2022-2023版高中數學 第一章 導數及其應用滾動訓練二 新人教A版選修2-2

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1、2022-2023版高中數學 第一章 導數及其應用滾動訓練二 新人教A版選修2-2 一、選擇題 1．函數f(x)的定義域為R，導函數f′(x)的圖象如圖所示，則函數f(x)(　　) A．無極大值點，有四個極小值點 B．有三個極大值點，兩個極小值點 C．有兩個極大值點，兩個極小值點 D．有四個極大值點，無極小值點 考點　函數極值的應用 題點　函數極值在函數圖象上的應用 答案　C 解析　f′(x)的符號由正變負，則f(x0)是極大值，f′(x)的符號由負變正，則f(x0)是極小值，由題圖易知有兩個極大值點，兩個極小值點． 2．若函數f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1

2、)內單調遞減，則實數a的取值范圍是(　　) A．[1，＋∞) B．a＝1 C．(－∞，1] D．(0,1) 考點　利用導數求函數的單調區(qū)間 題點　已知函數單調性求參數(或其范圍) 答案　A 解析　∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)內單調遞減，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)內恒成立， ∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1. 3.已知定義在R上的函數f(x)，其導函數f′(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是(　　) A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e) C．f(c)>f(b)>f(a)

3、D．f(c)>f(e)>f(d) 考點　利用導數研究函數的單調性 題點　比較函數值的大小 答案　C 解析　依題意得，當x∈(－∞，c)時，f′(x)>0， 因此，函數f(x)在(－∞，c)上是增函數， 由于af(b)>f(a)． 4．函數f(x)＝x＋2cos x在上取最大值時的x值為(　　) A．0 B. C. D. 考點　利用導數求函數的最值 題點　利用導數求不含參數函數的最值 答案　B 解析　由f′(x)＝1－2sin x＝0，得sin x＝， 又x∈，所以x＝， 當x∈時，f′(x)>0； 當x∈時，f′(x)<0， 故

4、當x＝時取得最大值． 5．已知函數f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2處有極值，其圖象在點(1，f(1))處的切線與直線3x＋y＝0平行，則函數f(x)的單調遞減區(qū)間為(　　) A．(－∞，0) B．(0,2) C．(2，＋∞) D．(－∞，＋∞) 考點　利用導數求函數的單調區(qū)間 題點　利用導數求含參數函數的單調區(qū)間 答案　B 解析　∵f(x)＝ax3＋bx2，∴f′(x)＝3ax2＋2bx， ∴即 令f′(x)＝3x2－6x<0，則0

5、∞) B．(－∞，0]∪[e2，＋∞) C．(－∞，e2] D．[1，e2] 考點　利用導數求函數的單調區(qū)間 題點　已知函數的單調性求參數(或其范圍) 答案　A 解析　若b≤0，則函數在(0，＋∞)上為增函數，滿足條件， 若b>0，則函數的導數f′(x)＝1－＝， 由f′(x)>0得x>或x<－，此時函數單調遞增， 由f′(x)<0得－

6、下列四個圖象之一，且其導函數f′(x)的圖象如圖所示，則該函數的圖象是(　　) 考點　函數的單調性與導數的關系 題點　根據導函數的圖象確定原函數圖象 答案　B 解析　從導函數的圖象可以看出，導函數值先增大后減小，x＝0時最大，所以函數f(x)的圖象的變化率也先增大后減小，在x＝0時變化率最大．A項，在x＝0時變化率最小，故錯誤；C項，變化率是越來越大的，故錯誤；D項，變化率是越來越小的，故錯誤．B項正確． 8．當x∈[－2,1]時，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，則實數a的取值范圍是(　　) A．[－5，－3] B. C．[－6，－2] D．[－4，－

7、3] 考點　利用導數求函數中參數的取值范圍 題點　利用導數求恒成立問題中參數的取值范圍 答案　C 解析　當x＝0時，ax3－x2＋4x＋3≥0變?yōu)?≥0恒成立，即a∈R. 當x∈(0,1]時，ax3≥x2－4x－3，a≥， ∴a≥max. 設φ(x)＝， φ′(x)＝ ＝－＝－>0， ∴φ(x)在(0,1]上遞增，φ(x)max＝φ(1)＝－6， ∴a≥－6. 當x∈[－2,0)時，a≤， ∴a≤min. 仍設φ(x)＝，φ′(x)＝－. 當x∈[－2，－1)時，φ′(x)<0， 當x∈(－1,0)時，φ′(x)>0. ∴當x＝－1時，φ(x)有極小值，即為最

8、小值． 而φ(x)min＝φ(－1)＝＝－2，∴a≤－2. 綜上知－6≤a≤－2. 二、填空題 9．若函數f(x)＝x3＋x2＋m在區(qū)間[－2,1]上的最大值為，則m＝________. 考點　導數在最值問題中的應用 題點　已知最值求參數 答案　2 解析　f′(x)＝3x2＋3x＝3x(x＋1)． 由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－1. 又f(0)＝m，f(－1)＝m＋， f(1)＝m＋，f(－2)＝－8＋6＋m＝m－2， ∴當x∈[－2,1]時，最大值為f(1)＝m＋， ∴m＋＝，∴m＝2. 10.已知函數f(x)的導函數f′(x)是二次函數，如圖是f′(x)的大

9、致圖象，若f(x)的極大值與極小值的和等于，則f(0)的值為________． 考點　利用導數研究函數的極值 題點　已知極值求參數 答案　 解析　∵其導函數的函數值應在(－∞，－2)上為正數，在(－2,2)上為負數，在(2，＋∞)上為正數， 由導函數圖象可知，函數在(－∞，－2)上為增函數，在(－2,2)上為減函數，在(2，＋∞)上為增函數， ∴函數在x＝－2時取得極大值，在x＝2時取得極小值，且這兩個極值點關于點(0，f(0))對稱， 由f(x)的極大值與極小值之和為，得f(－2)＋f(2)＝2f(0)， ∴＝2f(0)，則f(0)的值為. 11．已知函數f(x)＝xe

10、x＋c有兩個零點，則c的取值范圍是________． 考點　函數極值的綜合應用 題點　函數零點與方程的根 答案　 解析　∵f′(x)＝ex(x＋1)，∴易知f(x)在(－∞，－1)上單調遞減，在(－1，＋∞)上單調遞增，且f(x)min＝f(－1)＝c－e－1，由題意得c－e－1<0，得c

11、你制定一個投放方案，使得在這次活動中農民得到的補貼最多，并求出最大值．(精確到0.1，參考數據：ln 4≈1.4) 考點　利用導數求解生活中的最值問題 題點　利用導數求解最大利潤問題 解　設B型號電視機的投放金額為x萬元(1≤x≤9)，農民得到的補貼為y萬元，則A型號的電視機的投放金額為(10－x)萬元，由題意得 y＝(10－x)＋ln x＝ln x－x＋1,1≤x≤9， ∴y′＝－，令y′＝0得x＝4. 由y′>0，得1≤x<4，由y′<0，得4

12、，這時，10－x＝6. 即廠家對A，B兩種型號的電視機的投放金額分別為6萬元和4萬元時，農民得到的補貼最多，最多補貼約1.2萬元． 13．設函數f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)． (1)求f(x)的最小值h(t)； (2)若h(t)<－2t＋m對t∈(0,2)恒成立，求實數m的取值范圍． 考點　利用導數求函數中參數的取值范圍 題點　利用導數求恒成立問題中參數的取值范圍 解　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)， ∴當x＝－t時，f(x)有最小值f(－t)＝h(t)＝－t3＋t－1. (2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－

13、t3＋3t－1－m， 由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1或t＝－1(舍去)． 當t變化時，g′(t)，g(t)的變化情況如下表： t (0,1) 1 (1,2) g′(t) ＋ 0 － g(t) ↗ 1－m ↘ ∴當t∈(0,2)時，g(t)max＝g(1)＝1－m. ∵h(t)<－2t＋m對t∈(0,2)恒成立， ∴g(t)max＝1－m<0，∴m>1. 故實數m的取值范圍是(1，＋∞)． 四、探究與拓展 14．已知函數f(x)＝2ln x＋(a>0)．若當x∈(0，＋∞)時，f(x)≥2恒成立，則實數a的取值范圍是________． 考點　

14、利用導數求函數中參數的取值范圍 題點　利用導數求恒成立問題中參數的取值范圍 答案　[e，＋∞) 解析　f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x. 令g(x)＝2x2－2x2ln x， 則g′(x)＝2x(1－2ln x)． 由g′(x)＝0得x＝或0(舍去)， 當00； 當x>時，g′(x)<0， ∴當x＝時，g(x)取最大值g()＝e，∴a≥e. 15．已知函數f(x)＝ln(x＋1)＋(a∈R)． (1)當a＝1時，求函數f(x)在點(0，f(0))處的切線方程； (2)討論函數f(x)的極值； (3)求證：ln(n＋1)>＋＋＋…＋(n∈N

15、*)． 考點　利用導數研究函數的單調性 題點　構造法的應用 (1)解　當a＝1時，f(x)＝ln(x＋1)＋， 所以f′(x)＝＋＝， 所以f′(0)＝2， 又f(0)＝0， 所以函數f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝2x. (2)解　f′(x)＝＋ ＝(x>－1)． 令x＋1＋a＝0，得x＝－a－1. 若－a－1≤－1，即a≥0， 則f′(x)>0恒成立，此時f(x)無極值． 若－a－1>－1，即a<0， 當－1－a－1時，f′(x)>0， 此時f(x)在x＝－a－1處取得極小值， 極小值為ln(－a)＋a＋1. (3)證明　當a＝－1時，由(2)知，f(x)min＝f(0)＝0， 所以ln(x＋1)－≥0，即ln(x＋1)≥. 令x＝(n∈N*)， 則ln≥＝， 所以ln≥. 又因為－＝>0， 所以>， 所以ln>， 所以ln＋ln＋ln＋…＋ln>＋＋＋…＋， 即ln(n＋1)>＋＋＋…＋.