2022年高考數學二輪復習 專題突破課時作業(yè)8 三角變換與解三角形 理

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1、2022年高考數學二輪復習 專題突破課時作業(yè)8 三角變換與解三角形 理 1．[2018·全國卷Ⅲ]若sin α＝，則cos 2α＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：∵ sin α＝，∴ cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝. 故選B. 答案：B 2．已知sin＝，cos2α＝，則sinα等于(　　) A. B．－ C．－ D. 解析：(1)由sin＝， 得sinαcos－cosαsin＝， 即sinα－cosα＝，① 又cos2α＝，所以cos2α－sin2α＝， 即(cosα＋sinα)·(cosα－sinα)＝， 因此c

2、osα＋sinα＝－.② 由①②得sinα＝，故選D. 答案：D 3．[2018·全國卷Ⅱ]在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，則AB＝(　　) A．4 B. C. D．2 解析：∵ cos＝， ∴ cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－. 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32， ∴ AB＝＝4. 故選A. 答案：A 4．[2017·全國卷Ⅲ]函數f(x)＝的最小正周期為(　　) A. B. C．π D．2π 解析：由已知得f(x)＝＝＝＝sin x·cos x＝sin

3、 2x，所以f(x)的最小正周期為T＝＝π. 故選C. 答案：C 5．設α∈，β∈，且tanα＝，則(　　) A．3α－β＝ B．3α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ 解析：通解　由tanα＝得＝，即sinαcosβ＝cosα＋sinβcosα，所以sin(α－β)＝cosα，又cosα＝sin，所以sin(α－β)＝sin，又因為α∈，β∈，所以－<α－β<，0<－α<，因為α－β＝－α，所以2α－β＝，故選C. 優(yōu)解一　∵tan＝， 由tanα＝知，α、β應為2倍角關系，A、B項中有3α，不合題意，C項中有2α－β＝. 把β＝2α－代入 ＝ ＝＝tanα，題

4、設成立．故選C. 優(yōu)解二　＝＝tan ∴tanα＝tan 又∵α∈，β∈，∴∈， ∴＋∈，∴α＝＋， ∴2α＝＋β，∴2α－β＝.故選C. 答案：C 6．[2018·全國卷Ⅲ]△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為，則C＝(　　) A. B. C. D. 解析：∵ S＝absin C＝＝＝abcos C，∴ sin C＝cos C，即tan C＝1. ∵ C∈(0，π)，∴ C＝. 故選C. 答案：C 7．[2018·廣州調研]將函數y＝2sinsin的圖象向左平移φ(φ>0)個單位長度，所得圖象對應的函數恰為奇函數，則φ的最小值為(

5、　　) A. B. C. D. 解析：由y＝2sinsin可得y＝2sincos＝sin，該函數的圖象向左平移φ個單位長度后，所得圖象對應的函數解析式為g(x)＝sin＝sin，因為g(x)＝sin為奇函數，所以2φ＋＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ>0，故φ的最小值為，選A. 答案：A 8．[2018·鄭州測試]在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，則＝(　　) A. B. C. D．2 解析：依題意得，bcsinA＝c＝，則c＝4.由余弦定理得a＝＝，因此＝＝.由正弦定理得＝，故選B. 答案：B 9．[2018·安徽質量檢測]在銳角三角形ABC

6、中，b2cosAcosC＝accos2B，則B的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 解析：解法一　由b2cosAcosC＝accos2B，并結合正弦定理得sin2BcosAcosC＝sinAsinCcos2B，即tan2B＝tanAtanC，所以tan2B＝－tanAtan(A＋B)，即tan2B＝－tanA·，整理得tan2A－(tan3B－tanB)tanA＋tan2B＝0，則關于tanA的一元二次方程根的判別式Δ＝(tan3B－tanB)2－4tan2B≥0，所以(tan2B－3)(tan2B＋1)≥0，所以tanB≥，又△ABC為銳角三角形，所以≤B<，即B的取值范圍

7、為. 解法二　由b2cosAcosC＝accos2B，并結合余弦定理得b2··＝ac·2，即(b2＋c2－a2)·(b2＋a2－c2)＝(c2＋a2－b2)2，即b4－(a2－c2)2＝b4＋(c2＋a2)2－2b2(c2＋a2)，化簡得a4＋c4＝b2(c2＋a2)，則cosB＝＝＝≤＝，當且僅當a＝c時，等號成立．又△ABC為銳角三角形，所以≤B<，即B的取值范圍為. 答案：B 10．[2018·安徽省質量檢測]已知α∈，cos＝，則sin＝________. 解析：由α∈可得α＋∈，又cos＝，∴sin＝， ∴sin＝sin＝sin＋cos＝×＋×＝. 答案： 11.

8、 如圖，為了估測某塔的高度，在同一水平面的A，B兩點處進行測量，在點A處測得塔頂C在西偏北20°的方向上，仰角為60°；在點B處測得塔頂C在東偏北40°的方向上，仰角為30°.若A，B兩點相距130 m，則塔的高度CD＝________ m. 解析：分析題意可知，設CD＝h，則AD＝，BD＝h，在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，所以由余弦定理得AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos120°，可得1302＝3h2＋－2·h··， 解得h＝10，故塔的高度為10 m. 答案：10 12．[2018·全國卷Ⅰ]△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已

9、知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為________． 解析：∵ bsin C＋csin B＝4asin Bsin C， ∴ 由正弦定理得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C. 又sin Bsin C ＞0，∴ sin A＝. 由余弦定理得cos A＝＝＝＞0， ∴ cos A＝，bc＝＝， ∴ S△ABC＝bcsin A＝××＝. 答案： 13．[2018·浙江卷]已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點P. (1)求sin(α＋π)的值； (2)

10、若角β滿足sin(α＋β)＝，求cos β的值． 解析：(1)解：由角α的終邊過點P， 得sin α＝－. 所以sin(α＋π)＝－sin α＝. (2)解：由角α的終邊過點P， 得cos α＝－. 由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±. 由β＝(α＋β)－α， 得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－或cos β＝. 14．[2018·江蘇卷]已知α，β為銳角，tan α＝，cos(α＋β)＝－. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值． 解析：(1)解：因為tan α＝，tan α＝，

11、所以sin α＝cos α. 因為sin2α＋cos2α＝1， 所以cos2α＝， 因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－. (2)解：因為α，β為銳角，所以α＋β∈(0，π)． 又因為cos(α＋β)＝－， 所以sin(α＋β)＝＝， 因此tan(α＋β)＝－2. 因為tan α＝， 所以tan 2α＝＝－. 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝＝－. 15．[2018·長沙，南昌聯合模擬]在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且bsinB＝asinA＋(c－a)sinC. (1)求B； (2)若3sinC＝2sinA，且△ABC

12、的面積為6，求b. 解析：(1)由bsinB＝asinA＋(c－a)sinC及正弦定理，得b2＝a2＋(c－a)c，即a2＋c2－b2＝ac. 由余弦定理，得cosB＝＝＝， 因為B∈(0，π)，所以B＝. (2)由(1)得B＝， 所以△ABC的面積為acsinB＝ac＝6，得ac＝24. 由3sinC＝2sinA及正弦定理，得3c＝2a， 所以a＝6，c＝4. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝36＋16－24＝28， 所以b＝2. 16．[2018·南昌模擬]已知函數f(x)＝1＋2sincos－2cos2，△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c. (1)求f(A)的取值范圍； (2)若A為銳角且f(A)＝，2sinA＝sinB＋sinC，△ABC的面積為，求b的值． 解析：(1)f(x)＝sinx－cosx＝2sin， ∴f(A)＝2sin， 由題意知，0