2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末檢測試卷 新人教A版選修2-2

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1、2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末檢測試卷 新人教A版選修2-2 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 1.由曲線y=x2,直線y=0和x=1所圍成的圖形的面積是(  ) A. B. C. D. 考點(diǎn) 利用定積分求曲線所圍成圖形面積 題點(diǎn) 不需分割的圖形的面積求解 答案 C 解析 由題意知,其圍成的圖形的面積為?x2dx==. 2.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(  ) A.1 B.2 C.3 D.0 考點(diǎn) 函

2、數(shù)極值的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用 答案 A 解析 設(shè)極值點(diǎn)依次為x1,x2,x3且a

3、減區(qū)間是(  ) A. B. C., D., 考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 答案 A 解析 因?yàn)閒′(x)=2x-=, 所以f′(x)≤0等價(jià)于 解得0

4、)=2xf′(1)+x2,則等于(  ) A.- B. C.- D.- 考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 答案 C 解析 f′(x)=2f′(1)+2x,則f′(1)=2f′(1)+2, ∴f′(1)=-2, ∴f′(x)=-4+2x,f′(-1)=-6, 又f(-1)=-2f′(1)+1=5,∴=-. 7.下列定積分不大于0的是(  ) A.?|x|dx B.?(1-|x|)dx C.?|x-1|dx D.?(|x|-1)dx 考點(diǎn) 分段函數(shù)的定積分 題點(diǎn) 分段函數(shù)的定積分 答案 D 解析 A項(xiàng),?|x|dx=2?xdx=1>0;

5、B項(xiàng),?(1-|x|)dx=?1dx-?|x|dx=2-1>0; C項(xiàng),?|x-1|dx=?(1-x)dx==2>0; D項(xiàng),?(|x|-1)dx=?|x|dx-?1dx=1-2<0,故選D. 8.若函數(shù)y1=sin 2x1+,函數(shù)y2=x2+3,則(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值為(  ) A.π+ B. C.2 D. 考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用 題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用 答案 D 解析 表示兩函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)之間的距離,其最小值應(yīng)為曲線y1上與直線y2平行的切線的切點(diǎn)到直線y2的距離. ∵y′1=2cos 2x1,令y′1=1, ∴cos 2x1=,∵x1∈

6、 ∴x1=, ∴y1=,故切點(diǎn)坐標(biāo)為,切點(diǎn)到直線y2的距離為=, ∴(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值為.故選D. 9.設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln x(x>0),則f(x)(  ) A.在區(qū)間,(1,e)內(nèi)均有零點(diǎn) B.在區(qū)間,(1,e)內(nèi)均無零點(diǎn) C.在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn),在區(qū)間(1,e)內(nèi)有零點(diǎn) D.在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),在區(qū)間(1,e)內(nèi)無零點(diǎn) 考點(diǎn) 函數(shù)極值的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 函數(shù)零點(diǎn)與方程的根 答案 C 解析 由題意得f′(x)=. 令f′(x)>0得x>3;令f′(x)<0得0

7、(3,+∞)內(nèi)為增函數(shù), 在x=3處有極小值f(3)=1-ln 3<0. 因?yàn)閒(1)=>0,f(e)=-1<0, f?=+1>0, 所以f(x)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn),在區(qū)間(1,e)內(nèi)有零點(diǎn). 10.函數(shù)f(x)在定義域R上的導(dǎo)函數(shù)是f′(x),若f(x)=f(2-x),且當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),(x-1)f′(x)<0.設(shè)a=f(0),b=f(),c=f(log28),則(  ) A.cb>c C.a(chǎn)

8、∴f′(x)>0, ∴f(x)在區(qū)間(-∞,1)上為增函數(shù). 又∵f(x)=f(2-x),∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱, ∴f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為減函數(shù). ∵a=f(0)=f(2),b=f(),c=f(log28)=f(3), ∴c

9、轉(zhuǎn)化與化歸思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用 答案 C 解析 ∵f(x)=x3-x2+a,f′(x)=3x2-2x, 在區(qū)間[0,a]上存在x1,x2(00,則a的取值范圍是(  ) A.(2,+∞) B.(-∞,-2) C.(1,+∞) D.(-∞,-1) 考點(diǎn) 函數(shù)極值的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 函數(shù)

10、零點(diǎn)與方程的根 答案 B 解析 當(dāng)a=0時(shí),由f(x)=-3x2+1=0, 解得x=±,函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),不符合題意. 當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)=3ax2-6x=3ax=0, 解得x=0或x=>0, 此時(shí)f′(x),f(x)隨x的變化情況如下表: x (-∞,0) 0 f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ ∵當(dāng)x→-∞時(shí),f(x)→-∞,且f(0)=1>0, ∴存在x0<0,使得f(x0)=0,不符合題意. 當(dāng)a<0時(shí),令f′(x)=3ax2-6x=3ax=0, 解得x=0或x=<0, 此

11、時(shí)f′(x),f(x)隨x的變化情況如下表: x 0 f′(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ ∵f(0)=1>0,且當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→-∞, ∴存在x0>0,使得f(x0)=0. 又f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0, ∴極小值f?=a3-32+1>0, ∴a>2或a<-2. ∵a<0,∴a<-2. 綜上可知,a的取值范圍是(-∞,-2). 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 13.若曲線y=kx+ln x在點(diǎn)(1,k)處的切線平行于x軸,則k=________. 考點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)

12、處的切線斜率或切點(diǎn)坐標(biāo) 題點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線的斜率 答案?。? 解析 ∵y′=k+,∴y′|x=1=k+1=0,∴k=-1. 14.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 題點(diǎn) 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍) 答案 [3,+∞) 解析 由題意知f′(x)=-3x2+a≥0在區(qū)間(-1,1)上恒成立,則a≥3x2在區(qū)間(-1,1)上恒成立,故a≥3. 15.已知函數(shù)y=xf′(x)的圖象如圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),給出以下說法: ①函數(shù)f(x)在區(qū)間

13、(1,+∞)上是增函數(shù); ②函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上無單調(diào)性; ③函數(shù)f(x)在x=-處取得極大值; ④函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值. 其中正確的說法有________. 考點(diǎn) 函數(shù)極值的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用 答案?、佗? 解析 由圖象上可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),xf′(x)>0,于是f′(x)>0,故f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),故①正確; 當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f′(x)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上是減函數(shù),②錯(cuò)誤,③也錯(cuò)誤; 當(dāng)0

14、所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值,④正確. 16.若函數(shù)f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的極大值為正數(shù),極小值為負(fù)數(shù),則a的取值范圍為________. 考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 題點(diǎn) 已知極值求參數(shù) 答案  解析 f′(x)=3x2-3a2(a>0), ∴當(dāng)x<-a或x>a時(shí),f′(x)>0, 當(dāng)-a. 三、解答題(本大題共6小題,共70分) 17.(10分)已知f(x)=log3,x∈(0,+∞),是否存在實(shí)數(shù)a,b,使f(x)同時(shí)滿足下列兩個(gè)

15、條件: ①f(x)在(0,1)上是減函數(shù),在[1,+∞)上是增函數(shù); ②f(x)的最小值是1. 若存在,求出a,b,若不存在,請(qǐng)說明理由. 考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用 題點(diǎn) 已知最值求參數(shù) 解 設(shè)g(x)=,則g′(x)=, ∵f(x)在(0,1)上是減函數(shù),在[1,+∞)上是增函數(shù), ∴g(x)在(0,1)上是減函數(shù),在[1,+∞)上是增函數(shù), 又∵f(x)的最小值為1,則g(x)的最小值為3, ∴∴解得 經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)a=1,b=1時(shí),f(x)滿足題設(shè)的兩個(gè)條件. 18.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1)

16、)處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6). (1)求a的值; (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值. 考點(diǎn) 函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的條件 題點(diǎn) 含參數(shù)求極值問題 解 (1)∵f(x)=a(x-5)2+6ln x(x>0), ∴f′(x)=2a(x-5)+(x>0). 令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6-8a, ∴f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-16a=(6-8a)(x-1). ∵切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6), ∴6-16a=8a-6,∴a=. (2)由(1)知,f(x)=(x-5)2+6ln x(x>0), f′(x)=(x-5)+=(x>0).

17、 令f′(x)=0,得x=2或x=3. 當(dāng)03時(shí),f′(x)>0,f(x)在區(qū)間(0,2),(3,+∞)上為增函數(shù); 當(dāng)2

18、)-x2, f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1). 令f′(x)=0,則x=-1或0, 當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f′(x)>0; 當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f′(x)<0; 當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)>0. 故f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,0)上單調(diào)遞減. (2)f(x)=x(ex-1-ax). 令g(x)=ex-1-ax,則g′(x)=ex-a. 若a≤1,則當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)為增函數(shù), 而g(0)=0,從而當(dāng)x≥0時(shí),g(x)≥0,即f(x)≥0. 若a>1,則當(dāng)x∈(0,ln a)時(shí),g

19、′(x)<0,g(x)為減函數(shù),而g(0)=0, 從而當(dāng)x∈(0,ln a)時(shí),g(x)<0,即f(x)<0,不符合題意. 綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,1]. 20.(12分)某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為30元,并且每件產(chǎn)品需向總公司繳納a元(a為常數(shù),2≤a≤5)的管理費(fèi),根據(jù)多年的管理經(jīng)驗(yàn),預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元時(shí),產(chǎn)品一年的銷售量為(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))萬件.已知當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為40元時(shí),該產(chǎn)品一年的銷售量為500萬件,經(jīng)物價(jià)部門核定,每件產(chǎn)品的售價(jià)x最低不低于35元,最高不超過41元. (1)求分公司經(jīng)營該產(chǎn)品一年的利潤L(x)(萬元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x

20、的函數(shù)關(guān)系式; (2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí),分公司一年的利潤L(x)最大?并求出L(x)的最大值. 考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題 題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題 解 (1)設(shè)該產(chǎn)品一年的銷售量為Q(x)=, 則=500, 所以k=500e40,則該產(chǎn)品一年的銷售量Q(x)=, 則該產(chǎn)品一年的利潤L(x)=(x-a-30) =500e40·(35≤x≤41). (2)L′(x)=500e40·. ①若2≤a≤4,則33≤a+31≤35, 當(dāng)35≤x≤41時(shí),L′(x)≤0,L(x)單調(diào)遞減, 所以當(dāng)x=35時(shí),L(x)取得最大值為500(5-a)e5; ②若

21、4

22、)=, 即g(x)=ln x+,所以g′(x)=-=. 令g′(x)=0,得x=1. 當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0,故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減. 當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,故g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增, 因此,x=1是g(x)的唯一極值點(diǎn),且為極小值點(diǎn),從而是最小值點(diǎn). 所以最小值為g(1)=1. (2)g=-ln x+x. 設(shè)h(x)=g(x)-g=2ln x-x+, 則h′(x)=-≤0, 即h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減. 當(dāng)x=1時(shí),h(1)=0,即g(x)=g. 當(dāng)0h(1)=0,即g(x)>g. 當(dāng)x>

23、1時(shí),h(x)0, 所以g(x)在(1,e)上單調(diào)遞

24、減,在(e,+∞)上單調(diào)遞增. 故當(dāng)x=e時(shí),g(x)有最小值且最小值為g(e)=e. 所以m≤e.即m的取值范圍是(-∞,e]. (2)由題意,得k(x)=x-2ln x-a.令φ(x)=x-2ln x, 又函數(shù)k(x)在(1,3)上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn), 相當(dāng)于函數(shù)φ(x)=x-2ln x與直線y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn). φ′(x)=1-=, 當(dāng)x∈(1,2)時(shí),φ′(x)<0,φ(x)單調(diào)遞減, 當(dāng)x∈(2,3)時(shí),φ′(x)>0,φ(x)單調(diào)遞增. 又φ(1)=1,φ(2)=2-2ln 2,φ(3)=3-2ln 3, 要使直線y=a與函數(shù)φ(x)=x-2ln x有兩個(gè)交點(diǎn), 則2-2ln 2

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