高考數(shù)學二輪復習 專題訓練四 第1講 等差數(shù)列和等比數(shù)列 理

上傳人:xt****7 文檔編號:105796765 上傳時間:2022-06-12 格式:DOC 頁數(shù):13 大?。?96.52KB
收藏 版權申訴 舉報 下載
高考數(shù)學二輪復習 專題訓練四 第1講 等差數(shù)列和等比數(shù)列 理_第1頁
第1頁 / 共13頁
高考數(shù)學二輪復習 專題訓練四 第1講 等差數(shù)列和等比數(shù)列 理_第2頁
第2頁 / 共13頁
高考數(shù)學二輪復習 專題訓練四 第1講 等差數(shù)列和等比數(shù)列 理_第3頁
第3頁 / 共13頁

下載文檔到電腦,查找使用更方便

9.9 積分

下載資源

還剩頁未讀,繼續(xù)閱讀

資源描述:

《高考數(shù)學二輪復習 專題訓練四 第1講 等差數(shù)列和等比數(shù)列 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高考數(shù)學二輪復習 專題訓練四 第1講 等差數(shù)列和等比數(shù)列 理(13頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。

1、高考數(shù)學二輪復習 專題訓練四 第1講 等差數(shù)列和等比數(shù)列 理 考情解讀 1.等差、等比數(shù)列基本量和性質的考查是高考熱點,經常以小題形式出現(xiàn).2.數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考考查的重點,考查分析問題、解決問題的綜合能力. 1.an與Sn的關系Sn=a1+a2+…+an,an= 2.等差數(shù)列和等比數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 定義 an-an-1=常數(shù)(n≥2) =常數(shù)(n≥2) 通項公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1(q≠0) 判定方法 (1)定義法 (2)中項公式法:2an+1=an+ an+2(n≥1)?{an}為等差數(shù)列

2、(3)通項公式法:an=pn+q(p、q為常數(shù))?{an}為等差數(shù)列 (4)前n項和公式法:Sn=An2+Bn(A、B為常數(shù))?{an}為等差數(shù)列 (5){an}為等比數(shù)列,an>0?{logaan}為等差數(shù)列 (1)定義法 (2)中項公式法:a=an· an+2(n≥1)(an≠0)? {an}為等比數(shù)列 (3)通項公式法: an=c·qn(c、q均是不為0的常數(shù),n∈N*)?{an}為等比數(shù)列 (4){an}為等差數(shù)列?{aan}為等比數(shù)列(a>0且a≠1) 性質 (1)若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,則am+an=ap+aq (2)an=am+(n-m)d

3、 (3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,仍成等差數(shù)列 (1)若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,則am·an=ap·aq (2)an=amqn-m (3)等比數(shù)列依次每n項和(Sn≠0)仍成等比數(shù)列 前n項和 Sn==na1+d (1)q≠1,Sn== (2)q=1,Sn=na1 熱點一 等差數(shù)列 例1 (1)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a2+a4+a6=12,則S7的值是(  ) A.21 B.24 C.28 D.7 (2)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若-1

4、迪 (1)利用a1+a7=2a4建立S7和已知條件的聯(lián)系;(2)將a3,a6的范圍整體代入. 答案 (1)C (2)(-3,21) 解析 (1)由題意可知,a2+a6=2a4,則3a4=12,a4=4,所以S7==7a4=28. (2)S9=9a1+36d=3(a1+2d)+6(a1+5d) 又-1

5、m,S2m-Sm,S3m-S2m,…,仍成等差數(shù)列; ③am-an=(m-n)d?d=(m,n∈N*); ④=(A2n-1,B2n-1分別為{an},{bn}的前2n-1項的和). (3)等差數(shù)列前n項和的問題可以利用函數(shù)的性質或者轉化為等差數(shù)列的項,利用性質解決.  (1)已知等差數(shù)列{an},滿足a3=1,a8=6,則此數(shù)列的前10項的和S10=________. (2)在等差數(shù)列{an}中,a5<0,a6>0且a6>|a5|,Sn是數(shù)列的前n項的和,則下列說法正確的是(  ) A.S1,S2,S3均小于0,S4,S5,S6…均大于0 B.S1,S2,…S5均小于0,S6,S

6、7,…均大于0 C.S1,S2,…S9均小于0,S10,S11…均大于0 D.S1,S2,…S11均小于0,S12,S13…均大于0 答案 (1)35 (2)C 解析 (1)因為a1+a10=a3+a8=7, 所以S10= ===35. (2)由題意可知a6+a5>0,故 S10==>0, 而S9===9a5<0,故選C. 熱點二 等比數(shù)列 例2 (1)(xx·安徽)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構成公比為q的等比數(shù)列,則q=_____________________. (2)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1+a3=,a2+a4=,則

7、等于(  ) A.4n-1 B.4n-1 C.2n-1 D.2n-1 思維啟迪 (1)列方程求出d,代入q即可;(2)求出a1,q,代入化簡. 答案 (1)1 (2)D 解析 (1)設等差數(shù)列的公差為d,則a3=a1+2d, a5=a1+4d, ∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1, ∴q===1. (2)∵∴ 由①②可得=2,∴q=,代入①得a1=2, ∴an=2×()n-1=, ∴Sn==4(1-), ∴==2n-1,故選D. 思維升華 (1){an}為等比數(shù)列,其性質如下: ①若m、n、r、s∈N*,且m+n=r+s,

8、則am·an=ar·as; ②an=amqn-m; ③Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列(q≠-1). (2)等比數(shù)列前n項和公式 Sn= ①能“知三求二”;②注意討論公比q是否為1;③a1≠0.  (1)已知各項不為0的等差數(shù)列{an}滿足a4-2a+3a8=0,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且b7=a7,則b2b8b11等于(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 (2)在等比數(shù)列{an}中,a1+an=34,a2·an-1=64,且前n項和Sn=62,則項數(shù)n等于(  ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 (1)D (2)B 解析 (1)

9、∵a4-2a+3a8=0,∴2a=a4+3a8,即2a=4a7,∴a7=2,∴b7=2,又∵b2b8b11=b1qb1q7b1q10=bq18=(b7)3=8,故選D. (2)設等比數(shù)列{an}的公比為q,由a2an-1=a1an=64,又a1+an=34,解得a1=2,an=32或a1=32,an=2.當a1=2,an=32時,Sn====62,解得q=2.又an=a1qn-1,所以2×2n-1=2n=32,解得n=5.同理,當a1=32,an=2時,由Sn=62,解得q=.由an=a1qn-1=32×()n-1=2,得()n-1==()4,即n-1=4,n=5.綜上,項數(shù)n等于5,故選B

10、. 熱點三 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應用 例3 已知等差數(shù)列{an}的公差為-1,且a2+a7+a12=-6. (1)求數(shù)列{an}的通項公式an與前n項和Sn; (2)將數(shù)列{an}的前4項抽去其中一項后,剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項,記{bn}的前n項和為Tn,若存在m∈N*,使對任意n∈N*,總有Sn

11、4,b2=2,b3=1, 設等比數(shù)列{bn}的公比為q, 則q==, ∴Tm==8[1-()m], ∵()m隨m增加而遞減, ∴{Tm}為遞增數(shù)列,得4≤Tm<8. 又Sn==-(n2-9n) =-[(n-)2-], 故(Sn)max=S4=S5=10, 若存在m∈N*,使對任意n∈N*總有Sn6.即實數(shù)λ的取值范圍為(6,+∞). 思維升華 等差(比)數(shù)列的綜合問題的常見類型及解法 (1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題,常用“基本量法”求解,但有時靈活地運用性質,可使運算簡便. (2)等差數(shù)列、等比數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等的交匯問

12、題,求解時用等差(比)數(shù)列的相關知識,將問題轉化為相應的函數(shù)、方程、不等式等問題求解即可.  已知數(shù)列{an}前n項和為Sn,首項為a1,且,an,Sn成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)數(shù)列{bn}滿足bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3),求證:+++…+<. (1)解 ∵,an,Sn成等差數(shù)列,∴2an=Sn+, 當n=1時,2a1=S1+,∴a1=, 當n≥2時,Sn=2an-,Sn-1=2an-1-, 兩式相減得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1, ∴=2, ∴數(shù)列{an}是首項為,公比為2的等比數(shù)列, ∴an=×2n-1=2

13、n-2. (2)證明 bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3)=log222n+1-2×log222n+3-2=(2n-1)(2n+1), =×=(-), +++…+=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1-)<(n∈N*). 即+++…+<. 1.在等差(比)數(shù)列中,a1,d(q),n,an,Sn五個量中知道其中任意三個,就可以求出其他兩個.解這類問題時,一般是轉化為首項a1和公差d(公比q)這兩個基本量的有關運算. 2.等差、等比數(shù)列的性質是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn),是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具,應有意識地去應用.但在應用性質時要注意性質的前提條

14、件,有時需要進行適當變形. 3.等差、等比數(shù)列的單調性 (1)等差數(shù)列的單調性 d>0?{an}為遞增數(shù)列,Sn有最小值. d<0?{an}為遞減數(shù)列,Sn有最大值. d=0?{an}為常數(shù)列. (2)等比數(shù)列的單調性 當或時,{an}為遞增數(shù)列,當或時,{an}為遞減數(shù)列. 4.常用結論 (1)若{an},{bn}均是等差數(shù)列,Sn是{an}的前n項和,則{man+kbn},{}仍為等差數(shù)列,其中m,k為常數(shù). (2)若{an},{bn}均是等比數(shù)列,則{can}(c≠0),{|an|},{an·bn},{manbn}(m為常數(shù)),{a},{}仍為等比數(shù)列. (3)公比

15、不為1的等比數(shù)列,其相鄰兩項的差也依次成等比數(shù)列,且公比不變,即a2-a1,a3-a2,a4-a3,…,成等比數(shù)列,且公比為==q. (4)等比數(shù)列(q≠-1)中連續(xù)k項的和成等比數(shù)列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,成等比數(shù)列,其公差為qk. 等差數(shù)列中連續(xù)k項的和成等差數(shù)列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,成等差數(shù)列,公差為k2d. 5.易錯提醒 (1)應用關系式an=時,一定要注意分n=1,n≥2兩種情況,在求出結果后,看看這兩種情況能否整合在一起. (2)三個數(shù)a,b,c成等差數(shù)列的充要條件是b=,但三個數(shù)a,b,c成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac.

16、 真題感悟 1.(xx·大綱全國)等比數(shù)列{an}中,a4=2,a5=5,則數(shù)列{lg an}的前8項和等于(  ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案 C 解析 數(shù)列{lg an}的前8項和S8=lg a1+lg a2+…+lg a8=lg(a1·a2·…·a8)=lg(a1·a8)4 =lg(a4·a5)4=lg(2×5)4=4. 2.(xx·北京)若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,則當n=________時,{an}的前n項和最大. 答案 8 解析 ∵a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0. ∵a7+a10=a8+a9<0,∴a9<

17、-a8<0. ∴數(shù)列的前8項和最大,即n=8. 押題精練 1.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則下列一定成立的是(  ) A.若a3>0,則a2 013<0 B.若a4>0,則a2 014<0 C.若a3>0,則a2 013>0 D.若a4>0,則a2 014>0 答案 C 解析 因為a3=a1q2,a2 013=a1q2 012,而q2與q2 012均為正數(shù),若a3>0,則a1>0,所以a2 013>0,故選C. 2.已知數(shù)列{an}是首項為a,公差為1的等差數(shù)列,bn=.若對任意的n∈N*,都有bn≥b8成立,則實數(shù)a的取值范圍為________. 答案 (-8

18、,-7) 解析 an=a+(n-1)×1=n+a-1,所以bn==,因為對任意的n∈N*,都有bn≥b8成立,即≥(n∈N*)恒成立,即≤0(n∈N*),則有解得-8

19、a=a+4an+4=(an+2)2, ∵an>0,∴an+1=an+2. ∴當n≥2時,{an}是公差d=2的等差數(shù)列. ∵a2,a5,a14構成等比數(shù)列, ∴a=a2·a14,(a2+6)2=a2·(a2+24),解得a2=3, 由條件可知,4a1=a-5=4,∴a1=1, ∵a2-a1=3-1=2, ∴{an}是首項a1=1,公差d=2的等差數(shù)列. ∴等差數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1. ∵等比數(shù)列{bn}的公比q===3, ∴等比數(shù)列{bn}的通項公式為bn=3n. (2)Tn===, ∴(+)k≥3n-6對任意的n∈N*恒成立, ∴k≥對任意的n∈N*

20、恒成立, 令cn=,cn-cn-1=-=, 當n≤3時,cn>cn-1; 當n≥4時,cn

21、 解析 由2a6=6+a7得a5=6,所以S9=9a5=54.故選D. 3.設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21,則m等于(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C 解析 由已知得,Sm-Sm-1=am=-16,Sm+1-Sm=am+1=32,故公比q=-2,又Sm==-11,故a1=-1,又am=a1·qm-1=-16,代入可求得m=5. 4.數(shù)列{an}的首項為3,{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1-an(n∈N*),若b3=-2,b10=12,則a8等于(  ) A.0 B.3 C.8 D.11 答案 B

22、 解析 ∵{bn}為等差數(shù)列,設其公差為d, 由b3=-2,b10=12, ∴7d=b10-b3=12-(-2)=14,∴d=2, ∵b3=-2,∴b1=b3-2d=-2-4=-6, ∴b1+b2+…+b7=7b1+·d =7×(-6)+21×2=0, 又b1+b2+…+b7=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=a8-a1=a8-3, ∴a8-3=0,a8=3.故選B. 5.數(shù)列{an}滿足a1=2,an=,其前n項積為Tn,則T2 014等于(  ) A. B.- C.6 D.-6 答案 D 解析 由an=得an+1=,而a1=2,所以a2=

23、-3,a3=-,a4=,a5=2,則數(shù)列是以4為周期,且a1a2a3a4=1,所以T2 014=(a1a2a3a4)503a1a2=1503×2×(-3)=-6,故選D. 6.已知{an}是等差數(shù)列,Sn為其前n項和,若S21=S4 000,O為坐標原點,點P(1,an), Q(2 011,a2 011),則·等于(  ) A.2 011 B.-2 011 C.0 D.1 答案 A 解析 由S21=S4 000得a22+a23+…+a4 000=0, 由于a22+a4 000=a23+a3 999=…=2a2 011, 所以a22+a23+…+a4 000=3 979a2

24、011=0, 從而a2 011=0,而·=2 011+a2 011an=2 011. 二、填空題 7.在等比數(shù)列{an}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,則a9+a11+a13+a15=________. 答案 3 解析 設等比數(shù)列{an}的公比為q, 由已知,得解得q4=. 又a9+a11=a1q8+a3q8=(a1+a3)q8=8×()2=2, a13+a15=a1q12+a3q12=(a1+a3)q12=8×()3=1, 所以a9+a11+a13+a15=2+1=3. 8.(xx·廣東)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則ln

25、 a1+ln a2+…+ln a20=______. 答案 50 解析 因為a10a11+a9a12=2a10a11=2e5, 所以a10a11=e5. 所以ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2…a20) =ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]=ln(a10a11)10=10ln(a10a11)=10ln e5=50ln e=50. 9.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,則當Sn取最小值時,n=________. 答案 6 解析 設等差數(shù)列的公差為d, 則由a4+a6=-6得2a5=-6,∴a5=

26、-3. 又∵a1=-11,∴-3=-11+4d,∴d=2, ∴Sn=-11n+×2=n2-12n=(n-6)2-36, 故當n=6時,Sn取最小值. 10.已知數(shù)列{an}的首項為a1=2,且an+1=(a1+a2+…+an) (n∈N*),記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則Sn=________,an=________. 答案 2×n-1  解析 由an+1=(a1+a2+…+an) (n∈N*),可得an+1=Sn,所以Sn+1-Sn=Sn,即Sn+1=Sn,由此可知數(shù)列{Sn}是一個等比數(shù)列,其中首項S1=a1=2,公比為,所以Sn=2×n-1, 由此得an= 三、解答題

27、 11.成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15,并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式; (2)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,求證:數(shù)列{Sn+}是等比數(shù)列. (1)解 設成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為a-d,a,a+d. 依題意,得a-d+a+a+d=15. 解得a=5. 所以{bn}中的b3,b4,b5依次為7-d,10,18+d. 依題意,有(7-d)(18+d)=100, 解得d=2或d=-13(舍去). 故{bn}的第3項為5,公比為2. 由b3=b1·22,即5=b1·22, 解得b1=. 所以b

28、n=b1·qn-1=·2n-1=5·2n-3, 即數(shù)列{bn}的通項公式bn=5·2n-3. (2)證明 由(1)得數(shù)列{bn}的前n項和 Sn==5·2n-2-, 即Sn+=5·2n-2. 所以S1+=,==2. 因此{Sn+}是以為首項,2為公比的等比數(shù)列. 12.若數(shù)列{bn}對于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常數(shù)),則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準等差數(shù)列,如數(shù)列{cn},若cn=則數(shù)列{cn}是公差為8的準等差數(shù)列.設數(shù)列{an}滿足a1=a,對于n∈N*,都有an+an+1=2n. (1)求證:{an}為準等差數(shù)列; (2)求{an}的通項公式及前20項和S20

29、. (1)證明 ∵an+1+an=2n,① ∴an+2+an+1=2n+2.② 由②-①得an+2-an=2(n∈N*), ∴{an}是公差為2的準等差數(shù)列. (2)解 已知a1=a,an+1+an=2n(n∈N*), ∴a1+a2=2,即a2=2-a. ∴由(1)可知a1,a3,a5,…,成以a為首項,2為公差的等差數(shù)列,a2,a4,a6,…,成以2-a為首項,2為公差的等差數(shù)列. ∴當n為偶數(shù)時,an=2-a+(-1)×2=n-a, 當n為奇數(shù)時,an=a+(-1)×2=n+a-1, ∴an= S20=a1+a2+…+a19+a20 =(a1+a2)+(a3+a4)

30、+…+(a19+a20) =2×1+2×3+…+2×19=2×=200. 13.(xx·湖北)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和,S4,S2,S3成等差數(shù)列,且a2+a3+a4=-18. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)是否存在正整數(shù)n,使得Sn≥2 013?若存在,求出符合條件的所有n的集合;若不存在,說明理由. 解 (1)設等比數(shù)列{an}的公比為q, 則a1≠0,q≠0.由題意得 即 解得 故數(shù)列{an}的通項公式為an=3×(-2)n-1. (2)由(1)有Sn==1-(-2)n. 假設存在n,使得Sn≥2 013, 則1-(-2)n≥2 013,即(-2)n≤-2 012. 當n為偶數(shù)時,(-2)n>0,上式不成立; 當n為奇數(shù)時,(-2)n=-2n≤-2 012, 即2n≥2 012,得n≥11. 綜上,存在符合條件的正整數(shù)n,且所有這樣的n的集合為{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.

展開閱讀全文
溫馨提示:
1: 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
2: 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
3.本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網頁內容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業(yè)或盈利用途。
5. 裝配圖網僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內容負責。
6. 下載文件中如有侵權或不適當內容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

相關資源

更多
正為您匹配相似的精品文檔
關于我們 - 網站聲明 - 網站地圖 - 資源地圖 - 友情鏈接 - 網站客服 - 聯(lián)系我們

copyright@ 2023-2025  zhuangpeitu.com 裝配圖網版權所有   聯(lián)系電話:18123376007

備案號:ICP2024067431-1 川公網安備51140202000466號


本站為文檔C2C交易模式,即用戶上傳的文檔直接被用戶下載,本站只是中間服務平臺,本站所有文檔下載所得的收益歸上傳人(含作者)所有。裝配圖網僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內容的表現(xiàn)方式做保護處理,對上載內容本身不做任何修改或編輯。若文檔所含內容侵犯了您的版權或隱私,請立即通知裝配圖網,我們立即給予刪除!