2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 3.3 三角變換與解三角形學(xué)案 文

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1、第3講　三角變換與解三角形 考點(diǎn)1　三角恒等變換 1．三角求值“三大類型” “給角求值”、“給值求值”、“給值求角”． 2．三角函數(shù)恒等變換“四大策略” (1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等； (2)項(xiàng)的分拆與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦． [例1]　(1)[2019·全國(guó)卷Ⅱ]已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，則sin α＝(　　) A.　　　B. C.

2、 D. (2)[2019·天津南開(kāi)大學(xué)附屬中學(xué)月考]已知sin α＝，sin β＝，且α，β為銳角，則α＋β為(　　) A. B.或 C. D. 【解析】　(1)本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式，意在考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算． 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因?yàn)棣痢?，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故選B. (2)∵sin α＝，sin β＝，且α，β為銳角，∴cos α＝，co

3、s β＝，∴cos(α＋β)＝×－×＝，又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.故選A. 【答案】　(1)B　(2)A 化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的規(guī)律 規(guī)律 解讀 一角 一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過(guò)角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理地拆分，從而正確使用公式 二名 二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見(jiàn)的有“弦切互化” 三結(jié)構(gòu) 三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見(jiàn)的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被開(kāi)方式為完全平方式”等 溫馨 提醒 (1)常用技巧：弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪，“1”的代換等． (2)根式的化簡(jiǎn)常

4、常需要升冪去根號(hào)，在化簡(jiǎn)過(guò)程中注意角的范圍，以確定三角函數(shù)值的正負(fù) 『對(duì)接訓(xùn)練』 1．[2019·山東濟(jì)南長(zhǎng)清月考]若＝sin 2θ，則sin2θ＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：通解　∵＝sin 2θ，∴＝2sin＝sin 2θ，∴2sin＝－cos，∴2sin2－2sin－＝0，得sin＝－， ∴sin 2θ＝－cos＝2sin2－1＝－.故選C. 優(yōu)解　∵＝sin 2θ，∴＝sin 2θ， ∴2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，∴3sin22θ－4sin 2θ－4＝0，得sin 2θ＝－.故選C. 答案：C 2．[2019·全國(guó)高考信息

5、卷]若α為第二象限角，且sin 2α＝sincos(π－α)，則cos的值為(　　) A．－ B. C. D．－ 解析：∵sin 2α＝sincos(π－α)，∴2sin αcos α＝－cos2α，∵α是第二象限角，∴cos α≠0,2sin α＝－cos α，∴4sin2α＝cos2α＝1－sin2α，∴sin2α＝， ∴cos＝cos 2α＋sin 2α＝cos2α－sin2α＋2sin αcos α＝－sin2 α＝－.故選A. 答案：A 考點(diǎn)2　利用正、余弦定理解三角形 1．正弦定理及其變形 在△ABC中，＝＝＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2R

6、sinA，sinA＝，a：b：c＝sinA：sinB：sinC等． 2．余弦定理及其變形 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA； 變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝. 3．三角形面積公式 S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB. [例2]　(1)[2019·全國(guó)卷Ⅱ]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，則△ABC的面積為_(kāi)_______； (2)[2019·江西南昌段考]在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，則B等于

7、(　　) A. B. C. D. 【解析】　(1)本題主要考查余弦定理、三角形的面積公式，意在考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，考查方程思想，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算． 解法一　因?yàn)閍＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面積S＝acsin B＝×4×2×sin＝6. 解法二　因?yàn)閍＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，

8、所以△ABC的面積S＝×2×6＝6. (2)因?yàn)閍sin Bcos C＋csin Bcos A＝b，所以由正弦定理得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，又sin B≠0，所以sin Acos C＋cos Asin C＝，即sin(A＋C)＝，因?yàn)锳＋C＝π－B，所以sin(π－B)＝，即sin B＝.又a>b，所以A>B，所以B為銳角，所以B＝.故選D. 【答案】　(1)6　(2)D (1)正、余弦定理的適用條件 ①“已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角”應(yīng)采用正弦定理． ②“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”應(yīng)采用

9、余弦定理． (2)三角形面積公式的應(yīng)用原則 ①對(duì)于面積公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用含哪個(gè)角的公式． ②與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的互化. 『對(duì)接訓(xùn)練』 3．[2019·廣西南寧摸底聯(lián)考]在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知c＝，C＝，sin B＝2sin A，則△ABC的周長(zhǎng)是(　　) A．3 B．2＋ C．3＋ D．4＋ 解析：因?yàn)閟in B＝2sin A，所以由正弦定理得b＝2a，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋4a2－2a2＝3a2，又c＝，所以a＝

10、1，b＝2.故△ABC的周長(zhǎng)是3＋.故選C. 答案：C 4．[2019·福建泉州階段檢測(cè)]已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acosB＝2，則△ABC的外接圓面積為(　　) A．4π B．8π C．9π D．36π 解析：由余弦定理得b·＋a·＝2，即＝2，得c＝2，由cos C＝得sin C＝.設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，由正弦定理可得2R＝＝6，得R＝3，所以△ABC的外接圓面積為πR2＝9π.故選C. 答案：C 考點(diǎn)3　正、余弦定理的綜合應(yīng)用 [例3]　[2019·全國(guó)卷Ⅲ]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b

11、，c.已知asin＝bsin A. (1)求B； (2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍． 【解析】　本題主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識(shí)，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算． (1)由題設(shè)與正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A. 因?yàn)閟in A≠0，所以sin＝sin B. 由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos. 因?yàn)閏os≠0，故sin＝.又B是三角形內(nèi)角，因此B＝60°. (2)由題設(shè)及(1)知△ABC的面積S△ABC＝a. 由正弦定理得a＝＝＝＋.

12、由于△ABC為銳角三角形，故0°

13、不得分. 『對(duì)接訓(xùn)練』 5．[2019·湖南長(zhǎng)沙調(diào)研]在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且c＝2. (1)若A＝，b＝3，求sin C的值； (2)若sin Acos2＋sin Bcos2＝3sin C，且△ABC的面積S＝sin C，求a和b的值． 解析：(1)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝9＋4－2×3×2×＝7，解得a＝.由正弦定理＝，得sin C＝. (2)由已知得sin A×＋sin B×＝3sin C， sin A＋sin Acos B＋sin B＋sin Bcos A＝6sin C， sin A＋sin B＋sin(A＋B)＝6s

14、in C， sin A＋sin B＝5sin C， 所以由正弦定理得a＋b＝5c＝10，?、? 又S＝absin C＝sin C，所以ab＝25?、? 由①②得a＝b＝5. 考點(diǎn)4　與解三角形有關(guān)的交匯問(wèn)題[交匯創(chuàng)新] 解三角形問(wèn)題一直是近幾年高考的重點(diǎn)，主要考查以斜三角形為背景求三角形的基本量、面積或判斷三角形的形狀，解三角形與平面向量、不等式、三角函數(shù)性質(zhì)、三角恒等變換交匯命題成為高考的熱點(diǎn)． [例4]　[2019·石家莊質(zhì)量檢測(cè)]在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若ccos B＋bcos C＝2acos A，＝＋，且AM＝1，則b＋2c的最大值是

15、________． 【解析】　通解　∵ccos B＋bcos C＝2acos A，∴sin Ccos B＋sin Bcos C＝2sin Acos A，∴sin(C＋B)＝2sin Acos A，∴sin A＝2sin Acos A．∵0＜A＜π，∴sin A≠0，∴cos A＝，∴A＝.∵＝＋，且AM＝1，∴2＝1，∴c2＋bc＋b2＝1，即4c2＋2bc＋b2＝9.∵2bc≤，∴9＝4c2＋2bc＋b2＝(b＋2c)2－2bc≥(b＋2c)2，∴b＋2c≤2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2c，即時(shí)等號(hào)成立，∴b＋2c的最大值為2. 優(yōu)解　∵ccos B＋bcos C＝2acos A，∴＋＝2acos

16、A，a＝2acos A，∴cos A＝.∵0＜A＜π，∴A＝.∵＝＋，且AM＝1，∴2＝1，∴c2＋bc＋b2＝1，即4c2＋2bc＋b2＝9.∵2bc≤，∴9＝4c2＋2bc＋b2＝(b＋2c)2－2bc≥(b＋2c)2，∴b＋2c≤2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2c，即時(shí)等號(hào)成立，∴b＋2c的最大值為2. 利用解三角形的知識(shí)解決平面向量問(wèn)題是高考在知識(shí)的交匯處命制試題的一個(gè)熱點(diǎn)．解決這類試題的基本方法是根據(jù)正、余弦定理求出平面向量的模和夾角，從而達(dá)到利用解三角形求解平面向量數(shù)量積的目的. 『對(duì)接訓(xùn)練』 6．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，acos B＋bcos A＝

17、csin C，數(shù)列{an}滿足an＝(n2＋2n)sin(2n－1)C，則數(shù)列{an}的前100項(xiàng)和S100＝________. 解析：由acos B＋bcos A＝csin C得 sin A cos B＋sin Bcos A＝sin2C ∴sin(A＋B)＝sin2C ∴sin C＝sin2C， 又∵0＜C＜π，sin C≠0，∴sin C＝1，∴C＝， ∴an＝(n2＋2n)sin， 即an＝[(n＋1)2－1]sin，從而S100＝(22－1)－(32－1)＋(42－1)－(52－1)＋…＋(1002－1)－(1012－1)＝22－32＋42－52＋…＋1002－1012＝

18、－(2＋3＋4＋5＋…＋100＋101)＝－5 150. 答案：－5 150 課時(shí)作業(yè)8　三角變換與解三角形 1．[2019·河南開(kāi)封定位考試]已知cos＝－，則cos 2α的值為(　　) A．－　　B. C．－ D. 解析：因?yàn)閏os＝－，所以sin α＝，則cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故選B. 答案：B 2．[2019·河北省級(jí)示范性高中聯(lián)合體聯(lián)考]已知tan α＝2，且＝mtan 2α，則m＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：依題意，得＝＝＝＝3，tan 2α＝＝－，所以3＝－m，解得m＝－.故選B. 答案

19、：B 3．[2019·山東青島一中月考]在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，則△ABC的形狀是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 解析：∵sin2A＋sin2B＜sin2C，∴a2＋b2＜c2，∴cos C＝＜0，又0°＜C＜180°，∴C為鈍角，∴△ABC是鈍角三角形，故選C. 答案：C 4．[2019·黑龍江牡丹江一中月考]滿足條件a＝4，b＝3，A＝45°的三角形的個(gè)數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．無(wú)數(shù)個(gè) D．不存在 解析：由正弦定理得sin B＝＝，∵＜＜，∴45°＜B＜60°或120°＜B＜13

20、5°，均滿足A＋B＜180°，∴B有兩解，滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)是2，故選B. 答案：B 5．[2019·寧夏銀川月考]已知銳角α，β滿足cos α＝，sin(α－β)＝－，則sin β的值為(　　) A. B. C. D. 解析：∵α是銳角，β是銳角，cos α＝，sin(α－β)＝－，∴sin α＝，cos(α－β)＝，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝×－×＝.故選A. 答案：A 6．[2019·廣西兩校第一次聯(lián)考]已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，則log＝(　　) A．－1 B．－2 C. D．2 解析：因?yàn)閟in(α＋β)＝，sin

21、(α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，則sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝，于是log＝log＝log55－1＝－1.故選A. 答案：A 7．[2019·云南曲靖月考]一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處．在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是(　　) A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 解析：畫(huà)出示意圖如圖所示，易知，在△ABC中，

22、AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．故選A. 答案：A 8．[2019·河北省級(jí)示范性高中聯(lián)合體聯(lián)考]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若3sin A＝2sin C，b＝5，cos C＝－，則a＝(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 解析：因?yàn)?sin A＝2sin C，由正弦定理得3a＝2c，設(shè)a＝2k(k＞0)，則c＝3k.由余弦定理得cos C＝＝＝－，解得k＝3或k＝－(舍去)，從而a＝6.故選C. 答案：C 9．[2019·廣東仲元中學(xué)期中]在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，

23、b，c，若a2＋b2＝2c2，則cos C的最小值為(　　) A. B. C. D．－ 解析：∵cos C＝，a2＋b2＝2c2，∴cos C＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，∴cos C的最小值為，故選C. 答案：C 10．[2019·河北五校第二次聯(lián)考]已知tan 2α＝，α∈，函數(shù)f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，不等式f(x)≥0恒成立，則sin的值為(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：由tan 2α＝，即＝，求得tan α＝或tan α＝－3.又對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－

24、2sin α＝2sin α·(cos x－1)≥0恒成立，所以sin α≤0，則α∈，所以tan α＝－3，sin α＝－，cos α＝.于是sin＝sin αcos －cos α sin＝－×－×＝－.故選A. 答案：A 11．[2019·安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢]若α是銳角，且cos＝，則cos＝________. 解析：因?yàn)?＜α＜，所以＜α＋＜，又cos＝，所以sin＝，則cos＝sin α＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝. 答案： 12．[2019·陜西咸陽(yáng)一中月考]在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a＝，b＝2，A＝，則△ABC的面積為_(kāi)

25、_______． 解析：由正弦定理得sin B＝＝＝，∵b＜a，∴B＜A，∴cos B＝，∴sin C＝sin(A＋B)＝，∴△ABC的面積為absin C＝. 答案： 13．[2019·陜西西安五中綜合卷]已知tan(α＋β)＝，tan β＝，則tan＝________. 解析：∵tan α＝tan[(α＋β)－β]＝＝－，∴tan＝＝. 答案： 14．[2019·湖南重點(diǎn)高中大聯(lián)考]已知a，b，c分別為銳角三角形ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，absin C＝c2－(a－b)2，若銳角三角形ABC的面積為4，則c的最小值為_(kāi)_______． 解析：由已知條件及余弦定理，可得abs

26、in C＝a2＋b2－2abcos C－(a2－2ab＋b2)＝2ab－2abcos C，即2cos C＝2－sin C，兩邊平方，得4(1－sin2 C)＝4－4sin C＋sin2 C，因?yàn)?°＜C＜90°，所以可得sin C＝，則cos C＝.所以ab×＝4，得ab＝10，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－2ab×≥2ab－ab＝ab＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，所以c≥2，即c的最小值為2. 答案：2 15．[2019·江蘇宜興月考]已知sin＝，α∈. (1)求cos α； (2)求f(x)＝cos 2x＋sin αsin x的最值． 解析：(1)∵sin

27、＝，α∈. ∴cos＝－， ∴cos α＝cos＝－×＋×＝. (2)由(1)得cos α＝，∵α∈，∴sin α＝， ∴f(x)＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1＝－22＋， ∴當(dāng)sin x＝時(shí)，f(x)取得最大值，當(dāng)sin x＝－1時(shí)，f(x)取得最小值－3. 16．[2019·遼寧六校協(xié)作體期中]設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且c·cosC是a·cos B與b·cos A的等差中項(xiàng)． (1)求角C的大??； (2)若c＝2，求△ABC的周長(zhǎng)的最大值． 解析：(1)由題意得acos B＋bcos A＝2ccos C，由正弦定

28、理得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，即sin(A＋B)＝sin C＝2sin Ccos C，解得cos C＝，C是三角形內(nèi)角，所以C＝60°. (2)方法一　由余弦定理得c2＝4＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－32＝，得a＋b≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，故△ABC周長(zhǎng)的最大值為6. 方法二　由正弦定理得＝＝＝，故△ABC的周長(zhǎng)為a＋b＋c＝(sin A＋sin B)＋2＝[sin A＋sin(A＋60°)]＋2＝＋2＝4sin(A＋30°)＋2.∵A∈(0,120°)，∴當(dāng)A＝60°時(shí)，△ABC周

29、長(zhǎng)的最大值為6. 17．[2019·湖北武漢部分重點(diǎn)中學(xué)第二次聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)＝cos2x＋2sincos－sin2x. (1)當(dāng)x∈時(shí)，求f(x)的最大值和最小值； (2)若f(θ)＝，求tan2的值． 解析：(1)依題意，知f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin. 因?yàn)閤∈，所以≤2x＋≤， 所以－≤sin≤1， 則－1≤2sin≤2， 于是當(dāng)x∈時(shí)，f(x)min＝－1，f(x)max＝2. (2)因?yàn)閒(θ)＝，所以sin＝， 所以cos＝sin ＝sin＝， 于是tan2＝＝＝＝. 18．[2019·福州市質(zhì)量檢測(cè)]在Rt△ABC中，∠C＝90

30、°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，CD＝5，CE＝3，且△EDC的面積為3. (1)求邊DE的長(zhǎng)； (2)若AD＝3，求sin A的值． 解析：(1)如圖所示，在△ECD中，S△ECD＝CE·CDsin∠DCE＝×3×5×sin∠DCE＝3， 所以sin∠DCE＝， 因?yàn)?°＜∠DCE＜90°， 所以cos∠DCE＝＝， 所以DE2＝CE2＋CD2－2·CE·CD·cos∠DCE＝9＋25－2×3×5×＝28， 所以DE＝2. (2)因?yàn)椤螦CB＝90°，所以sin∠ACD＝sin(90°－∠DCE)＝cos∠DCE＝， 在△ADC中，＝， 即＝， 所以sin A＝. - 16 -