2022-2023版高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.2 第1課時 組合與組合數(shù)公式學案 新人教A版選修2-3

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1、2022-2023版高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.2 第1課時 組合與組合數(shù)公式學案 新人教A版選修2-3 學習目標　1.理解組合的定義，正確認識組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系.2.理解排列數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系，掌握組合數(shù)公式，能運用組合數(shù)公式進行計算.3.會解決一些簡單的組合問題． 知識點一　組合的定義 思考?、購?,5,7,11中任取兩個數(shù)相除； ②從3,5,7,11中任取兩個數(shù)相乘． 以上兩個問題中哪個是排列？①與②有何不同特點？ 答案　①是排列，①中選取的兩個數(shù)是有序的，②中選取的兩個數(shù)無需排列． 梳理　一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素

2、合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合． 知識點二　組合數(shù)與組合數(shù)公式 組合數(shù)及組合數(shù)公式 組合數(shù)定義及表示 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號C表示. 組合數(shù)公式 乘積形式 C＝ 階乘形式 C＝ 性質(zhì) C＝C C＝C＋C 備注 規(guī)定C＝1 1．從a1，a2，a3三個不同元素中任取兩個元素組成一個組合是C.(　×　) 2．從1,3,5,7中任取兩個數(shù)相乘可得C個積．(　√　) 3．C＝5×4×3＝60.(　×　) 4．C＝C＝2 017.(　√　) 類型一　

3、組合概念的理解 例1　給出下列問題： (1)a，b，c，d四支足球隊之間進行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場？ (2)a，b，c，d四支足球隊爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結(jié)果？ (3)從全班40人中選出3人分別擔任班長、副班長、學習委員三個職務(wù)，有多少種不同的選法？ (4)從全班40人中選出3人參加某項活動，有多少種不同的選法？ 在上述問題中，哪些是組合問題，哪些是排列問題？ 考點　組合的概念 題點　組合的判斷 解　(1)單循環(huán)比賽要求兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題． (2)冠、亞軍是有順序的，是排列問題． (3)3人分別擔任三個不同職務(wù)，有順序，是排列問題．

4、 (4)3人參加某項相同活動，沒有順序，是組合問題． 反思與感悟　區(qū)分排列與組合的辦法是首先弄清楚事件是什么，區(qū)分的標志是有無順序，而區(qū)分有無順序的方法是：把問題的一個選擇結(jié)果寫出來，然后交換這個結(jié)果中任意兩個元素的位置，看是否產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題． 跟蹤訓練1　判斷下列問題是排列問題還是組合問題，并求出相應(yīng)的結(jié)果． (1)集合{0,1,2,3,4}的含三個元素的子集的個數(shù)是多少？ (2)某小組有9位同學，從中選出正、副班長各一個，有多少種不同的選法？若從中選出2名代表參加一個會議，有多少種不同的選法？ 考點　組合的

5、概念 題點　組合的判斷 解　(1)由于集合中的元素是不講次序的，一個含三個元素的集合就是一個從0,1,2,3,4中取出3個數(shù)組成的集合．這是一個組合問題，組合的個數(shù)是C＝10. (2)選正、副班長時要考慮次序，所以是排列問題，排列數(shù)是A＝9×8＝72，所以選正、副班長共有72種選法；選代表參加會議是不用考慮次序的，所以是組合問題，所以不同的選法有C＝36(種)． 類型二　組合數(shù)公式及性質(zhì)的應(yīng)用 例2　(1)計算C－C·A； 考點　組合數(shù)公式 題點　利用組合數(shù)公式進行計算 (1)解　原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0. (2)求證：C＝C. 考點　組合

6、數(shù)公式 題點　組合數(shù)公式的應(yīng)用 (2)證明　因為右邊＝C＝·＝＝C， 左邊＝C，所以左邊＝右邊，所以原式成立． 反思與感悟　(1)涉及具體數(shù)字的可以直接用公式C＝＝計算． (2)涉及字母的可以用階乘式C＝計算． (3)計算時應(yīng)注意利用組合數(shù)的兩個性質(zhì)： ①C＝C；②C＝C＋C. 跟蹤訓練2　(1)計算C＋C＋C＋…＋C的值為(　　) A．C B．C C．C－1 D．C－1 (2)計算C＋C＝________. 考點　組合數(shù)性質(zhì) 題點　的性質(zhì)計算與證明 答案　(1)C　(2)5 150 解析　(1)C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋C＋…＋C－C ＝C＋

7、C＋…＋C－1＝… ＝C＋C－1＝C－1. (2)C＋C＝C＋C ＝＋200＝5 150. 例3　(1)已知－＝，求C＋C； (2)解不等式C>C. 考點　組合數(shù)性質(zhì) 題點　含有組合數(shù)的方程或不等式的問題 解　(1)∵－＝， ∴－＝， 即－ ＝. ∴1－＝， 即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21. ∵0≤m≤5，∴m＝2， ∴C＋C＝C＋C＝C＝84. (2)由C>C，得 即解得 又n∈N*，∴該不等式的解集為{6,7,8,9}． 反思與感悟　(1)解題過程中應(yīng)避免忽略根的檢驗而產(chǎn)生增根的錯誤，注意不要忽略n∈N*. (2)與排列組合有關(guān)的方程

8、或不等式問題要用到排列數(shù)、組合數(shù)公式，以及組合數(shù)的性質(zhì)，求解時，要注意由C中的m∈N*，n∈N*，且n≥m確定m，n的范圍，因此求解后要驗證所得結(jié)果是否適合題意． 跟蹤訓練3　解方程3C＝5A. 考點　組合數(shù)性質(zhì) 題點　含有組合數(shù)的方程或不等式的問題 解　原式可變形為3C＝5A， 即 ＝5(x－4)(x－5)， 所以(x－3)(x－6)＝5×4×2＝8×5. 所以x＝11或x＝－2(舍去)． 經(jīng)檢驗符合題意，所以方程的解為x＝11. 類型三　簡單的組合問題 例4　有10名教師，其中6名男教師，4名女教師． (1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有________種不同的選法；

9、 (2)選出2名男教師或2名女教師參加會議，有________種不同的選法； (3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有________種不同的選法． 考點　組合的應(yīng)用 題點　無限制條件的組合問題 答案　(1)45　(2)21　(3)90 解析　(1)從10名教師中選2名去參加會議的選法種數(shù)，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)，即C＝＝45(種)． (2)可把問題分兩類情況： 第1類，選出的2名是男教師有C種方法； 第2類，選出的2名是女教師有C種方法． 根據(jù)分類加法計算原理，共有C＋C＝15＋6＝21(種)不同選法． (3)從6名男教師中選2名的選法有C種

10、，從4名女教師中選2名的選法有C種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有不同的選法C×C＝×＝90(種)． 反思與感悟　(1)解簡單的組合應(yīng)用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出元素之間的順序有關(guān)，而組合問題與取出元素的順序無關(guān)． (2)要注意兩個基本原理的運用，即分類與分步的靈活運用． 在分類和分步時，一定注意有無重復或遺漏． 跟蹤訓練4　一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和1個黑球． (1)從口袋內(nèi)取出的3個小球，共有多少種取法？ (2)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？ (3)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取

11、法？ 考點　組合的應(yīng)用 題點　有限制條件的組合問題 解　(1)從口袋內(nèi)的8個球中取出3個球， 取法種數(shù)是C＝＝56. (2)從口袋內(nèi)取出3個球有1個是黑球，于是還要從7個白球中再取出2個，取法種數(shù)是C＝＝21. (3)由于所取出的3個球中不含黑球，也就是要從7個白球中取出3個球，取法種數(shù)是C＝＝35. 1．給出下列問題： ①從甲、乙、丙3名同學中選出2名分別去參加2個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會調(diào)查，有多少種不同的選法？ ②有4張電影票，要在7人中選出4人去觀看，有多少種不同的選法？ ③某人射擊8槍，擊中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，則不同的結(jié)果有多少種？ 其中組合問題的個數(shù)是(　　

12、) A．3 B．2 C．1 D．0 考點　組合的概念 題點　組合的判斷 答案　B 解析　①與順序有關(guān)，是排列問題，②③均與順序無關(guān)，是組合問題，故選B. 2．集合M＝{x|x＝C，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，則下列結(jié)論正確的是 (　　) A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q?M C．M?Q D．M∩Q＝{1,4} 考點　組合數(shù)公式 題點　利用組合數(shù)公式進行計算 答案　D 解析　由C知n＝0,1,2,3,4，因為C＝1，C＝4，C＝＝6，C＝C＝4，C＝1，所以M＝{1,4,6}．故M∩Q＝{1,4}． 3．若C＝C，則n等于(　　

13、) A．3 B．5 C．3或5 D．15 考點　組合數(shù)性質(zhì) 題點　含有組合數(shù)的方程或不等式的問題 答案　C 解析　由組合數(shù)的性質(zhì)得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故選C. 4．某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課5門，一位同學要從中選3門，若要求兩類課程中至少各選1門，則不同的選法共有(　　) A．15種 B．30種 C．45種 D．90種 考點　組合的應(yīng)用 題點　有限制條件的組合問題 答案　C 解析　分兩類，A類選修課選1門，B類選修課選2門，或者A類選修課選2門，B類選修課選1門，因此，共有C·C＋C·C＝45(種)選法． 5．五個點

14、中任何三點都不共線，則這五個點可以連成________條線段；如果是有向線段，共有________條． 考點　組合的概念 題點　組合的判斷 答案　10　20 解析　從五個點中任取兩個點恰好連成一條線段，這兩個點沒有順序，所以是組合問題，連成的線段共有C＝10(條) .再考慮有向線段的問題，這時兩個點的先后排列次序不同則對應(yīng)不同的有向線段，所以是排列問題，排列數(shù)是A＝20.所以有向線段共有20條． 1．排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別 (1)聯(lián)系：二者都是從n個不同的元素中取m(m≤n)個元素． (2)區(qū)別：排列問題中元素有序，組合問題中元素無序． 2．關(guān)于組合數(shù)的計算 (1)涉及具

15、體數(shù)字的可以直接用公式C＝＝計算； (2)涉及字母的可以用階乘式C＝計算． (3)組合數(shù)的兩個性質(zhì)： 性質(zhì)1：C＝C； 性質(zhì)2：C＝C＋C. 一、選擇題 1．以下四個問題，屬于組合問題的是(　　) A．從3個不同的小球中，取出2個排成一列 B．老師在排座次時將甲、乙兩位同學安排為同桌 C．在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星 D．從13位司機中任選出兩位開同一輛車往返甲、乙兩地 考點　組合的概念 題點　組合的判斷 答案　C 解析　只有從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星，與順序無關(guān)，是組合問題． 2.等于(　　) A. B．101

16、C. D．6 考點　組合數(shù)公式 題點　利用組合數(shù)公式進行計算 答案　D 解析?。剑剑紸＝6. 3．下列等式不正確的是(　　) A．C＝ B．C＝C C．C＝C＋C D．C＝C 考點　組合數(shù)公式 題點　組合數(shù)公式的應(yīng)用 答案　D 解析　A是組合數(shù)公式；B，C是組合數(shù)性質(zhì)；C＝，C＝，兩者不相等，故D錯誤． 4．若A＝6C，則n的值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 考點　組合數(shù)性質(zhì) 題點　含有組合數(shù)的方程或不等式的問題 答案　B 解析　由題意知n(n－1)(n－2)＝6·， 化簡得＝1，所以n＝7. 5．把三張游園票分給10個人中的

17、3人，則分法有(　　) A．A種 B．C種 C．CA種 D．30種 考點　組合的應(yīng)用 題點　無限制條件的組合問題 答案　B 解析　三張票沒區(qū)別，從10人中選3人即可，即C. 6．將2名女教師，4名男教師分成2個小組，分別安排到甲、乙兩所學校輪崗支教，每個小組由1名女教師和2名男教師組成，則不同的安排方案共有(　　) A．24種 B．10種 C．12種 D．9種 考點　組合的應(yīng)用 題點　有限制條件的組合問題 答案　C 解析　第一步，為甲地選1名女教師，有C＝2(種)選法；第二步，為甲地選2名男教師，有C＝6(種)選法；第三步，剩下的3名教師到乙地，故不同

18、的安排方案共有2×6×1＝12(種)，故選C. 7．現(xiàn)有6個白球，4個黑球，任取4個，則至少有兩個黑球的取法種數(shù)是(　　) A．115 B．90 C．210 D．385 考點　組合的應(yīng)用 題點　有限制條件的組合問題 答案　A 解析　依題意根據(jù)取法可分為三類：兩個黑球，有CC＝90(種)；三個黑球，有CC＝24(種)；四個黑球，有C＝1(種)．根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，至少有兩個黑球的取法種數(shù)是90＋24＋1＝115，故選A. 8．對于所有滿足1≤m≤n≤5的自然數(shù)m，n，方程x2＋Cy2＝1所表示的不同橢圓的個數(shù)為(　　) A．15 B．7 C．6 D．0 考點　

19、組合數(shù)性質(zhì) 題點　利用組合數(shù)的性質(zhì)進行計算與證明 答案　C 解析　因為1≤m≤n≤5，且方程表示橢圓，所以C可能為C，C，C，C，C，C，C，C， C，C，其中C＝C，C＝C，C＝C，C＝C，所以x2＋Cy2＝1能表示的不同橢圓有6個． 二、填空題 9．從2,3,5,7四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)相乘，有m個不同的積；任取兩個不同的數(shù)相除，有n個不同的商，則m∶n＝________. 考點　組合的概念 題點　組合的判斷 答案　1∶2 解析　∵m＝C，n＝A，∴m∶n＝1∶2. 10．從進入決賽的6名選手中決出1名一等獎、2名二等獎、3名三等獎，則可能的決賽結(jié)果共有_______

20、_種． 考點　組合的應(yīng)用 題點　有限制條件的組合問題 答案　60 解析　根據(jù)題意，所有可能的決賽結(jié)果有CCC＝6××1＝60(種)． 11．不等式C－n<5的解集為________． 考點　組合數(shù)性質(zhì) 題點　含有組合數(shù)的方程或不等式的問題 答案　{2,3,4} 解析　由C－n<5，得－n<5， 即n2－3n－10<0， 解得－2

21、 ＝＋， 整理得n2－21n＋98＝0， 解得n＝7或n＝14， 要求C的值，故n≥12， 所以n＝14， 于是C＝C＝＝91. 13．在一次數(shù)學競賽中，某學校有12人通過了初試，學校要從中選出5人參加市級培訓．在下列條件下，有多少種不同的選法？ (1)任意選5人； (2)甲、乙、丙三人必須參加； (3)甲、乙、丙三人不能參加． 考點　組合的應(yīng)用 題點　有限制條件的組合問題 解　(1)從中任取5人是組合問題，共有C＝792(種)不同的選法． (2)甲、乙、丙三人必須參加，則只需要從另外9人中選2人，是組合問題，共有C＝36(種)不同的選法． (3)甲、乙、丙三人不能

22、參加，則只需從另外的9人中選5人，共有C＝126(種)不同的選法． 四、探究與拓展 14．以下三個式子：①C＝；②A＝nA；③C÷C＝.其中正確的個數(shù)是____． 考點　組合數(shù)公式 題點　組合數(shù)公式的應(yīng)用 答案　3 解析　①式顯然成立； ②式中A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，A＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)， 所以A＝nA，故②式成立； 對于③式C÷C＝＝＝，故③式成立． 15．某屆世界杯舉辦期間，共32支球隊參加比賽，它們先分成8個小組進行循環(huán)賽，決出16強(每隊均與本組其他隊賽1場，各組第一、二名晉級16強)，這16支球隊按確定的程序進行淘汰賽，即八

23、分之一淘汰賽，四分之一淘汰賽，半決賽，決賽，最后決出冠、亞軍，此外還要決出第三、四名，問這屆世界杯總共將進行多少場比賽？ 考點　組合的應(yīng)用 題點　有限制條件的組合問題 解　可分為如下幾類比賽：(1)小組循環(huán)賽，每組有C＝6(場)，8個小組共有48場；(2)八分之一淘汰賽，8個小組的第一、二名組成16強，根據(jù)賽制規(guī)則，每2支球隊一組，每組比賽1場，可以決出8強，共有8場；(3)四分之一淘汰賽，根據(jù)賽制規(guī)則，8強中每2支球隊一組，每組比賽1場，可以決出4強，共有4場；(4)半決賽，根據(jù)賽制規(guī)則，4強每2支球隊一組，每組比賽1場，可以決出2強，共有2場；(5)決賽，2強比賽1場確定冠、亞軍，4強中的另2支球隊比賽1場決出第三、四名，共有2場．綜上，由分類加法計數(shù)原理知，總共將進行48＋8＋4＋2＋2＝64(場)比賽．