《2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課堂達(dá)標(biāo)43 橢圓 文 新人教版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課堂達(dá)標(biāo)43 橢圓 文 新人教版(10頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課堂達(dá)標(biāo)43 橢圓 文 新人教版
1.(2018·廣東深圳4月調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在x軸上,離心率為,點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn),且△PF1F2的周長(zhǎng)為12,那么C的方程為( )
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
[解析] 由題設(shè)可得=?a=2c,
又橢圓的定義可得2a+2c=12?a+c=6,
即3c=6?c=2,a=4,所以b2=16-4=12,
則橢圓方程為+=1,
應(yīng)選答案D.
[答案] D
2.(2018·鄭州第三次質(zhì)檢)橢圓+=1的左焦點(diǎn)為F,直線x=
2、a與橢圓相交于點(diǎn)M,N,當(dāng)△FMN的周長(zhǎng)最大時(shí),△FMN的面積是( )
A. B.
C. D.
[解析] 設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F′,則|MF′|+|NF′|≥|MN|,當(dāng)M,N,F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立,所以△FMN的周長(zhǎng)|MF|+|NF|+|MN|≤|MF|+|NF|+|MF′|+|NF′|=4a=4,
此時(shí)|MN|==,所以此時(shí)△FMN的面積為S=××2=,故選擇C.
[答案] C
3.(2018·邯鄲一模)橢圓+=1的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在橢圓上,如果線段PF2的中點(diǎn)在y軸上,那么|PF2|是|PF1|的( )
A.7倍 B.5倍
C.4倍 D.3倍
[解
3、析] 設(shè)線段PF2的中點(diǎn)為D,則|OD|=|PF1|,OD∥PF1,OD⊥x軸,∴PF1⊥x軸.
∴|PF1|===.
又∵|PF1|+|PF2|=4,
∴|PF2|=4-=.
∴|PF2|是|PF1|的7倍.
[答案] A
4.(2018·青島月考)已知A1,A2分別為橢圓C:+=1(a>b>0)的左,右頂點(diǎn),P是橢圓C上異于A1,A2的任意一點(diǎn),若直線PA1,PA2的斜率的乘積為-,則橢圓C的離心率為( )
A. B.
C. D.
[解析] 設(shè)P(x0,y0),則×=-,
化簡(jiǎn)得+=1,則=,e===,故選D.
[答案] D
5.(2018·廣州二模)
4、設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上,∠PF1F2=30°,則橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
[解析] 如圖,設(shè)PF1的中點(diǎn)為M,連接PF2.因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn),所以O(shè)M為△PF1F2的中位線.
所以O(shè)M∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.
因?yàn)椤螾F1F2=30°,
所以|PF1|=2|PF2|.
由勾股定理得|F1F2|
==|PF2|,
由橢圓定義得2a=|PF1|+|PF2|
=3|PF2|?a=,2c=|F1F2|=|PF2|?c=,
則e==·=.
5、故選A.
[答案] A
6.(2018·東北師大附中三模)已知F是橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,線段PF與圓2+y2=相切于點(diǎn)Q,且PQ=2QF,則橢圓C的離心率等于( )
A. B.
C. D.
[解析] 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1,連接F1,設(shè)圓心為C,則
∵2+y2=,則圓心坐標(biāo)為,
半徑為r=,∴|F1F|=3|FC|
∵PQ=2QF,∴PF1∥QC,|PF1|=b
∴|PF|=2a-b
∵線段PF與圓+=1(a>b>0)(其中c2=a2-b2)相切于點(diǎn)Q,∴CQ⊥PF,∴PF1⊥PF,
∴b2+(2a-b)2=4c2,∴b2+(2
6、a-b)2=4(a2-b2)
∴a=b,則=,∴e===,
故選A.
[答案] A
7.(2018·保定一模)與圓C1:(x+3)2+y2=1外切,且與圓C2:(x-3)2+y2=81內(nèi)切的動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為______.
[解析] 設(shè)動(dòng)圓的半徑為r,圓心為P(x,y),則有|PC1|=r+1,|PC2|=9-r.所以|PC1|+|PC2|=10>|C1C2|,即P在以C1(-3,0),C2(3,0)為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓上,得點(diǎn)P的軌跡方程為+=1.
[答案]?。?
8.(2018·北京東城模擬)已知橢圓C的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)F(-2,0),且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是2
7、∶,則橢圓C的方程是______.
[解析] 設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>b>0).
由題意知解得a2=16,b2=12.
所以橢圓C的方程為+=1.
[答案]?。?
9.(2018·河北武邑中學(xué)二模)如圖,已知橢圓C1:+y2=1,曲線C2:y=x2-1與y軸的交點(diǎn)為M,過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于A,B兩點(diǎn),直線MA,MB分別與C1相交于D,E兩點(diǎn),則·的值是( )
A.正數(shù) B.0
C.負(fù)數(shù) D.皆有可能
[解析] 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,-1),
=(x1,y1+1),=(x2,y2+1)設(shè)直線l的方程為y=kx與拋物線方程聯(lián)立,
8、
整理為:x2-kx-1=0,所以x1+x2=k,x1x2=-1,
·=·=x1x2+(y1+1)(y2+1)=x1x2+y1y2+(y1+y2)+1
=x1x2+k2x1x2+k(x1+x2)+1=-1-k2+k2+1=0,故選B.
[答案] B
10.(2016·北京卷)已知橢圓C:+=1過點(diǎn)A(2,0),B(0,1)兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程及離心率;
(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N,求證:四邊形ABNM的面積為定值.
[解] (1)由題意得,a=2,b=1.
所以橢圓C的方程為+y2=1.
又c==,
所以
9、離心率e==.
(2)設(shè)P(x0,y0)(x0<0,y0<0),則x+4y=4.
又A(2,0),B(0,1),
所以,直線PA的方程為y=(x-2).
令x=0,得yM=-,
從而|BM|=1-yM=1+.
直線PB的方程為y=x+1.
令y=0,得xN=-,
從而|AN|=2-xN=2+.
所以四邊形ABNM的面積
S=|AN|·|BM|
=
=
==2.
從而四邊形ABNM的面積為定值.
[B能力提升練]
1.(2018·石家莊質(zhì)檢)已知兩定點(diǎn)A(-2,0)和B(2,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在直線l:y=x+3上移動(dòng),橢圓C以A,B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P,則橢圓C
10、的離心率的最大值為( )
A. B.
C. D.
[解析] 設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A1(x1,y1),
則有解得x1=-3,y1=1,
易知|PA|+|PB|的最小值等于|A1B|=,
因此橢圓C的離心率e==的最大值為.
[答案] B
2.2016年1月14日,國(guó)防科工局宣布,嫦娥四號(hào)任務(wù)已經(jīng)通過了探月工程重大專項(xiàng)領(lǐng)導(dǎo)小組審議通過,正式開始實(shí)施.如圖所示,假設(shè)“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后,在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行,之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用2c1和2c2分別表
11、示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng),給出下列式子:
①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③<;
④c1a2>a1c2.
其中正確式子的序號(hào)是( )
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
[解析] 觀察圖形可知a1+c1>a2+c2,
即①式不正確;a1-c1=a2-c2=|PF|,即②式正確;由a1-c1=a2-c2>0,c1>c2>0,知<,
即<,從而c1a2>a1c2,>,即④式正確,③式不正確.
故選D.
[答案] D
3.(2018·石家莊質(zhì)檢)橢圓+y2=1的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P為
12、橢圓上一動(dòng)點(diǎn),若∠F1PF2為鈍角,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是______.
[解析] 設(shè)橢圓上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),
則=(x+,y),=(x-,y).
∵∠F1PF2為鈍角,∴·<0,
即x2-3+y2<0,①
∵y2=1-,代入①得x2-3+1-<0,
x2<2,∴x2<.
解得-b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓上,則橢圓的離心率是______.
[解析] 設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F1(-c,0),如圖,連接QF1,QF,設(shè)QF與直線y=x交于點(diǎn)M.
由題意知M為線段QF的
13、中點(diǎn),且OM⊥FQ.
又O為線段F1F的中點(diǎn),
∴F1Q∥OM,∴F1Q⊥QF,|F1Q|=2|OM|.
在Rt△MOF中,tan∠MOF==,|OF|=c,
可解得|OM|=,|MF|=,故|QF|=2|MF|=,|QF1|=2|OM|=.
由橢圓的定義得|QF|+|QF1|=+=2a,
整理得b=c,∴a==c,故e==.
[答案]
5.(2017·天津)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,離心率為.已知A是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為.
(1)求橢圓的方程和拋物線的方程;
(2)設(shè)l上兩點(diǎn)P,Q關(guān)于x軸對(duì)稱,直線AP
14、與橢圓相交于點(diǎn)B(B異于點(diǎn)A),直線BQ與x軸相交于點(diǎn)D.若△APD的面積為,求直線AP的方程.
[解] (1)設(shè)F的坐標(biāo)為(-c,0).依題意,=,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.所以,橢圓的方程為x2+=1,拋物線的方程為y2=4x.
(2)設(shè)直線AP的方程為x=my+1(m≠0),
與直線l的方程x=-1聯(lián)立,可得點(diǎn)P,
故A.將x=my+1與x2+=1聯(lián)立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,或y=.由點(diǎn)B異于點(diǎn)A,可得點(diǎn)B.由Q,可得直線BQ的方程為(x+1)-=0,令y=0,解得x=,故D.
所以|AD|=1-=.
15、
又因?yàn)椤鰽PD的面積為,故××=,整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=±.
所以,直線AP的方程為3x+y-3=0,
或3x-y-3=0.
[C尖子生專練]
(2016·四川卷)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),直線l:y=-x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.
(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);
(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線l′平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,且與直線l交于點(diǎn)P.證明:存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.
[解] (1)由已知,a=b,則橢圓E的方程為+=1.
16、
由方程組得3x2-12x+(18-2b2)=0.①
方程①的判別式為Δ=24(b2-3),由Δ=0,得b2=3,此時(shí)方程①的解為x=2,所以橢圓E的方程為+=1.
點(diǎn)T坐標(biāo)為(2,1).
(2)由已知可設(shè)直線l′的方程為y=x+m(m≠0),
有方程組可得
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為,|PT|2=m2.
設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2).
由方程組
可得3x2+4mx+(4m2-12)=0.②
方程②的判別式Δ=16(9-2m2),由Δ>0,
解得-<m<.
由②得x1+x2=-,x1x2=.
所以|PA|==,
同理|PB|=,
所以|PB|·|PB|==
==m2.
故存在常數(shù)λ=,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.