2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布章末檢測試卷 新人教A版選修2-3
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1、2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布章末檢測試卷 新人教A版選修2-3 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 1.設(shè)由“0”“1”組成的三位數(shù)組中,若用A表示“第二位數(shù)字為‘0’的事件”,用B表示“第一位數(shù)字為‘0’的事件”,則P(A|B)等于( ) A. B. C. D. 考點(diǎn) 條件概率 題點(diǎn) 直接利用公式求條件概率 答案 C 解析 ∵P(B)==,P(AB)==, ∴P(A|B)==. 2.10張獎(jiǎng)券中只有3張有獎(jiǎng),若5個(gè)人購買,每人1張,則至少有1個(gè)人中獎(jiǎng)的概率為( ) A. B. C. D. 考點(diǎn) 排列與組合的應(yīng)用
2、 題點(diǎn) 排列、組合在概率中的應(yīng)用 答案 D 解析 設(shè)事件A為“無人中獎(jiǎng)”,即P(A)==, 則至少有1個(gè)人中獎(jiǎng)的概率P=1-P(A)=1-=. 3.張老師上數(shù)學(xué)課時(shí),給班里同學(xué)出了兩道選擇題,他預(yù)估做對(duì)第一道題的概率是0.80,做對(duì)兩道題的概率是0.60,則預(yù)估做對(duì)第二道題的概率是( ) A.0.80 B.0.75 C.0.60 D.0.48 考點(diǎn) 相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn) 獨(dú)立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用 答案 B 解析 設(shè)事件Ai(i=1,2)表示“做對(duì)第i道題”,A1,A2相互獨(dú)立, 由已知得:P(A1)=0.8,P(A1A2)=0.6, 由P(A1A2
3、)=P(A1)·P(A2)=0.8×P(A2)=0.6,
解得P(A2)==0.75.
4.設(shè)隨機(jī)變量X等可能地取值1,2,3,…,10.又設(shè)隨機(jī)變量Y=2X-1,則P(Y<6)的值為( )
A.0.3 B.0.5 C.0.1 D.0.2
考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用
題點(diǎn) 根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率
答案 A
解析 由Y=2X-1<6,得X<3.5,∴P(Y<6)=P(X<3.5)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.3.
5.設(shè)隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)且P(X<1)=,P(X>2)=p,則P(0 4、C.1-2p D.-p
考點(diǎn) 正態(tài)分布的概念及性質(zhì)
題點(diǎn) 求正態(tài)分布的均值或方差
答案 D
解析 由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知P(X<1)=,故μ=1,即正態(tài)曲線關(guān)于直線x=1對(duì)稱,于是P(X<0)=P(X>2),
所以P(0 5、均值與方差
答案 C
解析 由離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)知a+4a+5a=1,∴a=0.1.∴P(X=0)=0.1,P(X=1)=0.4,P(X=2)=0.5,∴均值E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.5=1.4;方差D(X)=(0-1.4)2×0.1+(1-1.4)2×0.4+(2-1.4)2×0.5=0.196+0.064+0.18=0.44.
7.若在甲袋內(nèi)裝有8個(gè)白球,4個(gè)紅球,在乙袋內(nèi)裝有6個(gè)白球,6個(gè)紅球,今從兩袋里各任意取出1個(gè)球,設(shè)取出的白球個(gè)數(shù)為X,則下列概率中等于的是( )
A.P(X≤1) B.P(X≤2)
C.P(X=1) D.P(X=2)
考點(diǎn) 6、超幾何分布
題點(diǎn) 利用超幾何分布求概率
答案 C
解析 P(X=1)=.
8.某人一周晚上值2次班,在已知他周日一定值班的條件下,他在周六晚上值班的概率為( )
A. B. C. D.
考點(diǎn) 條件概率的定義及計(jì)算公式
題點(diǎn) 直接利用公式求條件概率
答案 A
解析 設(shè)事件A為“周日值班”,事件B為“周六值班”,則P(A)=,P(AB)=,故P(B|A)==.
9.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B,則函數(shù)f(x)=x2+4x+X存在零點(diǎn)的概率是( )
A. B. C. D.
考點(diǎn) 二項(xiàng)分布的計(jì)算及應(yīng)用
題點(diǎn) 利用二項(xiàng)分布求概率
答案 D
解析 ∵函數(shù)f(x) 7、=x2+4x+X存在零點(diǎn),
∴方程x2+4x+X=0存在實(shí)數(shù)根,
∴Δ=16-4X≥0,∴X≤4,
∵隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B,
∴P(X≤4)=1-P(X=5)=1-=,故選D.
10.一頭豬服用某藥品后被治愈的概率是90%,則服用這種藥的5頭豬中恰有3頭被治愈的概率為( )
A.0.93 B.1-(1-0.9)3
C.C×0.93×0.12 D.C×0.13×0.92
考點(diǎn) 二項(xiàng)分布的計(jì)算及應(yīng)用
題點(diǎn) 利用二項(xiàng)分布求概率
答案 C
解析 5頭豬中恰有3頭被治愈的概率為C×0.93×0.12.
11.排球比賽的規(guī)則是5局3勝制(無平局),在某次排球比賽中,甲 8、隊(duì)在每局比賽中獲勝的概率都相等,為,前2局中乙隊(duì)以2∶0領(lǐng)先,則最后乙隊(duì)獲勝的概率是( )
A. B. C. D.
考點(diǎn) 相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用
題點(diǎn) 獨(dú)立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用
答案 B
解析 最后乙隊(duì)獲勝事件含3種情況:(1)第三局乙勝;(2)第三局甲勝,第四局乙勝;(3)第三局和第四局都是甲勝,第五局乙勝.故最后乙隊(duì)獲勝的概率P=+×+2×=,故選B.
12.一個(gè)均勻小正方體的六個(gè)面中,三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0,兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1,一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2.將這個(gè)小正方體拋擲2次,則向上的面上的數(shù)之積的均值是( )
A. B. C. .D.
考點(diǎn) 常見的幾種均值
題點(diǎn) 9、 相互獨(dú)立事件的均值
答案 D
解析 將小正方體拋擲1次,向上的面上可能出現(xiàn)的數(shù)有0,1,2,概率分別為,,,將這個(gè)小正方體拋擲2次,可以表示為下表:
0
1
2
0
×
×
×
1
×
×
×
2
×
×
×
令ξ為小正方體拋擲2次后向上的面上的數(shù)之積,
則積為0的概率P(ξ=0)=×+×+×+×+×=.
積為1的概率P(ξ=1)=×=.
積為2的概率P(ξ=2)=×+×=.
積為4的概率P(ξ=4)=×=,
所以向上的面上的數(shù)之積的均值E(ξ)=0×+1×+2×+4×=.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13.已 10、知隨機(jī)變量ξ~B(n,p),若E(ξ)=4,η=2ξ+3,D(η)=3.2,則P(ξ=2)=________.
考點(diǎn) 二項(xiàng)分布的計(jì)算及應(yīng)用
題點(diǎn) 利用二項(xiàng)分布的分布列求概率
答案
解析 由已知np=4,4np(1-p)=3.2,
∴n=5,p=0.8,∴P(ξ=2)=Cp2(1-p)3=.
14.某處有水龍頭5個(gè),調(diào)查表示每個(gè)水龍頭被打開的可能性均為,則3個(gè)水龍頭同時(shí)被打開的概率為________.
考點(diǎn) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的計(jì)算
題點(diǎn) 用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求概率
答案 0.008 1
解析 對(duì)5個(gè)水龍頭的處理可視為做5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),每次試驗(yàn)有2種可能結(jié)果:打開或不打開, 11、相應(yīng)的概率為0.1或0.9,根據(jù)題意得3個(gè)水龍頭同時(shí)被打開的概率為C×0.13×0.92=0.008 1.
15.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),向量a=(1,2)與向量b=(ξ,-1)的夾角為銳角的概率是,則μ=______.
考點(diǎn) 正態(tài)分布的概念及性質(zhì)
題點(diǎn) 求正態(tài)分布的均值或方差
答案 2
解析 由向量a=(1,2)與向量b=(ξ,-1)的夾角是銳角,得a·b>0,即ξ-2>0,解得ξ>2,則P(ξ>2)=.
根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性,可知μ=2.
16.一射手對(duì)靶射擊,直到第一次中靶或用光子彈為止.若他每次射擊中靶的概率是0.9,他有3顆子彈,則射擊結(jié)束后剩余 12、子彈的數(shù)目X的均值E(X)=________.
考點(diǎn) 常見的幾種均值
題點(diǎn) 相互獨(dú)立事件的均值
答案 1.89
解析 由題意知,X的可能取值是0,1,2,對(duì)應(yīng)的概率分別為P(X=2)=0.9,P(X=1)=0.1×0.9=0.09,P(X=0)=0.13+0.12×0.9=0.01,
由此可得均值E(X)=2×0.9+1×0.09+0×0.01=1.89.
三、解答題(本大題共6小題,共70分)
17.(10分)某同學(xué)參加科普知識(shí)競賽,需回答三個(gè)問題,競賽規(guī)則規(guī)定:答對(duì)第一、二、三個(gè)問題分別得100分,100分,200分,答錯(cuò)得0分.假設(shè)這名同學(xué)答對(duì)第一、二、三個(gè)問題的概率分別為 13、0.8,0.7,0.6,且各題答對(duì)與否相互之間沒有影響.
(1)求這名同學(xué)得300分的概率;
(2)求這名同學(xué)至少得300分的概率.
考點(diǎn) 互斥、對(duì)立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率問題
解 記“這名同學(xué)答對(duì)第i個(gè)問題”為事件Ai(i=1,2,3),則P(A1)=0.8,P(A2)=0.7,P(A3)=0.6.
(1)這名同學(xué)得300分的概率
P1=P(A12A3)+P(1A2A3)
=P(A1)P(2)P(A3)+P(1)P(A2)P(A3)
=0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6=0.228.
(2)這名同學(xué)至少得300分的概 14、率
P2=P1+P(A1A2A3)=0.228+P(A1)·P(A2)·P(A3)=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.
18.(12分)某迷宮有三個(gè)通道,進(jìn)入迷宮的每個(gè)人都要經(jīng)過一扇智能門.首次到達(dá)此門,系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)(即等可能)為你打開一個(gè)通道.若是1號(hào)通道,則需要1小時(shí)走出迷宮;若是2號(hào)、3號(hào)通道,則分別需要2小時(shí)、3小時(shí)返回智能門.再次到達(dá)智能門時(shí),系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)打開一個(gè)你未到過的通道,直至走出迷宮為止.令ξ表示走出迷宮所需的時(shí)間.
(1)求ξ的分布列;
(2)求ξ的均值.
考點(diǎn) 均值與方差的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的分布列及均值
解 (1)ξ的所有可能取值為1 15、,3,4,6.
P(ξ=1)=,
P(ξ=3)=×=,
P(ξ=4)=×=,
P(ξ=6)=2××1=,
ξ的分布列為
ξ
1
3
4
6
P
(2)E(ξ)=1×+3×+4×+6×=.
19.(12分)從1,2,3,…,9這9個(gè)自然數(shù)中,任取3個(gè)數(shù).
(1)求這3個(gè)數(shù)恰有1個(gè)偶數(shù)的概率;
(2)記X為3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù),例如取出的數(shù)為1,2,3,則有兩組相鄰的數(shù)1,2和2,3,此時(shí)X的值為2,求隨機(jī)變量X的分布列及均值E(X).
考點(diǎn) 均值與方差的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的分布列及均值
解 (1)設(shè)Y表示“任取的3個(gè)數(shù)中偶數(shù)的 16、個(gè)數(shù)”,
則Y服從N=9,M=4,n=3的超幾何分布,
∴P(Y=1)==.
(2)X的取值為0,1,2,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=.
∴X的分布列為
X
0
1
2
P
∴E(X)=0×+1×+2×=.
20.(12分)某食品企業(yè)一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)用ξ表示,據(jù)統(tǒng)計(jì),隨機(jī)變量ξ的分布列如下表:
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
(1)求a的值和ξ的均值;
(2)假設(shè)一月份與二月份被消費(fèi)者投訴的次數(shù)互不影響,求該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投 17、訴2次的概率.
考點(diǎn) 互斥、對(duì)立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題
題點(diǎn) 互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率問題
解 (1)由分布列的性質(zhì)得0.1+0.3+2a+a=1,
解得a=0.2,
∴ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
∴E(ξ)=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7.
(2)設(shè)事件A表示“兩個(gè)月內(nèi)共被投訴2次”;事件A1表示“兩個(gè)月內(nèi)有一個(gè)月被投訴2次,另一個(gè)月被投訴0次”;事件A2表示“兩個(gè)月均被投訴1次”.
則由事件的獨(dú)立性得
P(A1)=CP(ξ=2)P(ξ=0)=2×0.4×0.1=0.08, 18、
P(A2)=[P(ξ=1)]2=0.32=0.09.
∴P(A)=P(A1)+P(A2)=0.08+0.09=0.17.
故該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概率為0.17.
21.(12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時(shí)檢測結(jié)束.
(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率;
(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元,設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時(shí)所需要的檢測費(fèi)用(單位:元),求X的分布列和均值.
考點(diǎn) 均值與方差的應(yīng)用
題點(diǎn) 離散型隨機(jī)變 19、量的分布列及均值
解 (1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A.
P(A)==.
(2)X的可能取值為200,300,400.
P(X=200)==,
P(X=300)==,
P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)
=1--==.
故X的分布列為
X
200
300
400
P
E(X)=200×+300×+400×=350.
22.(12分)某單位招聘面試,每次從試題庫中隨機(jī)調(diào)用一道試題,若調(diào)用的是A類型試題,則使用后該試題回庫,并增補(bǔ)一道A類型試題和一道B類型試題入庫,此次調(diào)題工作結(jié)束;若調(diào)用的是B類 20、型試題,則使用后該試題回庫,此次調(diào)題工作結(jié)束.試題庫中現(xiàn)共有(n+m)道試題,其中有n道A類型試題和m道B類型試題,以X表示兩次調(diào)題工作完成后,試題庫中A類型試題的數(shù)量.
(1)求X=n+2的概率;
(2)設(shè)m=n,求X的分布列和均值.
解 以Ai表示第i次調(diào)題調(diào)用到A類型試題,i=1,2.
(1)P(X=n+2)=P(A1A2)=·
=.
(2)X的可能取值為n,n+1,n+2.
P(X=n)=P(12)=·=,
P(X=n+1)=P(A12)+P(1A2)=·+·=,
P(X=n+2)=P(A1A2)=·=.
從而X的分布列為
X
n
n+1
n+2
P
所以E(X)=n×+(n+1)×+(n+2)×=n+1.
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