2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計案例章末復(fù)習(xí)學(xué)案 新人教A版選修2-3

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1、2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計案例章末復(fù)習(xí)學(xué)案 新人教A版選修2-3 學(xué)習(xí)目標　1.會求線性回歸方程，并用回歸直線進行預(yù)報.2.理解獨立性檢驗的基本思想及實施步驟． 1．最小二乘法 對于一組數(shù)據(jù)(xi，yi)，i＝1,2，…，n，如果它們線性相關(guān)，則線性回歸方程為＝x＋，其中＝＝，＝－ . 2．2×2列聯(lián)表 2×2列聯(lián)表如表所示： B 總計 A a b a＋b c d c＋d 總計 a＋c b＋d n 其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量． 3．獨立性檢驗 常用隨機變量 K2＝來檢驗兩個變量是否有關(guān)系． 類型一　回歸

2、分析 例1　(2016·全國Ⅲ改編)如圖是我國2008年到2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖． 注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2008～2014 (1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明； (2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2019年我國生活垃圾無害化處理量． 附注： 參考數(shù)據(jù)：i＝9.32，iyi＝40.17, ＝0.55，≈2.646. 參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝， 回歸方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：＝，＝－ . 考點　線性回歸分析 題點　線性回歸方程的應(yīng)用 解　(1)由折線圖

3、中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得 ＝4，(ti－)2＝28, ＝0.55， (ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－4×9.32＝2.89， r≈≈0.99. 因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系． (2)由＝≈1.331及(1)得 ＝＝≈0.103， ＝－≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y關(guān)于t的回歸方程為＝0.92＋0.10t. 將2019年對應(yīng)的t＝12代入回歸方程得 ＝0.92＋0.10×12＝2.12. 所以預(yù)測2019年我國生活垃圾無害化處理量約為2.12億噸． 反思與感悟　解

4、決回歸分析問題的一般步驟 (1)畫散點圖．根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫出散點圖． (2)判斷變量的相關(guān)性并求回歸方程．通過觀察散點圖，直觀感知兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系；在此基礎(chǔ)上，利用最小二乘法求回歸系數(shù)，然后寫出回歸方程． (3)回歸分析．畫殘差圖或計算R2，進行殘差分析． (4)實際應(yīng)用．依據(jù)求得的回歸方程解決實際問題． 跟蹤訓(xùn)練1　經(jīng)分析預(yù)測，美國通用汽車等10家大公司的銷售總額xi(i＝1,2，…，10，單位：百萬美元)與利潤yi(i＝1,2，…，10，單位：百萬美元)的近似線性關(guān)系為＝0.026x＋，經(jīng)統(tǒng)計i＝623 090，i＝29 300. (1)求； (2)若通用汽車公司的銷售

5、總額x1＝126 974(百萬美元)，殘差1＝－387，估計通用汽車的利潤； (3)福特公司的銷售總額為96 933百萬美元，利潤為3 835，比較通用汽車公司與福特公司利潤的解釋變量對于預(yù)報變量變化的貢獻率說明了什么？(以上答案精確到個位) 考點　殘差分析與相關(guān)指數(shù) 題點　殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用 解　(1)由i＝623 090，i＝29 300， 得樣本點中心為(62 309,2 930)， 所以＝2 930－0.026×62 309≈1 310. (2)由(1)知＝0.026x＋1 310， 當x1＝126 974時， 1＝0.026×126 974＋1 310≈4 611

6、， 所以y1＝1＋1＝4 611＋(－387)＝4 224， 估計通用汽車公司的利潤為4 224百萬美元． (3)由(1)(2)可得通用汽車公司利潤的解釋變量對于預(yù)報變量變化的貢獻率為R， 則R＝1－＝1－≈0.911＝91.1%. 設(shè)福特公司利潤的解釋變量對于預(yù)報變量變化的貢獻率為R， 由＝0.026x＋1 310得 2＝0.026×96 933＋1 310≈3 830， 則R＝1－＝1－≈0.999 97 ＝99.997%. 由R＜R知，用＝0.026x＋1 310作為解釋變量與預(yù)報變量的關(guān)系，預(yù)報通用汽車公司的效果沒有預(yù)報福特公司的效果好，或者說預(yù)報通用汽車公司的精確

7、度低于預(yù)報福特公司的精確度． 類型二　獨立性檢驗 例2　奧運會期間，為調(diào)查某高校學(xué)生是否愿意提供志愿者服務(wù)，用簡單隨機抽樣方法從該校調(diào)查了60人，結(jié)果如下： 　　　　　是否愿意提供 志愿者服務(wù) 性別　　　　　 愿意 不愿意 男生 20 10 女生 10 20 (1)用分層抽樣的方法在愿意提供志愿者服務(wù)的學(xué)生中抽取6人，其中男生抽取多少人？ (2)你能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為該校高中生是否愿意提供志愿者服務(wù)與性別有關(guān)？ 下面的臨界值表供參考： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005

8、 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 獨立性檢驗統(tǒng)計量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 考點　獨立性檢驗思想的應(yīng)用 題點　分類變量與統(tǒng)計、概率的綜合性問題 解　(1)由題意，男生抽取6×＝4(人)． (2)K2＝≈6.667，由于6.667＞6.635，所以能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為該校高中生是否愿意提供志愿者服務(wù)與性別有關(guān)． 反思與感悟　獨立性檢驗問題的求解策略 (1)等高條形圖法：依據(jù)題目信息畫出等高條形圖，依據(jù)頻率差異來粗略地判斷兩個變量的相關(guān)性． (2)通過公式K2

9、＝ 先計算觀測值k，再與臨界值表作比較，最后得出結(jié)論． 跟蹤訓(xùn)練2　某學(xué)生對其親屬30人的飲食習(xí)慣進行了一次調(diào)查，并用莖葉圖表示30人的飲食指數(shù)，如圖所示．(說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主)． (1)根據(jù)莖葉圖，幫助這位同學(xué)說明其親屬30人的飲食習(xí)慣； (2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表； 主食蔬菜 主食肉類 合計 50歲以下 50歲以上 總計 (3)在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，是否能認為“其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)”？ 考點　獨立性檢驗思想的應(yīng)用

10、 題點　獨立性檢驗在分類變量中的應(yīng)用 解　(1)30位親屬中50歲以上的人多以食蔬菜為主，50歲以下的人多以食肉類為主． (2)2×2列聯(lián)表如表所示： 主食蔬菜 主食肉類 合計 50歲以下 4 8 12 50歲以上 16 2 18 總計 20 10 30 (3)K2＝＝10>6.635， 故在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)”． 1．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A，B兩變量進行線性相關(guān)檢驗，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0

11、.85 則這四位同學(xué)的試驗結(jié)果能體現(xiàn)出A，B兩變量有更強的線性相關(guān)性的是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 考點　線性相關(guān)系數(shù) 題點　線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用 答案　D 解析　由相關(guān)系數(shù)的意義可知，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，相關(guān)性越強，結(jié)合題意可知丁的線性相關(guān)性更強．故選D. 2．為了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關(guān)系，某研究機構(gòu)隨機抽取了60名高中生，通過問卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)： 作文成績優(yōu)秀 作文成績一般 總計 課外閱讀量較大 22 10 32 課外閱讀量一般 8 20 28 總計 30 30 60 由以上數(shù)據(jù)，計算

12、得到K2的觀測值k≈9.643，根據(jù)臨界值表，以下說法正確的是(　　) A．沒有充足的理由認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān) B．有0.5%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān) C．有99.9%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān) D．有99.5%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān) 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　D 解析　根據(jù)臨界值表，10.828>9.643>7.879，在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān)，即有99.5%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān)． 3．某化妝品公司為了增加其商

13、品的銷售利潤，調(diào)查了該商品投入的廣告費用x與銷售利潤y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 廣告費用x(萬元) 2 3 5 6 銷售利潤y(萬元) 5 7 9 11 由表中數(shù)據(jù)，得線性回歸方程l：＝x＋，則下列結(jié)論正確的是(　　) A.＜0 B.＜0 C．直線l過點(4,8) D．直線l過點(2,5) 考點　線性回歸方程 題點　樣本點中心的應(yīng)用 答案　C 解析　因為＝1.4＞0，＝－＝8－1.4×4＝2.4＞0，所以排除A，B；因為＝1.4x＋2.4，所以1.4×2＋2.4＝5.2≠5，所以點(2,5)不在直線l上，所以排除D；因為＝4，＝8，所以回歸直線l過樣本點

14、的中心(4,8)，故選C. 4．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的傳播速度很快，這已經(jīng)成為全球性的威脅．為了考察某種埃博拉病毒疫苗的效果，現(xiàn)隨機抽取100只小鼠進行試驗，得到如下列聯(lián)表： 感染 未感染 總計 服用 10 40 50 未服用 20 30 50 總計 30 70 100 附表： P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 k0 2.706 3.841 5.024 參照附表，在犯錯誤的概率不超過________(填百分比)的前提下，認為“小鼠是否被感染與服用疫苗有關(guān)”． 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性

15、檢驗的方法 答案　5% 解析　K2的觀測值k＝≈4.762＞3.841，所以在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“小鼠是否被感染與服用疫苗有關(guān)”． 5．對于線性回歸方程＝x＋，當x＝3時，對應(yīng)的y的估計值是17，當x＝8時，對應(yīng)的y的估計值是22，那么，該線性回歸方程是________，根據(jù)線性回歸方程判斷當x＝________時，y的估計值是38. 考點　線性回歸分析 題點　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　＝x＋14　24 解析　首先把兩組值代入線性回歸方程，得 解得 所以線性回歸方程是＝x＋14. 令x＋14＝38，可得x＝24，即當x＝24時，y的估計值是38. 1

16、.建立回歸模型的基本步驟： (1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預(yù)報變量． (2)畫出散點圖，觀察它們之間的關(guān)系． (3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型． (4)按照一定的規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)． (5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常． 2．獨立性檢驗是利用隨機變量K2來判斷兩個分類變量間是否存在相關(guān)關(guān)系的方法，常用的直觀方法為等高條形圖，等高條形圖由于是等高的，因此它能直觀地反映兩個分類變量之間的差異的大小，而利用假設(shè)的思想方法，計算出某一個隨機變量K2的值來判斷更精確些． 一、選擇題 1．有人收集了春節(jié)期間平均氣溫x與某取暖商品銷售額y的有關(guān)數(shù)

17、據(jù)如表： 平均氣溫(℃) －2 －3 －5 －6 銷售額(萬元) 20 23 27 30 則該商品銷售額與平均氣溫有(　　) A．確定性關(guān)系 B．正相關(guān)關(guān)系 C．負相關(guān)關(guān)系 D．函數(shù)關(guān)系 考點　回歸分析 題點　回歸分析的概念和意義 答案　C 解析　根據(jù)春節(jié)期間平均氣溫x與某取暖商品銷售額y的有關(guān)數(shù)據(jù)知，y隨x的減小而增大，是負相關(guān)關(guān)系，故選C. 2．如果K2的觀測值為8.654，可以認為“x與y無關(guān)”的可信度為(　　) A．99.5% B．0.5% C．99% D．1% 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案

18、　B 解析　∵8.654＞7.879，∴x與y無關(guān)的可信度為0.5%. 3．下面的等高條形圖可以說明的問題是(　　) A．“心臟搭橋”手術(shù)和“血管清障”手術(shù)對“誘發(fā)心臟病”的影響是絕對不同的 B．“心臟搭橋”手術(shù)和“血管清障”手術(shù)對“誘發(fā)心臟病”的影響沒有什么不同 C．此等高條形圖看不出兩種手術(shù)有什么不同的地方 D．“心臟搭橋”手術(shù)和“血管清障”手術(shù)對“誘發(fā)心臟病”的影響在某種程度上是不同的，但是沒有100%的把握 考點　定性分析的兩類方法 題點　利用圖形定性分析 答案　D 解析　由等高條形圖可知選項D正確． 4．為了了解疾病A是否與性別有關(guān)，在某醫(yī)院隨機地對入院的5

19、0人進行了問卷調(diào)查，得到了如下的列聯(lián)表： 患疾病A 不患疾病A 總計 男 20 5 25 女 10 15 25 總計 30 20 50 則認為疾病A與性別有關(guān)的把握約為(　　) A．95% B．99% C．99.5% D．99.9% 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　C 解析　由公式得K2＝≈8.333＞7.879，故有(1－0.005)×100%＝99.5%的把握認為疾病A與性別有關(guān)． 5．某考察團對全國10大城市進行職工人均工資水平x(單位：千元)與居民人均消費水平y(tǒng)(單位：千元)統(tǒng)計調(diào)查，y與x具有線

20、性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為＝0.66x＋1.562.若某城市居民人均消費水平為7.675千元，估計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為(　　) A．83% B．72% C．67% D．66% 考點　線性相關(guān)系數(shù) 題點　線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用 答案　A 解析　將y＝7.675代入回歸方程，可計算得x≈9.26，所以該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為7.675÷9.26≈0.83，即約為83%. 6．考察棉花種子經(jīng)過處理與生病之間的關(guān)系，得到下表中的數(shù)據(jù)： 種子處理 種子未處理 總計 得病 32 101 133 不得病 61 213 274

21、總計 93 314 407 根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得出(　　) A．種子是否經(jīng)過處理與是否生病有關(guān) B．種子是否經(jīng)過處理與是否生病無關(guān) C．種子是否經(jīng)過處理決定是否生病 D．有90%的把握認為種子經(jīng)過處理與生病有關(guān) 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　B 解析　k＝≈0.164<0.455， 即沒有充足的理由認為種子是否經(jīng)過處理跟生病有關(guān)． 7．為預(yù)測某種產(chǎn)品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了8組觀察值．計算知i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1 849，則y關(guān)于x的回歸方程是(　　) A.＝11.47＋2.

22、62x B.＝－11.47＋2.62x C.＝2.62＋11.47x D.＝11.47－2.62x 考點　線性回歸分析 題點　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　A 解析　由＝，＝－ ， 直接計算得≈2.62，≈11.47， 所以線性回歸方程為＝2.62x＋11.47. 8．若對于變量y與x的10組統(tǒng)計數(shù)據(jù)的回歸模型中，相關(guān)指數(shù)R2＝0.95，又知殘差平方和為120.53，那么(yi－)2的值為(　　) A．241.06 B．2 410.6 C．253.08 D．2 530.8 考點　殘差分析與相關(guān)指數(shù) 題點　殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用 答案　B 解析　設(shè)總

23、偏差平方和為x，根據(jù)公式R2＝1－，有0.95＝1－， ∴x＝＝2 410.6，故選B. 二、填空題 9．在研究氣溫和熱茶銷售杯數(shù)的關(guān)系時，若求得相關(guān)指數(shù)R2≈0.85，則表明氣溫解釋了________的熱茶銷售杯數(shù)變化，而隨機誤差貢獻了剩余的________，所以氣溫對熱茶銷售杯數(shù)的效應(yīng)比隨機誤差的效應(yīng)大得多． 考點　殘差分析與相關(guān)指數(shù) 題點　殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用 答案　85%　15% 解析　由相關(guān)指數(shù)R2的意義可知，R2≈0.85表明氣溫解釋了85%，而隨機誤差貢獻了剩余的15%. 10．為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行5次試驗，得到5組數(shù)據(jù)(x1，

24、y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝150，由最小二乘法求得線性回歸方程為＝0.67x＋54.9，則y1＋y2＋y3＋y4＋y5的值為______． 考點　線性回歸方程 題點　樣本點中心的應(yīng)用 答案　375 解析　由題意，得＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝30，且回歸直線＝0.67x＋54.9恒過點(，)，則＝0.67×30＋54.9＝75，所以y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝5＝375. 11．在研究性別與吃零食這兩個分類變量是否有關(guān)系時，下列說法中正確的是________． ①若K2的觀測值

25、k＝6.635，則我們在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吃零食與性別有關(guān)系，那么在100個吃零食的人中必有99人是女性； ②由獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吃零食與性別有關(guān)系時，如果某人吃零食，那么此人是女性的可能性為99%； ③由獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吃零食與性別有關(guān)系時，是指每進行100次這樣的推斷，平均有1次推斷錯誤． 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的思想 答案?、? 解析　K2的觀測值是支持確定有多大把握認為“兩個分類變量吃零食與性別有關(guān)系”的隨機變量值，所以由獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.

26、01的前提下認為吃零食與性別有關(guān)系時，是指每進行100次這樣的推斷，平均有1次推斷錯誤，故填③. 三、解答題 12．如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù). x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請畫出如表數(shù)據(jù)的散點圖； (2)請根據(jù)如表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋； (3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？ 考點　線性回歸分析 題點

27、　線性回歸方程的應(yīng)用 解　(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點圖如圖． (2)由數(shù)據(jù)，計算得：＝86， ＝＝4.5， ＝＝3.5， iyi＝66.5， 所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為 ＝ ＝＝0.7， ＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35， 因此，所求的線性回歸方程為＝0.7x＋0.35. (3)由(2)中的線性回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(噸標準煤)． 四、探究與拓展 13．對某臺機器購置后的運營年限x(x＝1,2,3，…)與當年利潤y的統(tǒng)計分析知具備線性相關(guān)關(guān)系，線性回歸方

28、程為＝10.47－1.3x，估計該臺機器使用________年最合算． 考點　線性回歸分析 題點　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　8 解析　只要預(yù)計利潤不為負數(shù)，使用該機器就算合算，即≥0，所以10.47－1.3x≥0，解得x≤8.05，所以該臺機器使用8年最合算． 14．某校高一年級理科有8個班，在一次數(shù)學(xué)考試中成績情況分析如下： 班級 1 2 3 4 5 6 7 8 大于145分人數(shù) 6 6 7 3 5 3 3 7 不大于145分人數(shù) 39 39 38 42 40 42 42 38 附：xiyi＝171，x＝204. (1)

29、求145分以上成績y對班級序號x的線性回歸方程；(精確到0.000 1) (2)能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為7班與8班的成績是否優(yōu)秀(大于145分)與班級有關(guān)系． 考點　獨立性檢驗思想的應(yīng)用 題點　獨立性檢驗與線性回歸方程、均值的綜合應(yīng)用 解　(1)＝4.5，＝5，xiyi＝171，x＝204， ＝＝ ＝－≈－0.214 3， ＝－＝5－(－0.214 3)×4.5≈5.964 4， ∴線性回歸方程為＝－0.214 3x＋5.964 4. (2)K2＝＝1.8， ∵1.8<6.635，∴不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為7班與8班的成績是否優(yōu)秀(大于145分)與班級有關(guān)系．