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1、用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式
求數(shù)列的通項公式是高考重點考查的內(nèi)容,作為兩類特殊數(shù)列----等差數(shù)列·等比數(shù)列可直接根據(jù)它們的通項公式求解,但也有一些數(shù)列要通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,之后再應(yīng)用各自的通項公式求解,體現(xiàn)化歸思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用
例1:(06年福建高考題)數(shù)列 ( )
A. B. C. D.
解法1:
又
是首項為2公比為2的等比數(shù)列
,所以選C
解法2
歸納總結(jié):
2、若數(shù)列滿足為常數(shù)),則令來構(gòu)造等比數(shù)列,并利用對應(yīng)項相等求的值,求通項公式。
例2:數(shù)列中,,則 。
解:
為首項為2公比也為2的等比數(shù)列。
,(n>1)
n>1時
顯然n=1時滿足上式
小結(jié):先構(gòu)造等比數(shù)列,再用疊加法,等比數(shù)列求和求出通項公式,
例3:已知數(shù)列中求這個數(shù)列的通項公式。
解:
又形成首項為7,公比為3的等比數(shù)列,
則………………………①
又,
,形成了一個首項為—13,公比為—1的等比數(shù)列
則………………………②
①②
小結(jié):本題是兩次構(gòu)造等比數(shù)列,屬于構(gòu)造方面比較級
3、,最終用加減消元的方法確定出數(shù)列的通項公式。
例4:設(shè)數(shù)列的前項和為成立,(1)求證: 是等比數(shù)列。(2) 求這個數(shù)列的通項公式
證明:(1)當(dāng)
又………………………①
………………………②
②—①
當(dāng)時,有
又
為首項為1,公比為2的等比數(shù)列,
(2)
小結(jié):本題構(gòu)造非常特殊,
要注意恰當(dāng)?shù)幕喓吞崛」蚴剑绢}集中體現(xiàn)了構(gòu)造等比數(shù)列的價值與魅力,同時也彰顯構(gòu)造思想在高考中的地位和作用。
例5:數(shù)列滿足,則
A. B. C. D.
解:
構(gòu)成了一個首項這,公差為3的等差數(shù)列,
所以選B。
4、小結(jié):構(gòu)造等比數(shù)列,注意形,當(dāng)時,變?yōu)椤?
例6:已知函數(shù),又?jǐn)?shù)列中,其前項和為,對所有大于1的自然數(shù)都有,求數(shù)列的通項公式。
解:
是首項為,公差為的等差數(shù)列。
。
時,
且當(dāng)時, 符合條件
通項公式為
例7:(2020山東高考題)
已知,點()在函數(shù)的圖象上,其中求數(shù)列的通項公式。
解:
又在函數(shù)圖象上
是首項為公比為2的等比數(shù)列
小結(jié):前一個題構(gòu)造出為等差數(shù)列,并且利用通項與和的關(guān)系來確定數(shù)列的通項公式,后一個題構(gòu)造為等比數(shù)列,再利用對數(shù)性質(zhì)求解。數(shù)列與函數(shù)的綜合運用是當(dāng)今高考的重點與熱點,因此我們在解決數(shù)列問題時應(yīng)充分利用函數(shù)有
5、關(guān)知識,以它的概念與性質(zhì)為紐帶,架起函數(shù)與數(shù)列的橋梁,揭示它們之間內(nèi)在聯(lián)系,從而有效地解決數(shù)列問題。
例8:(2020天津高考題)已知數(shù)列滿足,()其中,求數(shù)列的通項公式
方法指導(dǎo):將已知條件中的遞推關(guān)系變形,應(yīng)用轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列形式,從而為求的通項公式提供方便,一切問題可迎刃而解。
解:
。
所以
所以為等差數(shù)列,其首項為0,公差為1;
例9:數(shù)列中,若,,則
A. B. C. D.
解:
又是首項為公差3的等差數(shù)列。
所以選A
變式題型:數(shù)列中,,求
解:
是首項為公比為的等比數(shù)列
小結(jié):且為一次分式型或構(gòu)造出倒數(shù)成等差數(shù)列或構(gòu)造出倒數(shù)加常數(shù)成等比數(shù)列,發(fā)散之后,兩種構(gòu)造思想相互聯(lián)系,相互滲透,最后融合到一起。
總之,構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列來求數(shù)列的通項公式,是求通項公式的重要方法也是高考重點考查的思想,當(dāng)然題是千變?nèi)f化的,構(gòu)造方式也會跟著千差萬別,要具體問題具體分析,需要我們反復(fù)推敲歸納,從而確定其形式,應(yīng)該說構(gòu)造方法的形成是在探索中前進(jìn),在前進(jìn)中探索。