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1、高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 3-8 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用備選練習(xí) 文（含解析）新人教A版
(xx年青島調(diào)研)某單位設(shè)計(jì)一個(gè)展覽沙盤(pán)，現(xiàn)欲在沙盤(pán)平面內(nèi)，設(shè)計(jì)一個(gè)對(duì)角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示．為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD用一根長(zhǎng)為5米的材料彎折而成，邊BA，AD用一根長(zhǎng)為9米的材料彎折而成，要求∠A和∠C互補(bǔ)，且AB＝BC.
(1)設(shè)AB＝x米，cos A＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范圍；
(2)求四邊形ABCD面積的最大值．
解析：(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A.
同理，在△CBD中，BD2＝CB2＋CD2－
2、2CB·CD·cos C.
∵∠A和∠C互補(bǔ)，∴cos C＝－cos A，
∴AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝CB2＋CD2＋2CB·CD·cos A.
即x2＋(9－x)2－2x(9－x)cos A＝x2＋(5－x)2＋2x(5－x)·cos A，
解得cos A＝，又∵5－x>0,9－x>0，且cos A<1，
∴x∈(2,5)，即f(x)＝，其中x∈(2,5)．
(2)四邊形ABCD的面積為S＝S△ABD＋S△CBD
＝(AB·AD＋CB·CD)sin A＝[x(9－x)＋x(5－x)]·＝x(7－x) ＝ ＝.
記g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2,5)．
∴g′ (x)＝2x(x2－14x＋49)＋ (x2－4)(2x－14)
＝2(x－7)·(2x2－7x－4)＝2(x－7)(2x＋1)(x－4)，
令g′(x)＝0，得x＝4或x＝7(舍)或x＝－0.5(舍)．
∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(2,4)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞減．
∴g(x)的最大值為g(4)＝12×9＝108，∴四邊形ABCD的面積S的最大值為＝6，
∴所求四邊形ABCD面積的最大值為6平方米．
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