2022高考高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 小題專練作業(yè)（八）空間幾何體的三視圖、表面積與體積 理

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1、2022高考高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 小題專練作業(yè)（八）空間幾何體的三視圖、表面積與體積 理 1.如圖為一個幾何體的側(cè)視圖和俯視圖，則它的正視圖為(　　) 解析　根據(jù)題中側(cè)視圖和俯視圖的形狀，判斷出該幾何體是在一個正方體的上表面上放置一個四棱錐(其中四棱錐的底面是正方體的上表面、頂點在底面上的射影是底面一邊的中點)，結(jié)合選項知，它的正視圖為B。 答案　B 2．(2018·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A．2　　　 　B．4 C．6　　　 　D．8 解析　由三視圖可知，該幾何體是一個底面為直角梯形的直四棱柱，所以該

2、幾何體的體積V＝×(1＋2)×2×2＝6。故選C。 答案　C 3．(2018·太原二模)某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A． B． C． D． 解析　由三視圖知該幾何體是由如圖所示的四棱錐P－ABCD挖去一個半圓錐后形成的，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，高是2，圓錐的底面半徑是1，高是2，所以該幾何體的體積V＝×2×2×2－×π×12×2＝。故選B。 答案　B 4．(2018·福建漳州二模)如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，畫出的是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是(　　) A．9　　　 B． C．18　　　　D．27

3、 解析　根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個三棱錐，將三棱錐A－BCD還原到長方體中，長方體的長、寬、高分別為6、3、3，所以該幾何體的體積V＝××6×3×3＝9。故選A。 答案　A 5．(2018·全國卷Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(　　) A．12π B．12π C．8π D．10π 解析　根據(jù)題意，可得截面是邊長為2的正方形，所以圓柱的高為2，底面圓的半徑為，所以其表面積為S＝2π()2＋2π×2＝12π。故選B。 答案　B 6．(2018·成都診斷)在三棱錐P－ABC中，已

4、知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝，若該三棱錐的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為(　　) A． B． C．8π D．12π 解析　易知△ABC是等邊三角形。如圖，作OM⊥平面ABC，其中M為△ABC的中心，且點O滿足OM＝PA＝1，則點O為三棱錐P－ABC外接球的球心。于是，該外接球的半徑R＝OA＝＝＝。故該球的表面積S＝4πR2＝8π。故選C。 答案　C 7．一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為________。 解析　由已知三視圖知該幾何體是由一個正方體截去了一個“大角”

5、后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個三棱錐。設(shè)正方體的棱長為1，則三棱錐的體積為V1＝××1×1×1＝，剩余部分的體積V2＝13－＝。所以＝＝。 答案　 8．(2018·江蘇高考)如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為________。 解析　正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體是正八面體，其中正八面體的所有棱長都是，則該正八面體的體積為×()2×1×2＝。 答案　 9．如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D為棱AA1的中點。若AA1＝4，AB＝2，則四棱錐B－ACC1D的體積為________。 解析　取AC的中點O，連接BO

6、，則BO⊥AC，所以BO⊥平面ACC1D，因為AB＝2，所以BO＝，因為D為棱AA1的中點，AA1＝4，所以S梯形ACC1D＝(2＋4)×2＝6，所以四棱錐B－ACC1D的體積為2。 答案　2 10．設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D－ABC體積的最大值為________。 解析　設(shè)等邊三角形ABC的邊長為x，則x2sin60°＝9，得x＝6。設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，則2r＝，解得r＝2，所以球心到△ABC所在平面的距離d＝＝2，則點D到平面ABC的最大距離d1＝d＋4＝6，所以三棱錐D－ABC體積的最大值Vmax＝S△AB

7、C×6＝×9×6＝18。 答案　18 11．(2018·河南新鄉(xiāng)一模)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，其中俯視圖中的兩段圓弧均為半圓，該幾何體的體積為(　　) A．8－π B．8－π C．8－2π D．8＋2π 解析　由三視圖可知該幾何體是由正方體挖去兩個半圓柱后形成的，如圖。該幾何體的體積為2×2×2－2××π×12×2＝8－2π。故選C。 答案　C 12．(2018·全國卷Ⅰ)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為(　　) A． B． C． D． 解

8、析　記該正方體為ABCD－A′B′C′D′，正方體的每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，即共點的三條棱A′A，A′B′，A′D′與平面α所成的角都相等。如圖，連接AB′，AD′，B′D′，因為三棱錐A′－AB′D′是正三棱錐，所以A′A，A′B′，A′D′與平面AB′D′所成的角都相等。分別取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中點E，F(xiàn)，G，H，I，J，連接EF，F(xiàn)G，GH，HI，IJ，JE，易得E，F(xiàn)，G，H，I，J六點共面，平面EFGHIJ與平面AB′D′平行，且截正方體所得截面的面積最大。又EF＝FG＝GH＝HI＝IJ＝JE＝，所以該正六邊形的面積為6××2＝，所以α截此

9、正方體所得截面面積的最大值為，故選A。 答案　A 13．(2018·東北三校二模)已知某幾何體的三視圖如圖所示，過該幾何體最短兩條棱的中點作平面α，使得α平分該幾何體的體積，則可以作此種平面α(　　) A．恰好1個 B．恰好2個 C．至多3個 D．至少4個 解析　幾何體的直觀圖如圖所示。該幾何體最短兩條棱為PA和BC，設(shè)PA和BC的中點分別為E，F(xiàn)，則過E，F(xiàn)且平分幾何體體積的平面α，可能為：①平面PAF；②平面BCE；③平面EGFH(其中G，H為AC和PB的中點)；④平面EMFN(其中M，N為PC和AB的中點)，所以此種平面至少4個。故選D。 答案　D 14．(

10、2018·江西九江二模)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB＝BC＝1。點D為側(cè)棱BB1上的動點。若△ADC1周長的最小值為＋，則三棱錐C1－ABC外接球的表面積為________。 解析　將側(cè)面展開如圖，易知當(dāng)D為側(cè)棱BB1的中點時，△ADC1周長最小，此時設(shè)BD＝x，則2＋＝＋，可得x＝，所以CC1＝1，又易知三棱錐C1－ABC外接球的球心為AC1的中點，所以半徑R＝，則三棱錐C1－ABC外接球的表面積為S＝4πR2＝3π。 答案　3π 15．(2018·長春質(zhì)量監(jiān)測)已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3的扇形，則該圓錐體積的最大值為________。 解析　由題意得圓錐的母線長為3，設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則h＝，所以圓錐的體積V＝πr2h＝πr2＝π。設(shè)f(r)＝9r4－r6(r>0)，則f′(r)＝36r3－6r5，令f′(r)＝36r3－6r5＝6r3(6－r2)＝0，得r＝，所以當(dāng)00，f(r)單調(diào)遞增，當(dāng)r>時，f′(r)<0，f(r)單調(diào)遞減，所以f(r)max＝f()＝108，所以Vmax＝π×＝2π。 答案　2π