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1、高中數(shù)學 模塊學習評價 新人教B版選修2-1
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)
1.(xx·臨沂高二檢測)命題“a?A或b?B”的否定形式是( )
A.若a?A,則b?B B.a(chǎn)∈A或b∈B
C.a(chǎn)?A且b?B D.a(chǎn)∈A且b∈B
【解析】 “p或q”的否定為“綈p且綈q”,D正確.
【答案】 D
2.若橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,則雙曲線-=1的離心率為( )
A. B.
C. D.
【解析】 由題意,1-=()2=,∴=,而雙曲線的離心率e2=1+=1+=,
2、∴e=.
【答案】 B
3.(xx·廣州高二檢測)若a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+λb)⊥a,則實數(shù)λ的值是( )
A.-1 B.0
C.1 D.-2
【解析】 ∵a+λb=(0,1,-1)+(λ,λ,0)=(λ,1+λ,-1)
∵(a+λb)⊥a,∴(a+λb)·a=1+λ+1=0,∴λ=-2.
【答案】 D
4.(xx·亳州高二檢測)下列說法正確的是( )
A.“x2=1”是“x=1”的充分不必要條件
B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分條件
C.命題“?x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“?x∈R,均有x2+x
3、+1<0”
D.命題“若α=β,則sin α=sin β”的逆否命題為真命題
【解析】 “x2=1”是“x=1”的必要不充分條件,“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要條件,A、B均不正確;C中命題的否定應該為“?x∈R,均有x2+x+1≥0”,故C不正確.
【答案】 D
5.若點P在曲線2x2-y=0上移動,則點A(0,-1)與點P連線中點M的軌跡方程是( )
A.y=2x2 B.y=8x2
C.2y=8x2-1 D.2y=8x2+1
【解析】 設P、M點的坐標分別為(x0,y0)、(x,y),則有:
,即.
將(x0,y0)代入2x2-y=0中得8x2
4、-2y-1=0
即2y=8x2-1.
【答案】 C
6.(xx·北京高考)雙曲線x2-=1的離心率大于的充分必要條件是
( )
A.m> B.m≥1
C.m>1 D.m>2
【解析】 ∵雙曲線x2-=1的離心率e=,又∵e>,
∴>,∴m>1.
【答案】 C
7.如圖1,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,M、N分別為A1B1、CC1的中點,P為AD上一動點,記α為異面直線PM與D1N所成的角,則α的集合是( )
圖1
A.{} B.{α|≤α≤}
C.{α|≤α≤} D.{α|≤α≤}
【解析】 分別以DA、DC、DD1所在的直線為x、
5、y、z軸,D為原點建系,連結AM、DM,可以證明⊥,⊥,故D1N⊥平面ADM,∴D1N⊥PM,即α=.
【答案】 A
8.(xx·天津高考)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準線分別交于A,B兩點,O為坐標原點.若雙曲線的離心率為2,△AOB的面積為,則p=( )
A.1 B.
C.2 D.3
【解析】 由已知得=2,所以=4,解得=,即漸近線方程為y=±x.而拋物線準線方程為x=-,于是A,B,從而△AOB的面積為·p·=,可得p=2.
【答案】 C
9.給出兩個命題:p:|x|=x的充要條件是x為正實數(shù),q:不等式|x
6、-y|≤|x|+|y|取等號的條件是xy<0,則下列命題是真命題的是( )
A.p∧q B.p∨q
C.(綈p)∧q D.(綈p)∨q
【解析】 命題p為假,因為x=0時,也有|x|=x成立;命題q也為假,因為當x=0或y=0時,|x-y|≤|x|+|y|也成立,因此只有(綈p)∨q為真命題.
【答案】 D
10.(xx·濟南高二檢測)直線y=x-3與拋物線y2=4x交于A、B兩點,過A、B兩點向拋物線的準線作垂線,垂足為P、Q,則梯形APQB的面積為( )
A.48 B.56
C.64 D.72
【解析】 聯(lián)立可解得A(1,-2),B(9,6)
∵拋物線
7、準線為x=-1,∴|AP|=2,|BQ|=10,|PQ|=8,
∴S==48.
【答案】 A
11.已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),點Q在直線OP上運動,則當·取得最小值時,點Q的坐標為( )
A.(,,) B.(,,)
C.(,,) D.(,,)
【解析】 設點Q(x,y,z),由點Q在上,
∴∥,則有Q(λ,λ,2λ)(λ為參數(shù)),
∴=(1-λ,2-λ,3-2λ),
=(2-λ,1-λ,2-2λ),
∴·=6λ2-16λ+10
=6(λ-)2-.
當λ=時,
·取得最小值.
故此時Q(,,).
【答案】 C
12.(xx
8、·課標全國卷Ⅰ)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交E于A,B兩點.若AB的中點坐標為(1,-1),則E的方程為( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】 設A(x1,y1),B(x2,y2),
則
①-②得=-.
∴=-.
∵x1+x2=2,y1+y2=-2,∴kAB=.
而kAB==,∴=,∴a2=2b2,
∴c2=a2-b2=b2=9,∴b=c=3,a=3,
∴E的方程為+=1.
【答案】 D
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.)
13.(xx·南昌高二檢測)已知雙曲線-=1的右焦
9、點為(,0),則該雙曲線的漸近線方程為________.
【解析】 由題意得:9+a=13,∴a=4,故漸近線方程為y=±x.
【答案】 y=±x
14.已知a,b是兩個命題,如果a是b的充分條件,那么“綈a”是“綈b”的________條件.
【解析】 由題意a?b成立,故其逆否命題為綈b?綈a也成立.
∴“綈a”是“綈b”的必要條件.
【答案】 必要
15.已知正方體ABCD—A1B1C1D1,P、M為空間任意兩點,如果有=+6+7+4,那么M點一定在平面________內(nèi).
【解析】 ∵=-=+6+6+4
=+6+4
=+2+4,
∴-=2+4,
即=2+4.
10、故,,共面,即M點在平面A1BCD1內(nèi).
【答案】 A1BCD1
16.(xx·寧波高二檢測)有下列命題:①雙曲線-=1與橢圓+y2=1有相同的焦點;②“-
11、推不出小范圍,
∴是充分而不必要條件,故②錯;
③中,a和b所在直線可能重合,故③錯;
④中,a,b,c可以不共面,例如平行六面體以一個頂點為起點引出的三個向量,故④錯;
⑤中,Δ=9-12<0,故對?x∈R,x2-3x+3≠0成立,故⑤正確.
【答案】 ①⑤
三、解答題(本大題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.)
17.(本小題滿分10分)已知p:2x2-9x+a<0,q:且綈q是綈p的必要條件,求實數(shù)a的取值范圍.
【解】 由
得即2<x<3.
∴q:2<x<3.
設A={x|2x2-9x+a<0},B={x|2<x<3},
∵綈p?綈q,
12、∴q?p.∴BA.
即2<x<3滿足不等式2x2-9x+a<0.設f(x)=2x2-9x+a,
要使2<x<3滿足不等式2x2-9x+a<0,
需即
∴a≤9.故所求實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤9}.
18.(本小題滿分12分)如圖2,四邊形MNPQ是圓C的內(nèi)接等腰梯形,向量與的夾角為120°,·=2.
(1)求圓C的方程;
(2)求以M,N為焦點,過點P,Q的橢圓方程.
圖2
【解】 (1)建立如圖坐標系,由題意得:△CQM為正三角形.
∴·=r2·cos 60°=2,∴r=2,
∴圓C的方程為:x2+y2=4.
(2)M(2,0),N(-2,0),Q(1,
13、),2a=|QN|+|QM|=2+2.
∴c=2,a=+1,b2=a2-c2=2.
∴橢圓方程為:+=1.
19.(本小題滿分12分)如圖3,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB=1,BM⊥PD于點M.
圖3
(1)求證:AM⊥PD;
(2)求直線CD與平面ACM所成的角的余弦值.
【解】 (1)證明 ∵PA⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,
∴PA⊥AB.
∵AB⊥AD,AD∩PA=A,
∴AB⊥平面PAD.
∵PD?平面PAD,
∴AB⊥PD.
∵BM⊥PD,AB∩BM=B,
∴PD⊥平面ABM.
∵AM?
14、平面ABM,∴AM⊥PD.
(2)如圖所示,以點A為坐標原點,建立空間直角坐標系Axyz,則A(0,0,0),P(0,0,2),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),M(0,1,1),
于是=(1,2,0),=(0,1,1),=(-1,0,0).
設平面ACM的一個法向量為n=(x,y,z),
由n⊥,n⊥可得
令z=1,得x=2,y=-1,于是n=(2,-1,1).
設直線CD與平面ACM所成的角為α,
則sin α=||=,cos α=.
故直線CD與平面ACM所成的角的余弦值為.
圖4
20.(本小題滿分12分)(xx·江蘇高考)如圖4,在直三
15、棱柱A1B1C1—ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,點D是BC的中點.
(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值;
(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值.
【解】 (1)以A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系A—xyz,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4) ,C1(0,2,4),所以=(2,0,-4),=(1,-1,-4).
因為cos〈,〉===,
所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.
(2)設平面ADC1的法向量為n1=(x,y,z),因為=(1,1,0),=(0,2
16、,4),所以n1·=0,n1·=0,即x+y=0且y+2z=0,取z=1,得x=2,y=-2,所以,n1=(2,-2,1)是平面ADC1的一個法向量.取平面AA1B的一個法向量為n2=(0,1,0),設平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為θ.
由|cos θ|===,得sin θ=.
因此,平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.
21.(本小題滿分12分)(xx·課標全國卷)設拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,準線為l,A為C上一點,已知以F為圓心,F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B,D兩點.
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面積為4,求p的值及圓F的方程;
(
17、2)若A,B,F(xiàn)三點在同一直線m上,直線n與m平行,且n與C只有一個公共點,求坐標原點到m,n距離的比值.
【解】 (1)由已知可得△BFD為等腰直角三角形,|BD|=2p,圓F的半徑|FA|=p.由拋物線定義可得A到l的距離d=|FA|=p.
因為△ABD的面積為4,所以|BD|·d=4,即·2p·p=4,
解得p=-2(舍去)或p=2.
所以F(0,1),圓F的方程為x2+(y-1)2=8.
(2)因為A,B,F(xiàn)三點在同一直線m上,所以AB為圓F的直徑,∠ADB=90°.
由拋物線定義知|AD|=|FA|=|AB|,
所以∠ABD=30°,m的斜率為或-.
當m的斜率為時,
18、由已知可設n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.
由于n與C只有一個公共點,故Δ=p2+8pb=0.
解得b=-.
因為m的截距b1=,=3,所以坐標原點到m,n距離的比值為3.
當m的斜率為-時,由圖形對稱性可知,坐標原點到m,n距離的比值也為3.
綜上,坐標原點到m,n距離的比值為3.
22.(本小題滿分12分)設x,y∈R,i、j為直角坐標平面內(nèi)x,y軸正方向上的單位向量,若向量a+b=2xi+2yj,a-b=4j,|a|+|b|=8.
(1)求動點M(x,y)的軌跡C的方程;
(2)過點(0,3)作直線l與曲線C交于A,B兩點,設=,是否存在這樣的直
19、線l,使四邊形OAPB是矩形?若存在,求出l的方程;若不存在,請說明理由.
【解】 (1)|a|+|b|=8,得+
=8.
∴M(x,y)到兩定點F1(0,-2),F(xiàn)2(0,2)的距離之和為8,且|F1F2|<8,則動點M的軌跡C是以F1,F(xiàn)2為焦點的橢圓.
故點M的軌跡C的方程為:+=1.
(2)由題意可知直線l的斜率存在,設其方程為y=kx+3,代入橢圓方程得(4+3k2)x2+18kx-21=0.
Δ=(18k)2+84(4+3k2)>0恒成立,設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=-,x1x2=-.
由=,∴四邊形OAPB為平行四邊形,若存在直線l,使四邊形OAPB為矩形,則OA⊥OB,即·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0.
則(1+k2)·(-)+3k·(-)+9=0.
解得:k=±,∴存在直線l為:y=±x+3,此時四邊形OAPB為矩形.