2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 第六節(jié) 雙曲線課時(shí)作業(yè)
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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 第六節(jié) 雙曲線課時(shí)作業(yè) 1.已知F為雙曲線C:x2-my2=3m(m>0)的一個(gè)焦點(diǎn),則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為( ) A. B.3 C.m D.3m 解析:雙曲線方程為-=1,焦點(diǎn)F到一條漸近線的距離為.選A. 答案:A 2.已知雙曲線-=1(a>0)的離心率為2,則a=( ) A.2 B. C. D.1 解析:因?yàn)殡p曲線的方程為-=1,所以e2=1+=4,因此a2=1,a=1.選D. 答案:D 3.雙曲線x2-4y2=-1的漸近線方程為( ) A.x±2y=0 B.y±2x=0 C
2、.x±4y=0 D.y±4x=0 解析:依題意,題中的雙曲線即-x2=1,因此其漸近線方程是-x2=0,即x±2y=0,選A. 答案:A 4.已知雙曲線-y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在雙曲線上,且滿足|PF1|+|PF2|=2,則△PF1F2的面積為( ) A.1 B. C. D. 解析:在雙曲線-y2=1中,a=,b=1,c=2.不防設(shè)P點(diǎn)在雙曲線的右支上,則有|PF1|-|PF2|=2a=2,又|PF1|+|PF2|=2,∴|PF1|=+,|PF2|=-.又|F1F2|=2c=4,而|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴PF1⊥PF2,∴S△PF1
3、F2=×|PF1|×|PF2|=×(+)×(-)=1.故選A. 答案:A 5.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0),直線l:y=2x-2.若直線l平行于雙曲線C的一條漸近線且經(jīng)過C的一個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為( ) A.1 B.2 C. D.4 解析:根據(jù)題意,雙曲線C的方程為-=1(a>0,b>0),其焦點(diǎn)在x軸上,漸近線方程為y=±x,又由直線l平行于雙曲線C的一條漸近線,可知=2,直線l:y=2x-2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),即雙曲線C的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),即a=1,則b=2a=2,故雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2,故選B. 答案:B 6
4、.已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于半實(shí)軸長,則該雙曲線的離心率為( ) A. B.2 C. D.2 解析:不妨設(shè)雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0),因?yàn)榻裹c(diǎn)F(c,0)到漸近線bx-ay=0的距離為a,所以=a,即=a,所以=1,所以該雙曲線的離心率e== =,故選C. 答案:C 7.已知雙曲線C:-=1的離心率e=,且其右焦點(diǎn)為F2(5,0),則雙曲線C的方程為( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:由題意得e==,又右焦點(diǎn)為F2(5,0),a2+b2=c2,所以a2=16,b2=9,故雙曲線C的方程為-=1. 答案:C 8.已知雙
5、曲線-=1(a>0,b>0)的焦距為2,且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直,則雙曲線的方程為( ) A.-y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 解析:由題意得c=,=,則a=2,b=1,所以雙曲線的方程為-y2=1. 答案:A 9.(2018·山西八校聯(lián)考)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,焦距為2c,直線y=(x+c)與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)P滿足∠PF2F1=2∠PF1F2,則雙曲線的離心率e為( ) A. B. C.2+1 D.+1 解析:∵直線y=(x+c)過左焦點(diǎn)F1,且其傾斜角為30°,∴∠PF1F2=30
6、°,∠PF2F1=60°,∴∠F2PF1=90°,即F1P⊥F2P.∴|PF2|=|F1F2|=c,|PF1|=|F1F2|sin 60°=c,由雙曲線的定義得2a=|PF1|-|PF2|=c-c,∴雙曲線C的離心率e===+1,選D. 答案:D 10.已知F1,F(xiàn)2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P是雙曲線C上一點(diǎn),若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小內(nèi)角的大小為30°,則雙曲線C的漸近線方程是( ) A.x±y=0 B.x±y=0 C.2x±y=0 D.x±2y=0 解析:不妨設(shè)|PF1|>|PF2|,則 所以|PF1|=4a,|PF2|=2
7、a,且|F1F2|=2c,即|PF2|為最小邊,即∠PF1F2=30°,則△PF1F2為直角三角形,所以2c=2a,所以b=a,即漸近線方程為y=±x,故選A. 答案:A 11.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的焦距為10,點(diǎn)P(2,1)在C的一條漸近線上,則C的方程為( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:依題意,解得, ∴雙曲線C的方程為-=1. 答案:A 12.已知雙曲線過點(diǎn)(4,),且漸近線方程為y=±x,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________. 解析:法一:因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)(4,)且漸近線方程為y=±x,故點(diǎn)(4,)在直線y=x的下方
8、.設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0),所以,解得故雙曲線方程為-y2=1. 法二:因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±x,故可設(shè)雙曲線為-y2=λ(λ≠0),又雙曲線過點(diǎn)(4,),所以-()2=λ,所以λ=1,故雙曲線方程為-y2=1. 答案:-y2=1 13.雙曲線Γ:-=1(a>0,b>0)的焦距為10,焦點(diǎn)到漸近線的距離為3,則Γ的實(shí)軸長等于________. 解析:雙曲線的焦點(diǎn)(0,5)到漸近線y=x,即ax-by=0的距離為==b=3,所以a=4,2a=8. 答案:8 14.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)與橢圓+=1有相同的焦點(diǎn),且雙曲線C的漸近線方程為y=
9、±2x,則雙曲線C的方程為________. 解析:易得橢圓的焦點(diǎn)為(-,0),(,0), ∴∴a2=1,b2=4, ∴雙曲線C的方程為x2-=1. 答案:x2-=1 15.(2018·合肥市質(zhì)檢)雙曲線M:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,直線x=a與雙曲線M的漸近線交于點(diǎn)P,若sin∠PF1F2=,則該雙曲線的離心率為________. 解析:不妨設(shè)P為直線x=a與雙曲線M的漸近線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn),則P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b),因?yàn)閟in∠PF1F2=,所以|PF1|=3b,所以(a+c)2+b2=9b2,即9a2+2ac-7c2=0,7e2-2e-9=0,又e
10、>1,解得e=.
答案:
B組——能力提升練
1.已知F1,F(xiàn)2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),若在雙曲線上存在點(diǎn)P滿足2|+|≤||,則雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A.(1,] B.(1,2]
C.[,+∞) D.[2,+∞)
解析:∵2|+|≤||?4||≤2c?||≤,又||≥a,∴a≤,即c≥2a,∴e=≥2.故選D.
答案:D
2.若實(shí)數(shù)k滿足0 11、焦距相等.
答案:D
3.(2018·云南五市聯(lián)考)設(shè)P為雙曲線x2-=1右支上一點(diǎn),M,N分別是圓(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的點(diǎn),設(shè)|PM|-|PN|的最大值和最小值分別為m,n,則|m-n|=( )
A.4 B.5
C.6 D.7
解析:易知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),恰為兩個(gè)圓的圓心,兩個(gè)圓的半徑分別為2,1,所以|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值為(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=(|PF1|-|PF2|)+3=5,同理|PM|-|PN|的最小值為(|PF1 12、|-2)-(|PF2|+1)=(|PF1|-|PF2|)-3=-1,所以|m-n|=6,故選C.
答案:C
4.(2018·江南十校聯(lián)考)已知l是雙曲線C:-=1的一條漸近線,P是l上的一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是C的左、右焦點(diǎn),若·=0,則點(diǎn)P到x軸的距離為( )
A. B.
C.2 D.
解析:由題意知F1(-,0),F(xiàn)2(,0),不妨設(shè)l的方程為y=x,點(diǎn)P(x0,x0),由·=(--x0,-x0)·(-x0,-x0)=3x-6=0,得x0=±,故點(diǎn)P到x軸的距離為|x0|=2,故選C.
答案:C
5.已知雙曲線-=1(b>0),以原點(diǎn)為圓心,雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓與 13、雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點(diǎn),四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:根據(jù)圓和雙曲線的對(duì)稱性,可知四邊形ABCD為矩形.雙曲線的漸近線方程為y=±x,圓的方程為x2+y2=4,不妨設(shè)交點(diǎn)A在第一象限,由y=x,x2+y2=4得xA=,yA=,故四邊形ABCD的面積為4xAyA==2b,解得b2=12,故所求的雙曲線方程為-=1,選D.
答案:D
6.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為(3,4),則此雙曲線的方程為( ) 14、
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:因?yàn)橐詜F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為(3,4),所以c=5,=,又c2=a2+b2,所以a=3,b=4,所以此雙曲線的方程為-=1.
答案:C
7.過雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線,垂足為點(diǎn)A,與另一條漸近線交于點(diǎn)B,若=2,則此雙曲線的離心率為( )
A. B.
C.2 D.
解析:不妨設(shè)B(x,-x),|OB|==c,可取B(-a,b),由題意可知點(diǎn)A為BF的中點(diǎn),所以A(,),又點(diǎn)A在直線y=x上,則·=,c=2a,e=2.
答案:C
8.若直線l1和直線 15、l2相交于一點(diǎn),將直線l1繞該點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與l2第一次重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角為θ,則角θ就稱為l1到l2的角,tan θ=,其中k1,k2分別是l1,l2的斜率,已知雙曲線E:-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,A是右頂點(diǎn),P是直線x=上的一點(diǎn),e是雙曲線的離心率,直線PA到PF的角為θ,則tan θ的最大值為( )
A. B.
C. D.
解析:設(shè)PA,PF的斜率分別為k3,k4,由題意可知tan θ=,不妨設(shè)P(,y)(y>0),則k3=,k4=.令m=-a,n=-c,則tan θ==,由m-n=c-a>0,得當(dāng)+y取得最小值時(shí)tan θ取最大值,又y>0,m<0,n<0,所以+y 16、≥2,當(dāng)且僅當(dāng)y=時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)tan θ===,故選C.
答案:C
9.(2018·淄博模擬)過雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F1,作圓x2+y2=a2的切線交雙曲線的右支于點(diǎn)P,切點(diǎn)為T,PF1的中點(diǎn)M在第一象限,則以下結(jié)論正確的是( )
A.b-a=|MO|-|MT|
B.b-a>|MO|-|MT|
C.b-a<|MO|-|MT|
D.b-a=|MO|+|MT|
解析:如圖,連接OT,則OT⊥F1T,在直角三角形OTF1中,|F1T|==b,連接PF2,
∵M(jìn)為線段F1P的中點(diǎn),O為F1F2的中點(diǎn),
∴|OM|=|PF2|,
∴|MO|-|MT|=|P 17、F2|-=(|PF2|-|PF1|)+b=×(-2a)+b=b-a,故選A.
答案:A
10.(2018·昆明市檢測)已知點(diǎn)F為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),以點(diǎn)F為圓心的圓與C的漸近線相切,且與C交于A,B兩點(diǎn),若AF⊥x軸,則C的離心率為________.
解析:不妨設(shè)F為雙曲線的右焦點(diǎn),則F(c,0),易知雙曲線的漸近線方程為y=±x,則雙曲線的焦點(diǎn)F到漸近線的距離d==b,所以圓F的半徑為b.在雙曲線方程中,令x=c,得y=±,所以A(c,±).因?yàn)辄c(diǎn)A在圓F上,所以=b,即a=b,所以c==a,所以e==.
答案:
11.雙曲線-=1(a>0,b>0)上一點(diǎn) 18、M(-3,4)關(guān)于一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰為右焦點(diǎn)F2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________.
解析:不妨設(shè)雙曲線-=1的右焦點(diǎn)F2(c,0)關(guān)于漸近線y=x對(duì)稱的點(diǎn)在雙曲線上,
則過焦點(diǎn)F2且垂直于該漸近線的直線方程為y-0=-(x-c),
即y=-(x-c).
聯(lián)立可得方程組
解得
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得F2關(guān)于漸近線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-c,),
將其代入雙曲線的方程可得-=1,化簡可得c2=5a2,c2=a2+b2=5a2,所以b2=4a2.因?yàn)镸(-3,4)在雙曲線-=1上,所以-=1,-=1,所以a2=5,b2=20,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.
答案:-=1 19、
12.設(shè)雙曲線x2-=1的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2.若點(diǎn)P在雙曲線上,且△F1PF2為銳角三角形,則|PF1|+|PF2|的取值范圍是______.
解析:由題意不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上,現(xiàn)考慮兩種極限情況:當(dāng)PF2⊥x軸時(shí),|PF1|+|PF2|有最大值8;當(dāng)∠P為直角時(shí),|PF1|+|PF2|有最小值2.因?yàn)椤鱂1PF2為銳角三角形,所以|PF1|+|PF2|的取值范圍為(2,8).
答案:(2,8)
13.(2018·沈陽質(zhì)量監(jiān)測)已知P是雙曲線-y2=1上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P分別作雙曲線的兩條漸近線的垂線,垂足分別為A,B,則·的值是________.
解析:設(shè)P(x0,y0),因?yàn)樵撾p曲線的漸近線分別是-y=0,+y=0,所以可取|PA|=,|PB|=,又cos∠APB=-cos∠AOB=-cos2∠AOx=-cos =-,所以·=||·||·cos∠APB=·(-)=×(-)=-.
答案:-
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