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1、高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語綜合檢測 新人教B版選修2-1
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)
1.命題:“若x2<1,則-1<x<1”的逆否命題是( )
A.若x2≥1,則x≥1,或x≤-1
B.若-1<x<1,則x2<1
C.若x>1,或x<-1,則x2>1
D.若x≥1或x≤-1,則x2≥1
【解析】 命題“若p,則q”的逆否命題為“若綈q,則綈p”.
【答案】 D
2(xx·濟南高二期末)若一個命題p的逆命題是一個假命題,則下列判斷一定正確的是( )
A.命題p是真命題
B.命題p的否命
2、題是假命題
C.命題p的逆否命題是假命題
D.命題p的否命題是真命題
【解析】 命題p的逆命題與其否命題是互為逆否命題,具有相同的真假性,其他命題的真假無法確定.
【答案】 B
3.(xx·合肥高二檢測)命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是
( )
A.所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)
B.所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)
C.存在一個不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)
D.存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)
【解析】 把全稱量詞改為存在量詞并把結(jié)論否定.
【答案】 D
4.(xx·福建高考)設(shè)點P(x,y),則“x=2且y=-1”是“點P在直線l:x+y-1=0上”的(
3、 )
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
【解析】 當(dāng)x=2且y=-1時,滿足方程x+y-1=0, 即點P(2,-1)在直線l上.點P′(0,1)在直線l上,但不滿足x=2且y=-1,∴“x=2且y=-1”是“點P(x,y)在直線l上”的充分而不必要條件.
【答案】 A
5.(xx·安徽高考)設(shè)平面α與平面β相交于直線m,直線a在平面α內(nèi),直線b在平面β內(nèi),且b⊥m,則“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【解析】 當(dāng)α⊥β時,由于α∩
4、β=m,b?β,b⊥m,由面面垂直的性質(zhì)定理知,b⊥α.又∵a?α,∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分條件.
而當(dāng)a?α且a∥m時,∵b⊥m,∴b⊥a.而此時平面α與平面β不一定垂直,∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要條件,故選A.
【答案】 A
6.已知命題p:“a=1”是“?x>0,x+≥2”的充分必要條件;命題q:?x0∈R,x+x0-1>0,則下列結(jié)論中正確的是( )
A.命題“p∧q”是真命題
B.命題“p∧綈q”是真命題
C.命題“綈p∧q”是真命題
D.命題“綈p∧綈q”是真命題
【解析】 當(dāng)a=1時,x+=x+≥2對?x>0成立,但反之不成立,故“a=1”
5、是“?x>0,x+≥2”的充分不必要條件,p為假命題,而q為真命題,故只有C正確.
【答案】 C
7.下列命題錯誤的是( )
A.命題“若m>0,則方程x2+x-m=0有實根”的逆否命題為:“若方程x2+x-m=0無實根,則m≤0”
B.“x=2”是“x2-5x+6=0”的充分不必要條件
C.若p∧q為假命題,則p、q均為假命題
D.對于命題:?x∈R,使得x2+x+1<0,則綈p:?x∈R,均有x2+x+1≥0
【解析】 A、B、D都正確,對于C選項,若p∧q為假命題,可能p、q均為假命題,也有可能p、q一真一假,故C錯.
【答案】 C
8.(xx·鄭州高二檢測)下面四個
6、條件中,使a>b成立的充分而不必要條件是( )
A.a(chǎn)>b+1 B.a(chǎn)>b-1
C.a(chǎn)2>b2 D.a(chǎn)3>b3
【解析】 由a>b+1,得a>b,反之不成立.
【答案】 A
9.(xx·湛江高二檢測)對?x∈R,kx2-kx-1<0是真命題,則k的取值范圍是( )
A.-4≤k≤0 B.-4≤k<0
C.-4<k≤0 D.-4<k<0
【解析】 由題意即kx2-kx-1<0對任意x∈R恒成立,當(dāng)k=0時,-1<0恒成立;當(dāng)k≠0時,有,即-4<k<0,所以-4<k≤0.
【答案】 C
10.給出下列命題:
①?x∈R,不等式x2+2x>4x-3成立;
7、
②若log2x+logx2≥2,則x>1;
③命題“若a>b>0且c<0,則>”的逆否命題;
④若命題p:?x∈R,x2+1≥1.命題q:?x0∈R,x-2x0-1≤0,則命題p∧綈q是真命題.
其中真命題有( )
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
【解析】 ①中,x2+2x>4x-3?(x-1)2+2>0恒成立,①為真命題.
②中,由log2x+logx2≥2,且log2x與logx2同號,
∴l(xiāng)og2x>0,∴x>1,②為真命題.
③中,易知“a>b>0且c<0時,>”,
∴原命題為真命題,故逆否命題為真命題,③為真命題.
在④中,p、q均為
8、真命題,則命題p∧綈q為假命題.
【答案】 A
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.)
11.“相似三角形的面積相等”的否命題是________.它的否定是________.
【答案】 若兩個三角形不相似,則它們的面積不相等 有的相似三角形的面積不相等
12.已知f(x)=x2+2x-m,如果f(1)>0是假命題,f(2)>0是真命題,則實數(shù)m的取值范圍是______.
【解析】 依題意,∴3≤m<8.
【答案】 [3,8)
13.設(shè)n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n=________.
【解析】 由Δ=16-4n≥0得n≤4,又∵
9、n∈N*,故n=1,2,3,4,驗證可知n=3,4,符合題意;反之,當(dāng)n=3,4時,可以推出一元二次方程有整數(shù)根.
【答案】 3或4
14.給出以下判斷:
①命題“負數(shù)的平方是正數(shù)”不是全稱命題;
②命題“?x∈N,x3>x2”的否定是“?x0∈N,使x>x”;
③“b=0”是“函數(shù)f(x)=ax2+bx+c為偶函數(shù)”的充要條件;
④“正四棱錐的底面是正方形”的逆命題為真命題.
其中正確命題的序號是________.
【解析】?、佗冖苁羌倜},③是真命題.
【答案】?、?
三、解答題(本大題共4小題,共50分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.)
15.(本小題滿分
10、12分)π為圓周率,a、b、c、d∈Q,已知命題p:若aπ+b=cπ+d,則a=c且b=d.
(1)寫出綈p并判斷真假;
(2)寫出p的逆命題、否命題、逆否命題并判斷真假.
【解】 (1)綈p:“若aπ+b=cπ+d,則a≠c或b≠d”.
∵a、b、c、d∈Q,由aπ+b=cπ+d,
∴π(a-c)=d-b∈Q,則a=c且b=d.
故p是真命題,∴綈p是假命題.
(2)逆命題:“若a=c且b=d,則aπ+b=cπ+d”.真命題.
否命題:“若aπ+b≠cπ+d,則a≠c或b≠d”.真命題.
逆否命題:“若a≠c或b≠d,則aπ+b≠cπ+d”.真命題.
16.(本小題滿分1
11、2分)設(shè)命題p:?x0∈R,x+2ax0-a=0.命題q:?x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1.如果命題“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題,求實數(shù)a的取值范圍.
【解】 當(dāng)p為真時,Δ=4a2+4a≥0得a≥0或a≤-1,當(dāng)q為真時,(a+2)x2+4x+a-1≥0恒成立,
∴即a≥2.
由題意得,命題p與q一真一假.
當(dāng)命題p為真,命題q為假時,得a≤-1或0≤a<2.
當(dāng)命題p為假,命題q為真時,得a∈?.
∴實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-1]∪[0,2).
17.(本小題滿分12分)設(shè)a,b,c為△ABC的三邊,求證:方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0
12、有公共根的充要條件是∠A=90°.
【證明】 充分性:∵∠A=90°,
∴a2=b2+c2.
于是方程x2+2ax+b2=0可化為x2+2ax+a2-c2=0,
∴x2+2ax+(a+c)(a-c)=0.
∴[x+(a+c)][x+(a-c)]=0.
∴該方程有兩根x1=-(a+c),x2=-(a-c),
同樣另一方程x2+2cx-b2=0也可化為x2+2cx-(a2-c2)=0,即[x+(c+a)][x+(c-a)]=0,
∴該方程有兩根x3=-(a+c),x4=-(c-a).
可以發(fā)現(xiàn),x1=x3,
∴方程有公共根.
必要性:設(shè)x是方程的公共根,
則
由①+②,得
13、x=-(a+c),x=0(舍去).
代入①并整理,可得a2=b2+c2.
∴∠A=90°.
∴結(jié)論成立.
圖1
18.(本小題滿分14分)(xx·陜西高考)(1)如圖1所示,證明命題“a是平面π內(nèi)的一條直線,b是π外的一條直線(b不垂直于π),c是直線b在π上的投影,若a⊥b,則a⊥c”為真;
(2)寫出上述命題的逆命題,并判斷其真假(不需證明).
【解】
(1)
(1)法一 如圖(1),過直線b上任一點作平面π的垂線n,設(shè)直線a,b,c,n的方向向量分別是a,b,c,n,則b,c,n共面.
根據(jù)平面向量基本定理,存在實數(shù)λ,μ使得c=λb+μn,
則a·c=a·(λb+μn)=λ(a·b)+μ(a·n).
因為a⊥b,所以a·b=0.
又因為aπ,n⊥π,
所以a·n=0.
故a·c=0,從而a⊥c.
(2)
法二 如圖(2),記c∩b=A,P為直線b上異于點A的任意一點,過P作PO⊥π,垂足為O,則O∈c.
因為PO⊥π,aπ,所以直線PO⊥a.
又a⊥b,b平面PAO,PO∩b=P,
所以a⊥平面PAO.
又c平面PAO,
所以a⊥c.
(2)逆命題為:a是平面π內(nèi)的一條直線,b是π外的一條直線(b不垂直于π),c是直線b在π上的投影,若a⊥c,則a⊥b.
逆命題為真命題.