故，……………………6分 （2）因?yàn)椤?分 所以………

18、……10分 因?yàn)閷?duì)恒成立。即，，對(duì)恒成立。 等價(jià)于對(duì)恒成立。…………………11分 又， 且在時(shí)取等號(hào)……………13分 所以實(shí)數(shù)的最小值為. …………14分 【思路點(diǎn)撥】(1)由已知條件獲得關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解方程組，求得首項(xiàng)和公差， 從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和；（2）由裂項(xiàng)求和法求得， 因?yàn)閷?duì)恒成立. 即，，對(duì)恒成立. 等價(jià)于對(duì)恒成立. 又， 且在時(shí)取等號(hào)，所以實(shí)數(shù)的最小值為. 【題文】20．（本小題滿分14分） 已知橢圓：（）的上頂點(diǎn)為，過(guò)的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為．若有一個(gè)菱形的頂點(diǎn)、在橢圓上，該菱形對(duì)角線所在直線的斜率為． （1）求橢圓的方程；

19、 （2）當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，求直線的方程； （3）當(dāng)時(shí)，求菱形面積的最大值. 【知識(shí)點(diǎn)】橢圓及其幾何性質(zhì)；直線的方程；直線與圓錐曲線. H5 H1 H8 【答案解析】(1) ; (2) ; (3) 解析：（1）依題意，…………………………1分 解，得，…………………………2分 所以，，…………………………3分 于是橢圓的方程為?！?分 （2）由已知得直線：，…………………………5分 設(shè)直線：，、…………………………6分 由方程組得，………………7分 當(dāng)時(shí)， AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，……8分 因?yàn)槭橇庑?，所以的中點(diǎn)在上， 所以，解得

20、，滿足，…………9分 所以的方程為。………………10分 （3）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且，所以? 所以菱形的面積，………………11分 由（2）可得 ………13分 又因?yàn)椋援?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，菱形的面積取得最大值， 最大值為?！?4分 【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)題意得，解得a,b值，進(jìn)而得到橢圓的方程；（2）利用直線方程的點(diǎn)斜式得直線BD方程y=-x+1. 設(shè)直線AC:y=x+b,代入橢圓方程，由韋達(dá)定理得用b表示的線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)，此坐標(biāo)滿足直線BD方程，求得b，從而得到直線AC的方程. （3）在菱形ABCD中，由知：，所以菱形ABCD的面積可用對(duì)角線AC的長(zhǎng)表示為，由弦長(zhǎng)公式得關(guān)于

21、b的表達(dá)式，即得到菱形ABCD的面積S關(guān)于b的函數(shù)，求此函數(shù)最大值即可. 【題文】21．（本小題滿分14分） 已知函數(shù)，． （1）若，判斷函數(shù)是否存在極值，若存在，求出極值；若不存在，說(shuō)明理由； （2）設(shè)函數(shù)，若至少存在一個(gè)，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （3）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. B12 【答案解析】 解析：（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)椋?，+￥）. 因?yàn)?，………?分 所以在（0，+￥）上單調(diào)遞增，……………2分 所以函數(shù)不存在極值. ………………3分 （2）由存在一個(gè)，使得成立， 等價(jià)于，即成立……………4分 令，等價(jià)于“當(dāng)

22、時(shí)，”.…5分 因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，， 所以在上單調(diào)遞增，……………7分 故，因此. ………8分 （3）函數(shù)的定義域?yàn)椋? …………9分 當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵冢?，+￥）上恒成立， 所以在（0，+￥）上單調(diào)遞減.…10分 當(dāng)時(shí)，在上， 方程與方程有相同的實(shí)根. 時(shí)，D>0，可得，， 且……………11分 因?yàn)闀r(shí)，，所以在上單調(diào)遞增； 因?yàn)闀r(shí)， ，所以在上單調(diào)遞減； 因?yàn)闀r(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；……………12分 ②當(dāng)時(shí)，，所以在（0，+￥）上恒成立， 故在（0，+￥）上單調(diào)遞增. ……………13分 綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為（0，+￥）； 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為與； 單調(diào)減區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為（0，+￥）.……………14分 【思路點(diǎn)撥】（1）當(dāng)a=1時(shí)，，x>0，則在上恒成立，所以在（0，+￥）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)不存在極值. （2）至少存在一個(gè)，使得成立，即至少存在一個(gè)，使 ，即在 有解，令，，則 ，利用導(dǎo)數(shù)求得即可；（也可用數(shù)形結(jié)合法：至少存在一個(gè)，使，也就是過(guò)定點(diǎn)（0,0）的直線y=ax的圖像在區(qū)間上，有在函數(shù) 上方的部分，所以a>0. （3）先求函數(shù)的定義域及導(dǎo)函數(shù)，再討論a的取值條件得大于零或小于零的x取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.