2022-2023版高中數(shù)學 模塊綜合試卷 新人教A版選修2-3

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1、2022-2023版高中數(shù)學 模塊綜合試卷 新人教A版選修2-3 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 1.(2016·四川)設i為虛數(shù)單位,則(x+i)6的展開式中含x4的項為(  ) A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 求二項展開式的特定項 答案 A 解析 由題意可知,含x4的項為Cx4i2=-15x4. 2.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},若從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中點的坐標,則確定的不同點的個數(shù)為(  ) A.36 B.35 C.

2、34 D.33 考點 分步乘法計數(shù)原理 題點 分步乘法計數(shù)原理的應用 答案 D 解析 不考慮限定條件確定的不同點的個數(shù)為CCA=36, 但集合B,C中有相同元素1,由5,1,1三個數(shù)確定的不同點的個數(shù)只有三個,故所求的個數(shù)為36-3=33. 3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次,在第一次正面向上的條件下,第二次反面向上的概率為(  ) A. B. C. D. 考點 條件概率的定義及計算公式 題點 直接利用公式求條件概率 答案 C 解析 記事件A表示“第一次正面向上”,事件B表示“第二次反面向上”,則P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)==. 4.已知隨機變量ξ服從

3、正態(tài)分布N(1,σ2),且P(ξ<2)=0.6,則P(0<ξ<1)等于(  ) A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 考點 正態(tài)分布的概念及性質(zhì) 題點 求正態(tài)分布的均值或方差 答案 D 解析 由已知可得曲線關于直線x=1對稱,P(ξ<2)=0.6,所以P(ξ>2)=P(ξ<0)=0.4,故P(0<ξ<1)=P(0<ξ<2)=(1-0.4-0.4)=0.1. 5.給出以下四個說法: ①繪制頻率分布直方圖時,各小長方形的面積等于相應各組的組距; ②在刻畫回歸模型的擬合效果時,R2的值越大,說明擬合的效果越好; ③設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(4,22),則P(ξ>4

4、)=; ④對分類變量X與Y,若它們的隨機變量K2的觀測值k越小,則判斷“X與Y有關系”的犯錯誤的概率越?。? 其中正確的說法是(  ) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 考點 獨立性檢驗思想的應用 題點 獨立性檢驗與線性回歸方程、均值的綜合應用 答案 B 解析?、僦懈餍¢L方形的面積等于相應各組的頻率;②正確,相關指數(shù)R2越大,擬合效果越好,R2越小,擬合效果越差;③隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(4,22),正態(tài)曲線對稱軸為x=4,所以P(ξ>4)=;④對分類變量X與Y,若它們的隨機變量K2的觀測值k越小,則說明“X與Y有關系”的犯錯誤的概率越大. 6.設某地區(qū)歷史上從某次

5、特大洪水發(fā)生以后,在30年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率是0.8,在40年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率是0.85.在過去的30年內(nèi)該地區(qū)都未發(fā)生特大洪水,則在未來10年內(nèi)該地區(qū)發(fā)生特大洪水的概率是(  ) A.0.25 B.0.3 C.0.35 D.0.4 考點 互斥、對立、獨立重復試驗的概率問題 題點 互斥事件、對立事件、獨立事件的概率問題 答案 A 解析 設在未來10年內(nèi)該地區(qū)發(fā)生特大洪水的概率是P,根據(jù)條件可得,0.8×1+(1-0.8)×P=0.85,解得P=0.25. 7.某機構對兒童記憶能力x和識圖能力y進行統(tǒng)計分析,得到如下數(shù)據(jù): 記憶能力x 4 6 8 10 識圖能

6、力y 3 5 6 8 由表中數(shù)據(jù),求得線性回歸方程為=0.8x+,若某兒童記憶能力為12,則預測他的識圖能力約為(  ) A.9.5 B.9.8 C.9.2 D.10 考點 線性回歸分析 題點 線性回歸方程的應用 答案 A 解析 ∵=×(4+6+8+10)=7,=×(3+5+6+8)=5.5,∴樣本點的中心為(7,5.5), 代入回歸方程得5.5=0.8×7+,∴=-0.1, ∴=0.8x-0.1, 當x=12時,=0.8×12-0.1=9.5,故選A. 8.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中參加某項志愿者活動,要求每人參加一天且每天至多安排一人,

7、并要求甲安排在另外兩位前面,則不同的安排方法共有(  ) A.40種 B.30種 C.20種 D.60種 考點 排列的應用 題點 排列的簡單應用 答案 C 解析 分類解決.甲排周一,乙,丙只能是周二至周五4天中選兩天進行安排,有A=12(種)方法;甲排周二,乙,丙只能是周三至周五選兩天安排,有A=6(種)方法;甲排周三,乙丙只能安排在周四和周五,有A=2(種)方法.由分類加法計數(shù)原理可知,共有12+6+2=20(種)方法. 9.如圖所示,A,B,C表示3種開關,若在某段時間內(nèi)它們正常工作的概率分別為0.9,0.8,0.7,那么此系統(tǒng)的可靠性為(  ) A.0.504

8、 B.0.994 C.0.496 D.0.06 考點 互斥、對立、獨立重復試驗的概率問題 題點 互斥事件、對立事件、獨立事件的概率問題 答案 B 解析 1-P( )=1-P()·P()·P() =1-0.1×0.2×0.3=1-0.006=0.994. 10.已知5的展開式中含的項的系數(shù)為30,則a等于(  ) A. B.- C.6 D.-6 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù) 答案 D 解析 5的展開式通項Tk+1=C·(-1)kak·=(-1)kakC, 令-k=,則k=1, ∴T2=-aC,∴-aC=30,∴a=-6

9、,故選D. 11.假設每一架飛機的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1-p,且各引擎是否有故障是獨立的,已知4引擎飛機中至少有3個引擎正常運行,飛機就可成功飛行;2引擎飛機要2個引擎全部正常運行,飛機才可以成功飛行.要使4引擎飛機更安全,則p的取值范圍是(  ) A. B. C. D. 考點 獨立重復試驗的計算 題點 用獨立重復試驗的概率公式求概率 答案 B 解析 4引擎飛機成功飛行的概率為Cp3(1-p)+p4,2引擎飛機成功飛行的概率為p2,要使Cp3(1-p)+p4>p2,必有<p<1. 12.若在二項式n的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列,則把展開式中所有的項重新排成一

10、列,有理項都互不相鄰的概率為(  ) A. B. C. D. 考點 排列與組合的應用 題點 排列、組合在古典概型中的應用 答案 D 解析 注意到二項式n的展開式的通項是Tk+1=C·()n-k·k=C·2-k·.依題意有C+C·2-2=2C·2-1=n,即n2-9n+8=0,(n-1)(n-8)=0(n≥2),解得n=8.∴二項式8的展開式的通項是Tk+1=C·2-k·,展開式中的有理項共有3項,所求的概率為=. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 13.任意選擇四個日期,設X表示取到的四個日期中星期天的個數(shù),則E(X)=________,D(X)=____

11、____. 考點 二項分布、兩點分布的均值 題點 二項分布的均值 答案   解析 由題意得,X~B,所以E(X)=,D(X)=. 14.圍棋盒子中有多粒黑子和白子,已知從中取出2粒都是黑子的概率為,都是白子的概率是.則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________. 考點 排列與組合的應用 題點 排列、組合在古典概型中的應用 答案  解析 設“從中取出2粒都是黑子”為事件A,“從中取出2粒都是白子”為事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C,則C=A∪B,且事件A與B互斥.所以P(C)=P(A)+P(B)=+=.即任意取出2粒恰好是同一色的概率為. 15.某數(shù)學老

12、師身高為176 cm,他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm,170 cm和182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關,該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為________ cm. 考點 線性回歸分析 題點 線性回歸方程的應用 答案 183.5 解析 記從爺爺起向下各代依次為1,2,3,4,5用變量x表示,其中5代表孫子.各代人的身高為變量y,則有 x 1 2 3 4 y 173 170 176 182 計算知=2.5,=175.25.由回歸系數(shù)公式得=3.3, =-=175.25-3.3×2.5=167,∴線性回歸方程為=3.3x+167,當x

13、=5時,y=3.3×5+167=183.5,故預測其孫子的身高為183.5 cm. 16.某城市新修建的一條道路上有12盞路燈,為了節(jié)省用電而又不能影響正常的照明,可以熄滅其中的3盞燈,但兩端的燈不能熄滅,也不能熄滅相鄰的兩盞燈,則熄燈的方法有________種.(填數(shù)字) 考點 組合的應用 題點 有限制條件的組合問題 答案 56 解析 分析題意可知,最終剩余的亮著的燈共有9盞,且兩端的必須亮著,所以可用插空的方法,共有8個空可選,所以應為C=56(種). 三、簡答題(本大題共6小題,共70分) 17.(10分)已知(a2+1)n展開式中的各項系數(shù)之和等于5的展開式的常數(shù)項,而(

14、a2+1)n的展開式的系數(shù)最大的項等于54,求a的值. 考點 二項式定理的應用 題點 二項式定理的簡單應用 解 5的展開式的通項為Tk+1=C5-kk=5-kC, 令20-5k=0,得k=4, 故常數(shù)項T5=C×=16. 又(a2+1)n展開式的各項系數(shù)之和等于2n, 由題意知2n=16,得n=4, 由二項式系數(shù)的性質(zhì)知,(a2+1)n展開式中系數(shù)最大的項是中間項T3, 故有Ca4=54,解得a=±. 18.(12分)從7名男生和5名女生中選出5人,分別求符合下列條件的選法數(shù). (1)A,B必須被選出; (2)至少有2名女生被選出; (3)讓選出的5人分別擔任體育委員

15、、文娛委員等5種不同職務,但體育委員由男生擔任,文娛委員由女生擔任. 考點 排列與組合的應用 題點 排列組合的綜合應用 解 (1)除選出A,B外,從其他10個人中再選3人,選法數(shù)為C=120. (2)按女生的選取情況分類:選2名女生、3名男生,選3名女生、2名男生,選4名女生、1名男生,選5名女生.所有選法數(shù)為CC+CC+CC+C=596. (3)選出1名男生擔任體育委員,再選出1名女生擔任文娛委員,從剩下的10人中任選3人擔任其他3種職務.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,所有選法數(shù)為C·C·A=25 200. 19.(12分)近年來,隨著以煤炭為主的能源消耗大幅攀升、機動車持有量急劇增加,

16、某市空氣中的PM2.5(直徑小于等于2.5微米的顆粒物)的含量呈逐年上升的趨勢,如圖是根據(jù)該市環(huán)保部門提供的2011年至2015年該市PM2.5年均濃度值畫成的散點圖.(為便于計算,把2011年編號為1,2012年編號為2,…,2015年編號為5) (1)以PM2.5年均濃度值為因變量,年份的編號為自變量,利用散點圖提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出該市PM2.5年均濃度值與年份編號之間的線性回歸方程=x+; (2)按世界衛(wèi)生組織(WHO)過渡期-1的標準,空氣中的PM2.5的年均濃度限值為35微克/立方米,該市若不采取措施,試預測到哪一年該市空氣中PM2.5的年均濃度值將超過世界衛(wèi)生組

17、織(WHO)過渡期-1設定的限制. 參考公式:=,=-. 考點 線性回歸分析 題點 線性回歸方程的應用 解 (1)由散點圖可得,變量xi,yi組成的幾組數(shù)據(jù)為(1,13),(2,15),(3,20),(4,22),(5,25), 則=3,=19, 所以==3.1. =-=19-3.1×3=9.7. 所以所求線性回歸方程為=3.1x+9.7. (2)由3.1x+9.7>35,得x>8.16, 因為x∈N,所以x=9. 故可預測到2019年該市空氣中PM2.5的年均濃度值將超過世界衛(wèi)生組織(WHO)過渡期-1設定的限值. 20.(12分)將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D

18、所示的容器最上方的入口處,小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣溥^程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到黑色障礙物時向左、右兩邊下落的概率都是. (1)求小球落入A袋中的概率P(A); (2)在容器入口處依次放入4個小球,記ξ為落入A袋中小球的個數(shù),試求ξ=3的概率與ξ的均值E(ξ). 考點 常見的幾種均值 題點 二項分布的均值 解 (1)方法一 記小球落入B袋中的概率為P(B),則P(A)+P(B) =1. 由于小球每次遇到黑色障礙物時一直向左或者一直向右下落,小球?qū)⒙淙隑袋, ∴P(B)=3+3=, ∴P(A)=1-=. 方法二 由于小球每次遇到黑色障

19、礙物時,有一次向左和兩次向右或兩次向左和一次向右下落時小球?qū)⒙淙階袋,∴P(A)=C3+C3=. (2)由題意,ξ~B, ∴P(ξ=3)=C31=, ∴E(ξ)=4×=3. 21.(12分)“中國式過馬路”存在很大的交通安全隱患.某調(diào)查機構為了解路人對“中國式過馬路”的態(tài)度是否與性別有關,從馬路旁隨機抽取30名路人進行了問卷調(diào)查,得到了如下列聯(lián)表: 男性 女性 總計 反感 10 不反感 8 總計 30 已知在這30人中隨機抽取1人抽到反感“中國式過馬路”的路人的概率是. (1)請將上面的列聯(lián)表補充完整(直接寫結果,不需要寫求解過程)

20、,并據(jù)此資料分析反感“中國式過馬路”與性別是否有關? (2)若從這30人中的女性路人中隨機抽取2人參加一活動,記反感“中國式過馬路”的人數(shù)為X,求X的分布列和均值. 附:K2=. P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 考點 獨立性檢驗思想的應用 題點 獨立性檢驗與線性回歸方程、均值的綜合應用 解 (1) 男性 女性 總計 反感 10 6 16 不反感 6 8 14 總計 16 14 30 由已知數(shù)據(jù)得K2的觀測值k=≈1.158<2.706.

21、 所以,沒有充足的理由認為反感“中國式過馬路”與性別有關. (2)X的可能取值為0,1,2, P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P X的均值為E(X)=0×+1×+2×=. 22.(12分)設袋子中裝有a個紅球、b個黃球、c個藍球,且規(guī)定:取出1個紅球得1分,取出1個黃球得2分,取出1個藍球得3分. (1)當a=3,b=2,c=1時,從該袋子中依次任取(有放回,且每個球取到的機會均等)2個球,記隨機變量ξ為取出此2球所得分數(shù)之和,求ξ的分布列; (2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球,記隨機變量η為取出此球所得分數(shù).若E(η)=,D(η)=,求a∶b∶c. 考點 均值與方差的應用 題點 均值與方差的綜合應用 解 (1)根據(jù)題意,得ξ的所有可能取值為2,3,4,5,6. 故P(ξ=2)==,P(ξ=3)==, P(ξ=4)==, P(ξ=5)==, P(ξ=6)==. 所以ξ的分布列為 ξ 2 3 4 5 6 P (2)根據(jù)題意,知η的分布列為 η 1 2 3 P 所以E(η)=++=, D(η)=2·+2·+2·=, 化簡 解得a=3c,b=2c,故a∶b∶c=3∶2∶1.

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