2020版高考數學大二輪復習 3.3 三角變換與解三角形學案 文

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1、第3講　三角變換與解三角形 考點1　三角恒等變換 1．三角求值“三大類型” “給角求值”、“給值求值”、“給值求角”． 2．三角函數恒等變換“四大策略” (1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等； (2)項的分拆與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦． [例1]　(1)[2019·全國卷Ⅱ]已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，則sin α＝(　　) A.　　　B. C.

2、 D. (2)[2019·天津南開大學附屬中學月考]已知sin α＝，sin β＝，且α，β為銳角，則α＋β為(　　) A. B.或 C. D. 【解析】　(1)本題主要考查同角三角函數的基本關系、二倍角公式，意在考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數學運算． 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因為α∈，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故選B. (2)∵sin α＝，sin β＝，且α，β為銳角，∴cos α＝，co

3、s β＝，∴cos(α＋β)＝×－×＝，又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.故選A. 【答案】　(1)B　(2)A 化簡三角函數式的規(guī)律 規(guī)律 解讀 一角 一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理地拆分，從而正確使用公式 二名 二看“函數名稱”，看函數名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“弦切互化” 三結構 三看“結構特征”，分析結構特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被開方式為完全平方式”等 溫馨 提醒 (1)常用技巧：弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪，“1”的代換等． (2)根式的化簡常

4、常需要升冪去根號，在化簡過程中注意角的范圍，以確定三角函數值的正負 『對接訓練』 1．[2019·山東濟南長清月考]若＝sin 2θ，則sin2θ＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：通解　∵＝sin 2θ，∴＝2sin＝sin 2θ，∴2sin＝－cos，∴2sin2－2sin－＝0，得sin＝－， ∴sin 2θ＝－cos＝2sin2－1＝－.故選C. 優(yōu)解　∵＝sin 2θ，∴＝sin 2θ， ∴2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，∴3sin22θ－4sin 2θ－4＝0，得sin 2θ＝－.故選C. 答案：C 2．[2019·全國高考信息

5、卷]若α為第二象限角，且sin 2α＝sincos(π－α)，則cos的值為(　　) A．－ B. C. D．－ 解析：∵sin 2α＝sincos(π－α)，∴2sin αcos α＝－cos2α，∵α是第二象限角，∴cos α≠0,2sin α＝－cos α，∴4sin2α＝cos2α＝1－sin2α，∴sin2α＝， ∴cos＝cos 2α＋sin 2α＝cos2α－sin2α＋2sin αcos α＝－sin2 α＝－.故選A. 答案：A 考點2　利用正、余弦定理解三角形 1．正弦定理及其變形 在△ABC中，＝＝＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2R

6、sinA，sinA＝，a：b：c＝sinA：sinB：sinC等． 2．余弦定理及其變形 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA； 變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝. 3．三角形面積公式 S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB. [例2]　(1)[2019·全國卷Ⅱ]△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，則△ABC的面積為________； (2)[2019·江西南昌段考]在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，則B等于

7、(　　) A. B. C. D. 【解析】　(1)本題主要考查余弦定理、三角形的面積公式，意在考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力，考查方程思想，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數學運算． 解法一　因為a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面積S＝acsin B＝×4×2×sin＝6. 解法二　因為a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，

8、所以△ABC的面積S＝×2×6＝6. (2)因為asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，所以由正弦定理得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，又sin B≠0，所以sin Acos C＋cos Asin C＝，即sin(A＋C)＝，因為A＋C＝π－B，所以sin(π－B)＝，即sin B＝.又a>b，所以A>B，所以B為銳角，所以B＝.故選D. 【答案】　(1)6　(2)D (1)正、余弦定理的適用條件 ①“已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對角”應采用正弦定理． ②“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”應采用

9、余弦定理． (2)三角形面積公式的應用原則 ①對于面積公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一個角就使用含哪個角的公式． ②與面積有關的問題，一般要利用正弦定理或余弦定理進行邊和角的互化. 『對接訓練』 3．[2019·廣西南寧摸底聯(lián)考]在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c＝，C＝，sin B＝2sin A，則△ABC的周長是(　　) A．3 B．2＋ C．3＋ D．4＋ 解析：因為sin B＝2sin A，所以由正弦定理得b＝2a，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋4a2－2a2＝3a2，又c＝，所以a＝

10、1，b＝2.故△ABC的周長是3＋.故選C. 答案：C 4．[2019·福建泉州階段檢測]已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acosB＝2，則△ABC的外接圓面積為(　　) A．4π B．8π C．9π D．36π 解析：由余弦定理得b·＋a·＝2，即＝2，得c＝2，由cos C＝得sin C＝.設△ABC外接圓的半徑為R，由正弦定理可得2R＝＝6，得R＝3，所以△ABC的外接圓面積為πR2＝9π.故選C. 答案：C 考點3　正、余弦定理的綜合應用 [例3]　[2019·全國卷Ⅲ]△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b

11、，c.已知asin＝bsin A. (1)求B； (2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍． 【解析】　本題主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識，考查考生的化歸與轉化能力、運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數學運算． (1)由題設與正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A. 因為sin A≠0，所以sin＝sin B. 由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos. 因為cos≠0，故sin＝.又B是三角形內角，因此B＝60°. (2)由題設及(1)知△ABC的面積S△ABC＝a. 由正弦定理得a＝＝＝＋.

12、由于△ABC為銳角三角形，故0°

13、不得分. 『對接訓練』 5．[2019·湖南長沙調研]在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c＝2. (1)若A＝，b＝3，求sin C的值； (2)若sin Acos2＋sin Bcos2＝3sin C，且△ABC的面積S＝sin C，求a和b的值． 解析：(1)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝9＋4－2×3×2×＝7，解得a＝.由正弦定理＝，得sin C＝. (2)由已知得sin A×＋sin B×＝3sin C， sin A＋sin Acos B＋sin B＋sin Bcos A＝6sin C， sin A＋sin B＋sin(A＋B)＝6s

14、in C， sin A＋sin B＝5sin C， 所以由正弦定理得a＋b＝5c＝10，?、? 又S＝absin C＝sin C，所以ab＝25?、? 由①②得a＝b＝5. 考點4　與解三角形有關的交匯問題[交匯創(chuàng)新] 解三角形問題一直是近幾年高考的重點，主要考查以斜三角形為背景求三角形的基本量、面積或判斷三角形的形狀，解三角形與平面向量、不等式、三角函數性質、三角恒等變換交匯命題成為高考的熱點． [例4]　[2019·石家莊質量檢測]在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若ccos B＋bcos C＝2acos A，＝＋，且AM＝1，則b＋2c的最大值是

15、________． 【解析】　通解　∵ccos B＋bcos C＝2acos A，∴sin Ccos B＋sin Bcos C＝2sin Acos A，∴sin(C＋B)＝2sin Acos A，∴sin A＝2sin Acos A．∵0＜A＜π，∴sin A≠0，∴cos A＝，∴A＝.∵＝＋，且AM＝1，∴2＝1，∴c2＋bc＋b2＝1，即4c2＋2bc＋b2＝9.∵2bc≤，∴9＝4c2＋2bc＋b2＝(b＋2c)2－2bc≥(b＋2c)2，∴b＋2c≤2，當且僅當b＝2c，即時等號成立，∴b＋2c的最大值為2. 優(yōu)解　∵ccos B＋bcos C＝2acos A，∴＋＝2acos

16、A，a＝2acos A，∴cos A＝.∵0＜A＜π，∴A＝.∵＝＋，且AM＝1，∴2＝1，∴c2＋bc＋b2＝1，即4c2＋2bc＋b2＝9.∵2bc≤，∴9＝4c2＋2bc＋b2＝(b＋2c)2－2bc≥(b＋2c)2，∴b＋2c≤2，當且僅當b＝2c，即時等號成立，∴b＋2c的最大值為2. 利用解三角形的知識解決平面向量問題是高考在知識的交匯處命制試題的一個熱點．解決這類試題的基本方法是根據正、余弦定理求出平面向量的模和夾角，從而達到利用解三角形求解平面向量數量積的目的. 『對接訓練』 6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，acos B＋bcos A＝

17、csin C，數列{an}滿足an＝(n2＋2n)sin(2n－1)C，則數列{an}的前100項和S100＝________. 解析：由acos B＋bcos A＝csin C得 sin A cos B＋sin Bcos A＝sin2C ∴sin(A＋B)＝sin2C ∴sin C＝sin2C， 又∵0＜C＜π，sin C≠0，∴sin C＝1，∴C＝， ∴an＝(n2＋2n)sin， 即an＝[(n＋1)2－1]sin，從而S100＝(22－1)－(32－1)＋(42－1)－(52－1)＋…＋(1002－1)－(1012－1)＝22－32＋42－52＋…＋1002－1012＝

18、－(2＋3＋4＋5＋…＋100＋101)＝－5 150. 答案：－5 150 課時作業(yè)8　三角變換與解三角形 1．[2019·河南開封定位考試]已知cos＝－，則cos 2α的值為(　　) A．－　　B. C．－ D. 解析：因為cos＝－，所以sin α＝，則cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故選B. 答案：B 2．[2019·河北省級示范性高中聯(lián)合體聯(lián)考]已知tan α＝2，且＝mtan 2α，則m＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：依題意，得＝＝＝＝3，tan 2α＝＝－，所以3＝－m，解得m＝－.故選B. 答案

19、：B 3．[2019·山東青島一中月考]在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，則△ABC的形狀是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 解析：∵sin2A＋sin2B＜sin2C，∴a2＋b2＜c2，∴cos C＝＜0，又0°＜C＜180°，∴C為鈍角，∴△ABC是鈍角三角形，故選C. 答案：C 4．[2019·黑龍江牡丹江一中月考]滿足條件a＝4，b＝3，A＝45°的三角形的個數是(　　) A．1 B．2 C．無數個 D．不存在 解析：由正弦定理得sin B＝＝，∵＜＜，∴45°＜B＜60°或120°＜B＜13

20、5°，均滿足A＋B＜180°，∴B有兩解，滿足條件的三角形的個數是2，故選B. 答案：B 5．[2019·寧夏銀川月考]已知銳角α，β滿足cos α＝，sin(α－β)＝－，則sin β的值為(　　) A. B. C. D. 解析：∵α是銳角，β是銳角，cos α＝，sin(α－β)＝－，∴sin α＝，cos(α－β)＝，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝×－×＝.故選A. 答案：A 6．[2019·廣西兩校第一次聯(lián)考]已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，則log＝(　　) A．－1 B．－2 C. D．2 解析：因為sin(α＋β)＝，sin

21、(α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，則sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝，于是log＝log＝log55－1＝－1.故選A. 答案：A 7．[2019·云南曲靖月考]一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處．在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是(　　) A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 解析：畫出示意圖如圖所示，易知，在△ABC中，

22、AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．故選A. 答案：A 8．[2019·河北省級示范性高中聯(lián)合體聯(lián)考]△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若3sin A＝2sin C，b＝5，cos C＝－，則a＝(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 解析：因為3sin A＝2sin C，由正弦定理得3a＝2c，設a＝2k(k＞0)，則c＝3k.由余弦定理得cos C＝＝＝－，解得k＝3或k＝－(舍去)，從而a＝6.故選C. 答案：C 9．[2019·廣東仲元中學期中]在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，

23、b，c，若a2＋b2＝2c2，則cos C的最小值為(　　) A. B. C. D．－ 解析：∵cos C＝，a2＋b2＝2c2，∴cos C＝≥＝，當且僅當a＝b時取等號，∴cos C的最小值為，故選C. 答案：C 10．[2019·河北五校第二次聯(lián)考]已知tan 2α＝，α∈，函數f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且對任意的實數x，不等式f(x)≥0恒成立，則sin的值為(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：由tan 2α＝，即＝，求得tan α＝或tan α＝－3.又對任意的實數x，f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－

24、2sin α＝2sin α·(cos x－1)≥0恒成立，所以sin α≤0，則α∈，所以tan α＝－3，sin α＝－，cos α＝.于是sin＝sin αcos －cos α sin＝－×－×＝－.故選A. 答案：A 11．[2019·安徽五校聯(lián)盟第二次質檢]若α是銳角，且cos＝，則cos＝________. 解析：因為0＜α＜，所以＜α＋＜，又cos＝，所以sin＝，則cos＝sin α＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝. 答案： 12．[2019·陜西咸陽一中月考]在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝，b＝2，A＝，則△ABC的面積為_

25、_______． 解析：由正弦定理得sin B＝＝＝，∵b＜a，∴B＜A，∴cos B＝，∴sin C＝sin(A＋B)＝，∴△ABC的面積為absin C＝. 答案： 13．[2019·陜西西安五中綜合卷]已知tan(α＋β)＝，tan β＝，則tan＝________. 解析：∵tan α＝tan[(α＋β)－β]＝＝－，∴tan＝＝. 答案： 14．[2019·湖南重點高中大聯(lián)考]已知a，b，c分別為銳角三角形ABC內角A，B，C的對邊，absin C＝c2－(a－b)2，若銳角三角形ABC的面積為4，則c的最小值為________． 解析：由已知條件及余弦定理，可得abs

26、in C＝a2＋b2－2abcos C－(a2－2ab＋b2)＝2ab－2abcos C，即2cos C＝2－sin C，兩邊平方，得4(1－sin2 C)＝4－4sin C＋sin2 C，因為0°＜C＜90°，所以可得sin C＝，則cos C＝.所以ab×＝4，得ab＝10，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－2ab×≥2ab－ab＝ab＝8，當且僅當a＝b時取等號，所以c≥2，即c的最小值為2. 答案：2 15．[2019·江蘇宜興月考]已知sin＝，α∈. (1)求cos α； (2)求f(x)＝cos 2x＋sin αsin x的最值． 解析：(1)∵sin

27、＝，α∈. ∴cos＝－， ∴cos α＝cos＝－×＋×＝. (2)由(1)得cos α＝，∵α∈，∴sin α＝， ∴f(x)＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1＝－22＋， ∴當sin x＝時，f(x)取得最大值，當sin x＝－1時，f(x)取得最小值－3. 16．[2019·遼寧六校協(xié)作體期中]設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且c·cosC是a·cos B與b·cos A的等差中項． (1)求角C的大??； (2)若c＝2，求△ABC的周長的最大值． 解析：(1)由題意得acos B＋bcos A＝2ccos C，由正弦定

28、理得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，即sin(A＋B)＝sin C＝2sin Ccos C，解得cos C＝，C是三角形內角，所以C＝60°. (2)方法一　由余弦定理得c2＝4＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－32＝，得a＋b≤4，當且僅當a＝b時等號成立，故△ABC周長的最大值為6. 方法二　由正弦定理得＝＝＝，故△ABC的周長為a＋b＋c＝(sin A＋sin B)＋2＝[sin A＋sin(A＋60°)]＋2＝＋2＝4sin(A＋30°)＋2.∵A∈(0,120°)，∴當A＝60°時，△ABC周

29、長的最大值為6. 17．[2019·湖北武漢部分重點中學第二次聯(lián)考]已知函數f(x)＝cos2x＋2sincos－sin2x. (1)當x∈時，求f(x)的最大值和最小值； (2)若f(θ)＝，求tan2的值． 解析：(1)依題意，知f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin. 因為x∈，所以≤2x＋≤， 所以－≤sin≤1， 則－1≤2sin≤2， 于是當x∈時，f(x)min＝－1，f(x)max＝2. (2)因為f(θ)＝，所以sin＝， 所以cos＝sin ＝sin＝， 于是tan2＝＝＝＝. 18．[2019·福州市質量檢測]在Rt△ABC中，∠C＝90

30、°，點D，E分別在邊AB，BC上，CD＝5，CE＝3，且△EDC的面積為3. (1)求邊DE的長； (2)若AD＝3，求sin A的值． 解析：(1)如圖所示，在△ECD中，S△ECD＝CE·CDsin∠DCE＝×3×5×sin∠DCE＝3， 所以sin∠DCE＝， 因為0°＜∠DCE＜90°， 所以cos∠DCE＝＝， 所以DE2＝CE2＋CD2－2·CE·CD·cos∠DCE＝9＋25－2×3×5×＝28， 所以DE＝2. (2)因為∠ACB＝90°，所以sin∠ACD＝sin(90°－∠DCE)＝cos∠DCE＝， 在△ADC中，＝， 即＝， 所以sin A＝. - 16 -