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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 方法應(yīng)用篇 專題3.2 換元法(測)理
一、選擇題(12*5=60分)
1.【xx屆河北省唐山市高三上學(xué)期期末】已知,由此可算得 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】設(shè),則,即,解得或,顯然,所以,故選A.
2.【xx屆河北省邢臺市高三上學(xué)期期末】已知函數(shù)的最小值為8,則( )
A. B. C. D.
【答案】B
3.【xx屆湖北省孝感市八校高三上學(xué)期期末】已知,則的值為( )
A. B. C. D. 2
【答案】A
【
2、解析】,解得,解得 ,構(gòu)造原式為,故選A.
4.【xx屆四川省瀘州市瀘縣第四中學(xué)高三上期末】定義在上的函數(shù)為減函數(shù),且函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,若,且,則的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
5.已知滿足,則的最大值為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】由橢圓的參數(shù)方程知,為參數(shù)),則=(其中),故z的最大值為5,故選C.
6.【xx屆天津市第一中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考】已知函數(shù) .若對任意,總存在,使得,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C.
3、 D.
【答案】D
【解析】當(dāng)時, 為單調(diào)遞增函數(shù),且
當(dāng)時,
∵對任意,總存在,使得
∴
∵為遞減函數(shù),且
∴
綜上所述,實數(shù)的取值范圍時
故選D
7.【衡水金卷xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬一】已知數(shù)列中, ,若對于任意的,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據(jù)題意,數(shù)列中, ,即,則有,則有 , ,即,∵對于任意的, ,不等式恒成立,∴,化為: ,設(shè), ,可得且,即有,即,可得或,則實數(shù)的取值范圍是,故選A.
8.【xx屆河南省濮陽市高三第一次模擬】已知中,
4、, , 成等比數(shù)列,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知可知,即, ,即 , ,
原式等于 ,設(shè)
即原式等于 ,函數(shù)是增函數(shù),當(dāng)時,函數(shù)等于0,當(dāng)時,函數(shù)等于,所以原式的取值范圍是,故選B.
9.已知圓和圓,動圓與圓和圓都相切,動圓圓心的軌跡為兩個橢圓,設(shè)這兩個橢圓的離心率分別為和(),則的最小值為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】①當(dāng)動圓與圓都內(nèi)切時,,,
②當(dāng)動圓與圓相外切而與相內(nèi)切時,,,
,令,因此可得
=,故選A.
10.【xx屆山西省晉中
5、市高三1月高考適應(yīng)性調(diào)研】已知不等式在上恒成立,且函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
不等式 在上恒成立,令, ,由圖可知, 或,即;
又在上單調(diào)遞增,故在上恒成立, ,綜上,·.
故選:B.
11.已知函數(shù),當(dāng)時,恒有成立,則實數(shù)的取值范圍( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為函數(shù)是奇函數(shù),且,所以函數(shù)在R上是減函數(shù);從而不等式等價于:
記令,則,
在上恒成立,所以函數(shù)在上是減函數(shù),從而在上恒成立;所以實數(shù)的取值范圍為,故
6、選D.
12.已知橢圓的左焦點關(guān)于直線的對稱點在橢圓上,則橢圓的離心率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
二、填空題(4*5=20分)
13. 函數(shù)的值域為__________.
【答案】
14.【xx屆甘肅省會寧縣第一中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)函數(shù),,求的最大值___________.
【答案】12
【解析】設(shè),
∵,∴?2?t?2,
則函數(shù)f(x)等價為g(t)=(t+2)(1+t)=+3t+2=?
∴g(t)在[?2,?
7、)單調(diào)遞減,在[?,2]上單調(diào)遞增,
∴當(dāng)時,g(t)取得最小值,最小值為?,即=?時,即x=時,f(x)的最小值為?
當(dāng)t=2時,g(t)取得最大值,最大值為g(2)=12,即=2時,即x=4時,f(x)的最大值為12.
15.【xx屆廣東省汕頭市高三上學(xué)期期末】已知,則__________.
【答案】6
【解析】由題意得,
令,
則,
∴函數(shù)為奇函數(shù).
∴,
∴
.
答案:6.
16.【xx屆天一大聯(lián)考高中畢業(yè)班階段性測試(四)】已知等差數(shù)列的通項公式為,前項和為,若不等式恒成立,則的最小值為__________.
【答案】
【解析】由題可知: 恒成立,即恒成
8、立,設(shè)t=n+1,則,因為函數(shù)在, ,所以,所以M的最小值是
三、解答題題(6*12=72分)
17.【xx屆重慶市第一中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考】已知二次函數(shù)滿足以下要求:①函數(shù)的值域為;② 對恒成立.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)設(shè),求時的值域.
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:
(1)已知條件提供了二次函數(shù)的對稱軸與最小值,因此二次函數(shù)解析式可配方為頂點式,從而列出關(guān)于的方程組,從而解得,得解析式;(2)是分式函數(shù),由于分母是一次的,分母是二次的,可用換元法設(shè),轉(zhuǎn)化后易得函數(shù)的單調(diào)性,從而得值域.
(2)
令,則
9、
所求值域為.
18.已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是,并且經(jīng)過點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若斜率為的直線經(jīng)過點,且與橢圓交于不同的兩點,求面積的最大值.
【答案】(1)(2)
(2)設(shè)直線的方程為,
由 得,依題意,
設(shè), 則,………………7分
,……………8分
由點到直線的距離公式得,………………9分
……………10分
設(shè) ,
當(dāng)且僅當(dāng)時,上式取等號,所以,面積的最大值為…………………12分
19.【xx屆河南省豫南九校高三下學(xué)期第一次聯(lián)考】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時, 恒成立,求的范圍;
(2)若在處的切線為,且方程恰有兩解,求實數(shù)的取值范圍.
10、【答案】(1) (2)
【解析】試題分析:(1)將參數(shù)值代入得到函數(shù)表達(dá)式,研究函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)最值,使得最小值大于等于0即可;(2)根據(jù)切線得到, ,方程有兩解,可得,所以有兩解,令,研究這個函數(shù)的單調(diào)性和圖像,使得常函數(shù)y=m,和有兩個交點即可.
(2)由得
,且.
由題意得,所以.
又在切線上.
所以.所以.
所以.
即方程有兩解,可得,所以.
令,則,
當(dāng)時, ,所以在上是減函數(shù).
當(dāng)時, ,所以在上是減函數(shù).
所以.
又當(dāng)時, ;且有.
數(shù)形結(jié)合易知: .
20.【xx屆浙江省杭州市高三上學(xué)期期末】設(shè)向量, , .
(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周
11、期;
(Ⅱ)若方程無實數(shù)解,求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)的最小正周期為.(Ⅱ)或.
【解析】試題分析:⑴利用兩個向量的數(shù)量積公式,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得,利用周期公式即可得到函數(shù)的最小正周期;
⑵由題意得無解故時,即可解得答案
解析:(Ⅰ)因為 ,
故的最小正周期為.
(Ⅱ)若方程無解,則,
所以或,
由解得或;
由,故不等式無解,
所以或.
21.【xx年福建省龍巖市高三上期末】已知是數(shù)列的前項和,且.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)令,求數(shù)列的前項和.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
試題解析:
(Ⅰ)因為①,
所以②,
②-
12、①得: ,即,
又,所以.
(Ⅱ),
令,則,
所以 .
22.【xx屆山西省晉中市高三1月測試】已知函數(shù), ,且曲線在處的切線方程為.
(1)求, 的值;
(2)求函數(shù)在上的最小值;
(3)證明:當(dāng)時, .
【答案】(1) (2) (3)見解析
【解析】試題分析:(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),計算, ,求出a,b的值即可;
(2)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,得到f(x)在[0,1]遞增,從而求出f(x)的最大值;
(3)只需證明x>0時, ,因為,且曲線在處的切線方程為,故可猜測:當(dāng)且時, 的圖象恒在切線的上方.
試題解析:
(1)由題設(shè)得,∴,
13、解得, .
(3)由題要證:當(dāng)時, ,
即證: ,
因為,且曲線在處的切線方程為,
故可猜測:當(dāng)且時, 的圖象恒在切線的上方.
下面證明:當(dāng)時, ,
證明:設(shè), ,
則,令, ,
當(dāng)時, , 單調(diào)遞減;
當(dāng)時, , 單調(diào)遞增,
又, , ,
所以,存在,使得,
當(dāng)時, ;當(dāng),
故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
又,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
故.
由(2)知, ,故,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
所以, .
即.所以, ,
即成立,當(dāng)時等號成立.
故:當(dāng)時, , 12分
方法二:要證,等價于,又,可轉(zhuǎn)化為證明
令,
,
,因此當(dāng)時, , 單調(diào)遞增;當(dāng)時, , 單調(diào)遞減;
有最大值,即恒成立,即當(dāng)時,