2022-2023版高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布 2.2 二項分布及其應用 2.2.3 獨立重復試驗與二項分布學案 新人教A版選修2-3

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1、2022-2023版高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布 2.2 二項分布及其應用 2.2.3 獨立重復試驗與二項分布學案 新人教A版選修2-3 學習目標　1.理解n次獨立重復試驗的模型.2.掌握二項分布公式.3.能利用獨立重復試驗的模型及二項分布解決一些簡單的實際問題． 知識點一　獨立重復試驗 思考1　要研究拋擲硬幣的規(guī)律，需做大量的擲硬幣試驗．其前提是什么？ 答案　條件相同． 思考2　試驗結果有哪些？ 答案　正面向上或反面向上，即事件發(fā)生或者不發(fā)生． 思考3　各次試驗的結果有無影響？ 答案　無，即各次試驗相互獨立． 梳理　(1)定義：在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立

2、重復試驗． (2)基本特征： ①每次試驗是在同樣條件下進行． ②每次試驗都只有兩種結果：發(fā)生與不發(fā)生． ③各次試驗之間相互獨立． ④每次試驗，某事件發(fā)生的概率都是一樣的． 知識點二　二項分布 在體育課上，某同學做投籃訓練，他連續(xù)投籃3次，每次投籃的命中率都是0.8，用Ai(i＝1,2,3)表示第i次投籃命中這個事件，用Bk表示僅投中k次這個事件． 思考1　用Ai如何表示B1，并求P(B1)． 答案　B1＝(A12 3)∪(1A23)∪(1 2A3)， 因為P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8， 且A12 3，1A23，1 2A3兩兩互斥， 故P(B1)＝0.8×0

3、.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22 ＝3×0.8×0.22＝0.096. 思考2　試求P(B2)和P(B3)． 答案　P(B2)＝3×0.2×0.82＝0.384， P(B3)＝0.83＝0.512. 思考3　由以上問題的結果你能得出什么結論？ 答案　P(Bk)＝C0.8k0.23－k(k＝0,1,2,3)． 梳理　在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p， 則P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率． 1．有放回地抽樣試驗是獨立重

4、復試驗．(　√　) 2．在n次獨立重復試驗中，各次試驗的結果相互沒有影響．(　√　) 3．在n次獨立重復試驗中，各次試驗中事件發(fā)生的概率可以不同．(　×　) 4．如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.(　√　) 類型一　獨立重復試驗的概率 例1　甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是和，假設每次射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響．(結果需用分數(shù)作答) (1)求甲射擊3次，至少有1次未擊中目標的概率； (2)求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標1次

5、的概率． 考點　獨立重復試驗的計算 題點　n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率 解　(1)記“甲射擊3次至少有1次未擊中目標”為事件A1，由題意，知射擊3次，相當于3次獨立重復試驗，故P(A1)＝1－P(1)＝1－3＝. (2)記“甲射擊2次，恰有2次擊中目標”為事件A2，“乙射擊2次，恰有1次擊中目標”為事件B2，則P(A2)＝C×2＝，P(B2)＝C×1×＝，由于甲、乙射擊相互獨立，故P(A2B2)＝×＝. 引申探究 1．在本例(2)的條件下，求甲、乙均擊中目標1次的概率． 解　記“甲擊中目標1次”為事件A3，“乙擊中目標1次”為事件B3，則P(A3)＝C××＝，P(B3)＝

6、， 所以甲、乙均擊中目標1次的概率為P(A3B3)＝×＝. 2．在本例(2)的條件下，求甲未擊中，乙擊中2次的概率． 解　記“甲未擊中目標”為事件A4，“乙擊中2次”為事件B4，則P(A4)＝C2＝，P(B4)＝C2＝，所以甲未擊中、乙擊中2次的概率為P(A4B4)＝×＝. 反思與感悟　獨立重復試驗概率求法的三個步驟 (1)判斷：依據(jù)n次獨立重復試驗的特征，判斷所給試驗是否為獨立重復試驗． (2)分拆：判斷所求事件是否需要分拆． (3)計算：就每個事件依據(jù)n次獨立重復試驗的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計算． 跟蹤訓練1　某氣象站天氣預報的準確率為80%，計算(結果

7、保留到小數(shù)點后面第2位)： (1)“5次預報中恰有2次準確”的概率； (2)“5次預報中至少有2次準確”的概率． 考點　獨立重復試驗的計算 題點　n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率 解　(1)記“預報一次準確”為事件A，則P(A)＝0.8， 5次預報相當于5次獨立重復試驗． “恰有2次準確”的概率為 P＝C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05， 因此5次預報中恰有2次準確的概率約為0.05. (2)“5次預報中至少有2次準確”的對立事件為“5次預報全部不準確或只有1次準確”． 其概率為P＝C×(0.2)5＋C×0.8×0.24＝0.006 72. 所以所求概

8、率為1－P＝1－0.006 72≈0.99. 所以“5次預報中至少有2次準確”的概率約為0.99. 類型二　二項分布 例2　已知某種從太空飛船中帶回來的植被種子每粒成功發(fā)芽的概率都為，某植物研究所分兩個小組分別獨立開展該種子的發(fā)芽試驗，每次試驗種一粒種子，如果某次沒有發(fā)芽，則稱該次試驗是失敗的． (1)第一小組做了3次試驗，記該小組試驗成功的次數(shù)為X，求X的分布列； (2)第二小組進行試驗，到成功了4次為止，求在第4次成功之前共有3次失敗的概率． 考點　二項分布的計算及應用 題點　求二項分布的分布列 解　(1)由題意，得隨機變量X可能取值為0,1,2,3， 則X～B. 即P

9、(X＝0)＝C03＝， P(X＝1)＝C12＝， P(X＝2)＝C21＝， P(X＝3)＝C3＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P (2)第二小組第7次試驗成功，前面6次試驗中有3次失敗，3次成功，每次試驗又是相互獨立的， 因此所求概率為P＝C3×3×＝. 反思與感悟　(1)當X服從二項分布時，應弄清X～B(n，p)中的試驗次數(shù)n與成功概率p. (2)解決二項分布問題的兩個關注點 ①對于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，必須在滿足“獨立重復試驗”時才能應用，否則不能應用該公式． ②判斷一個隨機變量是

10、否服從二項分布，關鍵有兩點：一是對立性，即一次試驗中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復性，即試驗是獨立重復地進行了n次． 跟蹤訓練2　某一中學生心理咨詢中心服務電話接通率為，某班3名同學商定明天分別就同一問題詢問該服務中心．且每人只撥打一次，求他們中成功咨詢的人數(shù)X的分布列． 考點　二項分布的計算及應用 題點　求二項分布的分布列 解　由題意可知X～B， 所以P(X＝k)＝Ck·3－k，k＝0,1,2,3， 即P(X＝0)＝C×0×3＝； P(X＝1)＝C××2＝； P(X＝2)＝C×2×＝； P(X＝3)＝C×3＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P

11、 類型三　二項分布的綜合應用 例3　一名學生每天騎自行車上學，從家到學校的途中有5個交通崗，假設他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是. (1)求這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的分布列； (2)求這名學生在首次遇到紅燈或到達目的地停車前經(jīng)過的路口數(shù)η的分布列； (3)求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率． 考點　二項分布的計算及應用 題點　二項分布的實際應用 解　(1)由ξ～B，則P(ξ＝k)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5. 即P(ξ＝0)＝C×0×5＝； P(ξ＝1)＝C××4＝； P(ξ＝2)＝C×2×3＝； P(ξ＝3)

12、＝C×3×2＝； P(ξ＝4)＝C×4×＝； P(ξ＝5)＝C×5＝. 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 5 P (2)η的分布列為P(η＝k)＝P(前k個是綠燈，第k＋1個是紅燈)＝k·，k＝0,1,2,3,4， 即P(η＝0)＝0×＝； P(η＝1)＝×＝； P(η＝2)＝2×＝； P(η＝3)＝3×＝； P(η＝4)＝4×＝； P(η＝5)＝P(5個均為綠燈)＝5. 故η的分布列為 η 0 1 2 3 4 5 P (3)所求概率為P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0) ＝1－5

13、＝. 反思與感悟　對于概率問題的綜合題，首先，要準確地確定事件的性質(zhì)，把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨立事件、獨立重復試驗四類事件中的某一種；其次，要判斷事件是A＋B還是AB，確定事件至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別應用相加或相乘事件公式；最后，選用相應的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨立事件、n次獨立重復試驗的概率公式求解． 跟蹤訓練3　一個口袋內(nèi)有n(n>3)個大小相同的球，其中3個紅球和(n－3)個白球，已知從口袋中隨機取出1個球是紅球的概率為p.若6p∈N，有放回地從口袋中連續(xù)4次取球(每次只取1個球)，在4次取球中恰好2次取到紅球的概率大于，求p與n的值． 考點　二項分布

14、的計算及應用 題點　二項分布的實際應用 解　由題設知，Cp2(1－p)2>. ∵p(1－p)>0， ∴不等式化為p(1－p)>， 解得

15、 A．C2× B．C2× C.2× D.2× 考點　獨立重復試驗的計算 題點　用獨立重復試驗的概率公式求概率 答案　C 解析　P(X＝3)＝2×. 3．在4次獨立重復試驗中，隨機事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生2次的概率，則事件A在1次試驗中發(fā)生的概率p的取值范圍是(　　) A．[0.4,1] B．(0,0.4] C．(0,0.6] D．[0.6,1] 考點　獨立重復試驗的計算 題點　n次獨立重復試驗概率的應用 答案　A 解析　由題意知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2， 解得p≥0.4，故選A. 4．設X～B(2，p)，若P(X≥1)＝

16、，則p＝________. 考點　二項分布的計算及應用 題點　二項分布的實際應用 答案　 解析　因為X～B(2，p)， 所以P(X＝k)＝Cpk(1－p)2－k，k＝0,1,2. 所以P(X≥1)＝1－P(X<1)＝1－P(X＝0) ＝1－Cp0(1－p)2＝1－(1－p)2. 所以1－(1－p)2＝，結合0

17、 解　由題意知，ξ的可能取值為0,1,2,3， 且P(ξ＝0)＝C×3＝， P(ξ＝1)＝C××2＝， P(ξ＝2)＝C×2×＝， P(ξ＝3)＝C×3＝， 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 1．獨立重復試驗要從三方面考慮：第一，每次試驗是在相同條件下進行的；第二，各次試驗的結果是相互獨立的；第三，每次試驗都只有兩種結果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生． 2．如果1次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.此概率公式恰為[(1－p)＋p]n展開式的第k＋1項，故稱該公

18、式為二項分布公式． 一、選擇題 1．若X～B(10,0.8)，則P(X＝8)等于(　　) A．C×0.88×0.22 B．C×0.82×0.28 C．0.88×0.22 D．0.82×0.28 考點　二項分布的計算及應用 題點　利用二項分布求概率 答案　A 2．某學生通過英語聽力測試的概率為，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是(　　) A. B. C. D. 考點　獨立重復試驗的計算 題點　n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率 答案　B 解析　記“恰有1次獲得通過”為事件A， 則P(A)＝C·2＝. 3．一射手對同一目標

19、獨立地進行4次射擊，已知至少命中一次的概率為，則此射手的命中率是(　　) A. B. C. D. 考點　獨立重復試驗的計算 題點　n次獨立重復試驗概率的應用 答案　B 解析　設此射手的命中概率為x，則不能命中的概率為1－x，由題意知4次射擊全部沒有命中目標的概率為1－＝，有(1－x)4＝，解得x＝或x＝(舍去)． 4．甲、乙兩人進行羽毛球比賽，比賽采取五局三勝制，無論哪一方先勝三局比賽都結束，假定甲每局比賽獲勝的概率均為，則甲以3∶1的比分獲勝的概率為(　　) A. B. C. D. 考點　獨立重復試驗的計算 題點　n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率 答案　A

20、 解析　當甲以3∶1的比分獲勝時，說明甲乙兩人在前三場比賽中，甲只贏了兩局，乙贏了一局，第四局甲贏，所以甲以3∶1的比分獲勝的概率為P＝C2×＝3×××＝，故選A. 5．位于坐標原點的一個質(zhì)點P按下述規(guī)則移動：質(zhì)點每次移動一個單位，移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是，質(zhì)點P移動五次后位于點(2,3)的概率是(　　) A.5 B．C×5 C．C×3 D．C×C×5 考點　獨立重復試驗的計算 題點　n次獨立重復試驗概率的應用 答案　B 解析　如圖，由題意可知， 質(zhì)點P必須向右移動2次，向上移動3次才能位于點(2,3)，問題相當于5次重復試驗中向右恰好

21、發(fā)生2次的概率，所求概率為P＝C×2×3＝C×5.故選B. 6．設隨機變量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，則P(η≥2)的值為(　　) A. B. C. D. 考點　二項分布的計算及應用 題點　利用二項分布求概率 答案　C 解析　易知P(ξ＝0)＝C(1－p)2＝1－，∴p＝，則P(η≥2)＝Cp3＋Cp2(1－p)1＝＋＝. 7．已知X～B，則使P(X＝k)最大的k的值是(　　) A．2 B．3 C．2或3 D．4 考點　二項分布的計算及應用 題點　二項分布的實際應用 答案　B 解析　P(X＝k)＝Ck·6－k＝C6， 當k＝3時，

22、C6最大． 8．箱子里有5個黑球，4個白球，每次隨機取出一個球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率為(　　) A.3× B. C.× D．C×3× 考點　獨立重復試驗的計算 題點　用獨立重復試驗的概率公式求概率 答案　A 解析　由題意知前3次取出的均為黑球，第4次取得的為白球．故其概率為3×. 二、填空題 9．從次品率為0.1的一批產(chǎn)品中任取4件，恰有兩件次品的概率為________． 考點　獨立重復試驗的計算 題點　n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率 答案　0.048 6 解析　P＝C×(0.1)2×(

23、1－0.1)2＝0.048 6. 10．已知實驗女排和育才女排兩隊進行比賽，在一局比賽中實驗女排獲勝的概率是，沒有平局．若采用三局兩勝制，即先勝兩局者獲勝且比賽結束，則實驗女排獲勝的概率為________． 考點　獨立重復試驗的計算 題點　n次獨立重復試驗概率的計算 答案　 解析　實驗女排要獲勝必須贏得兩局，故獲勝的概率為 P＝2＋××＋××＝. 11．在等差數(shù)列{an}中，a4＝2，a7＝－4，現(xiàn)從{an}的前10項中隨機取數(shù)，每次取出一個數(shù)，取后放回，連續(xù)抽取3次，假定每次取數(shù)互不影響，那么在這三次取數(shù)中，取出的數(shù)恰好為兩個正數(shù)和一個負數(shù)的概率為________． 考點　獨

24、立重復試驗的計算 題點　n次獨立重復試驗概率的應用 答案　 解析　由已知可求得通項公式為an＝10－2n(n＝1,2,3，…)，其中a1，a2，a3，a4為正數(shù)，a5＝0，a6，a7，a8，a9，a10為負數(shù)，∴從中取一個數(shù)為正數(shù)的概率為＝，為負數(shù)的概率為.∴取出的數(shù)恰好為兩個正數(shù)和一個負數(shù)的概率為C×2×1＝. 三、解答題 12．某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2棵．設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且各棵大樹是否成活互不影響，求移栽的4棵大樹中， (1)至少有1棵成活的概率； (2)兩種大樹各成活1棵的概率． 考點　獨立重復試驗的計算 題點　n次獨立重復試驗概

25、率的應用 解　設Ak表示第k棵甲種大樹成活，k＝1,2，Bl表示第l棵乙種大樹成活，l＝1,2， 則A1，A2，B1，B2相互獨立， 且P(A1)＝P(A2)＝， P(B1)＝P(B2)＝. (1)至少有1棵成活的概率為1－P(1·2·1·2) ＝1－P(1)·P(2)·P(1)·P(2) ＝1－22＝. (2)由獨立重復試驗中事件發(fā)生的概率公式知， 所求概率為 P＝C·C ＝×＝＝. 13．在一次數(shù)學考試中，第21題和第22題為選做題．規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題．設4名考生選做每一道題的概率均為. (1)求其中甲、乙兩名學生選做同一道題的概率； (2)設

26、這4名考生中選做第22題的學生個數(shù)為ξ，求ξ的分布列． 考點　二項分布的計算及應用 題點　求二項分布的分布列 解　(1)設事件A表示“甲選做第21題”，事件B表示“乙選做第21題”， 則甲、乙兩名學生選做同一道題的事件為“AB＋ ”，且事件A，B相互獨立． 故P(AB＋ ) ＝P(A)P(B)＋P()P() ＝×＋×＝. (2)隨機變量ξ的可能取值為0,1,2,3,4， 且ξ～B. 則P(ξ＝k)＝Ck4－k ＝C4(k＝0,1,2,3,4)． 即P(ξ＝0)＝C4＝； P(ξ＝1)＝C4＝； P(ξ＝2)＝C4＝； P(ξ＝3)＝C4＝； P(ξ＝4)＝C4＝

27、. 故隨機變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P 四、探究與拓展 14．口袋里放有大小相同的兩個紅球和一個白球，每次有放回地摸取一個球，定義數(shù)列{an}，an＝如果Sn為數(shù)列{an}的前n項和，那么S7＝3的概率為(　　) A．C×2×5 B．C×2×2 C．C×2×5 D．C×2×5 考點　獨立重復試驗的計算 題點　n次獨立重復試驗概率的應用 答案　D 解析　由S7＝3知，在7次摸球中有2次摸取紅球，5次摸取白球，而每次摸取紅球的概率為，摸取白球的概率為，則S7＝3的概率為C×2×5，故選D. 15．網(wǎng)上購物逐步走進大學生活

28、，某大學學生宿舍4人積極參加網(wǎng)購，大家約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去哪家購物，擲出點數(shù)為5或6的人去淘寶網(wǎng)購物，擲出點數(shù)小于5的人去京東商城購物，且參加者必須從淘寶網(wǎng)和京東商城選擇一家購物． (1)求這4個人中恰有1人去淘寶網(wǎng)購物的概率； (2)用ξ，η分別表示這4個人中去淘寶網(wǎng)和京東商城購物的人數(shù)，令X＝ξη，求隨機變量X的分布列． 考點　二項分布的計算及應用 題點　二項分布的實際應用 解　依題意，得這4個人中，每個人去淘寶網(wǎng)購物的概率為，去京東商城購物的概率為.設“這4個人中恰有i人去淘寶網(wǎng)購物”為事件Ai(i＝0,1,2,3,4)， 則P(Ai)＝Ci4－i(i＝0,1,2,3,4)． (1)這4個人中恰有1人去淘寶網(wǎng)購物的概率為 P(A1)＝C13＝. (2)易知X的所有可能取值為0,3,4. P(X＝0)＝P(A0)＋P(A4) ＝C0×4＋C4×0 ＝＋＝， P(X＝3)＝P(A1)＋P(A3) ＝C1×3＋C3×1 ＝＋＝， P(X＝4)＝P(A2)＝C22＝. 所以隨機變量X的分布列是 X 0 3 4 P