2020年高考數(shù)學(xué) 易錯點點睛與高考突破 專題02 函數(shù)和反函數(shù)
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1、2020年高考數(shù)學(xué) 易錯點點睛與高考突破 專題02 函數(shù)和反函數(shù) 1.已知定義域為[0,1)的函數(shù)f(x)同時滿足①對任意x∈[0,1],總有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2). (1)求f(0)的值; (2)求函數(shù)f(x)的最大值. 2.設(shè)f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),k是正常數(shù),且對任意的x∈(0,+∞),恒有f[f(x)]=kx成立. 若f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù),且k=1,求證:f(x)=x. (2)對于任意的x1、x2∈(0,+∞),當(dāng)x2>x1時,有f(x2)-f(x1
2、)>x2-x1成立,如果k=2,證明:<<. 難點2 綜合運用函數(shù)奇偶性、周期性、單調(diào)性進行命題 1.設(shè)f(x)是定義在[-1,1]上的偶函數(shù).當(dāng)x∈[-1,0]時,f(x)=g(2-x),且當(dāng)x∈[2,3]時,g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3, (1)求f(x)的表達式; (2)是否存在正實數(shù)a(a>6),使函數(shù)f(x)的圖像的最高點在直線y=12上,若存在,求出正實數(shù)a的值;若不存在,請說明理由. 【解析】 (1)運用函數(shù)奇偶性和條件f(x)=g(2-x)可求得f(x)的解析式.(2)利用導(dǎo)數(shù)可求得f(x)的最大值.令最大值等于12可知是否存在正實數(shù)a. 【答案】
3、 (1)當(dāng)x∈[-1,0]時,2-x∈[2,3] f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x)3=4x3-2ax 得f(x)=4x3-2ax(x∈[-1,0]) 2.函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),且是周期為2的周期函數(shù),當(dāng)x∈[2,3]時,f(x)=x-1.在y=f(x)的圖像上有兩點A、B,它們的縱坐標相等,橫坐標都在區(qū)間[1,3]上,定點C的坐標為(0,a),(其中a>2),求△ABC面積的最大值. 當(dāng)>2,即a>3時,函數(shù)S在[1,2]上單調(diào)遞增,∴S有最大值S(2)=a-2. 難點3 反函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合 1.在R上的遞減函數(shù)f(x)滿足:當(dāng)且僅當(dāng)x∈MR+函數(shù)值f(x
4、)的集合為[0,2]且f()=1;又對M中的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (1)求證:∈M,而M; (2)證明:f(x)在M上的反函數(shù)f-1(x)滿足f-1(x1)·f-1(x2)=f-1(x1+x2). (3)解不等式f-1(x2+x)·f-1(x+2)≤(x∈[0,2]). 【解析】 由給定的函數(shù)性質(zhì),證明自變量x是屬于還是不屬于集合",最后利用反函數(shù)的概念、性質(zhì)證明反函數(shù)的一個性質(zhì)和解反函數(shù)的不等式. 【答案】 (1)證明:∵∈M,又=×,f()=1.∴f()=f(×)=f()+f()=1+1=2∈[0,2], ∴∈M, 【學(xué)科
5、思想與方法】 2.函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合思想 “數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)這座高樓大廈的兩塊最重要的基石,二者在內(nèi)容上互相聯(lián)系、在方法上互相滲透、在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化,而數(shù)形結(jié)合法正是在這一學(xué)科特點的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的.在解答選擇題的過程中,可以先根據(jù)題意,做出草圖,然后參照圖形的作法、形狀、位置、性質(zhì),并綜合圖象的特征得出結(jié)論. 【例1】設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=則f(x)的值域是( ). 【變式】函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=2sin πx(-2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標之和等于( ). A.2 B.4 C.6 D.8 解析:令1-x=t,則x=1-t.
6、 【易錯點點睛】 易錯點1 函數(shù)的定義域和值域 1.(2020模擬題精選)對定義域Df、Dg的函數(shù)y=f(x),y=g(x),規(guī)定:函數(shù)h(x)= (1)若函數(shù)f(x)=,g(x)=x2,寫出函數(shù)h(x)的解析式; (2)求問題(1)中函數(shù)h(x)的值域. 【錯誤答案】 (1)∵f(x)的定義域Df為(-∞,1)∪(1,+∞),g(x)的定義域Dg為2.(2020模擬題精選)記函數(shù)f(x)=的定義域為A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a≤1)的定義域為B. (1)求A; (2)若BA,求實數(shù)a的取值范圍. 3.(2020模擬題精選)記函數(shù)f(x)=lg(
7、2x-3)的定義域為集合M,函數(shù)g(x)=的定義域為集合N.求 集合M,N; 集合M∩N.M∪N. ∴x≥3或x<1.∴N={x|x≥3或x<1}. 【特別提醒】 對于含有字母的函數(shù)求定義域或已知其定義域求字母參數(shù)的取值范圍,必須對字母酌取值情況進行討論,特別注意定義域不能為空集。2.求函數(shù)的值域,不但要重視對應(yīng)法則的作用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用. 【變式探究】 1 若函數(shù)y=lg(4-a·2x)的定義域為R,則實數(shù)a的取值范圍是 ( ) A.(0,+∞) B.(0,2) C.(-∞,2) D.(-∞,0) 答案:D
8、 解析:∵4-a
2 已知函數(shù)f(x)的值域是[-2,3],則函數(shù)f(x-2)的值域為 ( )
A.[-4,1] B.[0,5]
C.[-4,1]∪[0,5] D.[-2,3]
答案:D 解析:f(x-2)的圖象是把f(x)的圖象向右平移2個單位.因此f(x-2)的值域不變.
3 已知函數(shù)f(x)=lg(x2-2mx+m+2)
(1)若該函數(shù)的定義域為R,試求實數(shù)m的取值范圍.
解析:(1)由題設(shè),得不等式x2-2mx+m+2>0對一切實數(shù)x恒成立,
∴△=(-2m)2-4(m+2)<0,解得-1 9、數(shù)的值域為R,試求實數(shù)m的取值范圍.
答案:由題設(shè),得不等式△=(-2m)2-4(m+2) ≥0解得m≤1或m≥2.
3.已知函數(shù)f(x)=log3的定義域為R,值域為[0,2],求實數(shù)m,n的值.
或
解得,a∈?.
(2)若f(x)在[-1,1]上是單調(diào)遞減函數(shù),
則f′(x)≤0在[-1,1]上恒成立.
∴ex[x2+2(1-a)x-2a]≤0在[-1,1]上恒成立.
∵ex>0.∴h(x)=x2+2(1-a)x-2a≤0在[-1,1]上恒成立.
則有
∴當(dāng)a∈[,+∞]時,f(x)在[-1,1]上是單調(diào)函數(shù).
2.(2020模擬題精選)已知函數(shù)f(x) 10、=ax+(a>1)
(1)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù);
(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負數(shù)根.
即不存在0>x0>-1的解.
當(dāng)x0<-1時.x0+1<0<0,-1+<-1,而ax0>0矛盾.即不存在x0<-1的解.
3.(2020模擬題精選)若函數(shù)f(x)=l0ga(x3-ax)(a>0且a≠1)在區(qū)間(-,0)內(nèi)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是 ( )
A.[,1] B.[,1]
C.[,+∞] D.(1,-)
【特別提醒】
1.討論函數(shù)單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進行,因此討論函數(shù)的單調(diào)性必須求函數(shù)定義域.
2.函數(shù)的單調(diào) 11、性是對區(qū)間而言的,如果f(x)在區(qū)間(a,b)與(c,d)上都是增(減)函數(shù),不能說 f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是增(減)函數(shù).
3.設(shè)函數(shù)y=f(u),u=g(x)都是單調(diào)函數(shù),那么復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在其定義域上也是單調(diào)函數(shù).若y=f(u)與u=g(x)的單調(diào)性相同,則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是增函數(shù);若y=f(u),u=g(x)的單調(diào)性相反,則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是減函數(shù).列出下表以助記憶.
y=f(u)
u=g(x)
y=f[g(x)]
↗
↗
↗
↗
↘
↘
↘
↘
↗
↘
↗
↘
上述規(guī)律可概括為“同性則增,異性則減”.
12、
【變式探究】
1 函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x都有f(x) 13、(n)(n∈N*)
解析(1)
設(shè)當(dāng)x<0時,f(x)>1,試解不等式f(x+5)>.
答案:(2)對任意的
易錯點3 函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用
1.(2020模擬題精選)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+2),當(dāng)x∈[3,4]時,f(x)=x-2.則 ( )
A.f(sin)<f(cos) B.f(sin)>f(cos)
C.f(sin1)<f(cos1) D.f(sin)<f(cos)
【錯誤答案】 A
由f(x)=f(x+2)知T=2為f(x)的一個周期.設(shè)x∈[-1,0]知x+4∈[3,4]
∴f( 14、x)=f(x+4)=x+4-2=x+2.
∴f(x)在[-1,0]上是增函數(shù)
又f(x)為偶函數(shù).∴f(x)=f(-x)
2.(2020模擬題精選)若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在(-∞,0)上是減函數(shù),且f(2)=0,則使得f(x)<0的x的取值范圍是 ( )
A.(-∞,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-2,2)
4.(2020模擬題精選)設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上滿足f(2-x)=f(2+x).f(7-x)=f(7+x),且在閉區(qū)間[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.
(1)試 15、判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性;
(2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間[-2020,2020]上根的個數(shù),并證明你的結(jié)論.
f(3)=f(13)=…=f(2020)=0
f(x)=0在[0,2020]上共有402個解.同理可求得f(x)=0在[-2020,0]上共有400個解.
∴f(x)=0在[-2020,2020]上有802個解.
【特別提醒】
1.函數(shù)奇偶性定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù),為了便于判斷有時需要將函數(shù)進行
化簡.
2.要注意從數(shù)和形兩個角度理解函數(shù)的奇偶性,要充分利用f(x)與f(-x)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和圖像的對稱性解決有關(guān)問題.
3.解題中要注意以下性質(zhì)的 16、靈活運用.
(1)f(x)為偶函數(shù)f(x)=f(-x)=f(|x|).
(2)若奇函數(shù)f(x)的定義域包含0,則f(0)=0.
【變式探究】
1 f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且g(x)是奇函數(shù),已知g(x)=f(x-1),若g(-1)=2020,則f(2020)的值為 ( )
A.2020 B.-2020
C.-2020 D.2020
答案:D 解析:由題設(shè)條件易得f(x+4)=f(x), ∴f(2020)=f(2).又f(-2)=g(-1)=2020. ∴f(2006)=2020.
2.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意實數(shù)x恒滿足f( 17、x+2)=-f(x).當(dāng)x∈[0,2]時,f(x)=2x+x2.
(1)求證:f(x)是周期函數(shù);
3.設(shè)a、b∈R,且a≠2定義在區(qū)間(-b,b)內(nèi)的函數(shù)f(x)=lg是奇函數(shù),求b的取值范圍.
解析:f(x)=lg是奇函數(shù),等價于,對任意x∈(-b,b)都有:???????????①
②式即為lg即a2x2=4x2.此式對任意x∈(-b,b)都成立相當(dāng)于a2=4, ∵a≠2, ∴a=-2.代入(2)得
即
易錯點4 反函數(shù)的概念和性質(zhì)的應(yīng)用
1.(2020模擬題精選)函數(shù)f(x)=x2-2ax-3在區(qū)間[1,2]上存在反函數(shù)的充分必要條件是 ( )
A.a(chǎn)∈ 18、(-∞,1)
B.a(chǎn)∈[2,+∞]
C.a(chǎn)∈[1,2]
D.a(chǎn)∈(-∞,1)∪[2,+∞]
+∞].∴x-1==1+.x、y對換得y=1+ 又∵y=(1≤x≤2).∴0≤y≤1即原函數(shù)值域為[0,1].所以反函數(shù)為y=1- (0≤x≤1).選B.
3.(2020模擬題精選)設(shè)f-1(x)是函數(shù)f(x)=(ax-a-x)(a>1)的反函數(shù),則使f-1(x)>1成立的x的取值范圍為 ( )
A.(,+∞) B.(-∞,)
C.(,a) D.(a,+∞)
4.(2020模擬題精選)設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(1,2)對稱,且存在反函數(shù)f-1(x),f(4) 19、=0,f-1(4)=________.
【錯誤答案】 填0 ∵y=f(x)的圖像關(guān)于點(1,2)對稱,又∵f(4)=0,∴f(0)=4,∴f-1(4)=0
【錯解分析】 上面解答錯在由圖像過點(4,0)得到圖像過點(4,0)上,因為f(x)圖像關(guān)于點(1,2)對稱不是關(guān)于y=x對稱,因此應(yīng)找出圖像過點(-2,4)是關(guān)鍵.
【正確解答】 填-2.
【特別提醒】
1.求反函數(shù)時必須注意:(1)由原解析式解出x=f-1(y),如求出的x不唯一,要根據(jù)條件中x的范圍決定取舍,只能取一個;(2)要求反函數(shù)的定義域,即原函數(shù)的值域.
2.分段函數(shù)的反函數(shù)可以分別求出各段函數(shù)的反函數(shù)后再合 20、成.
3.若點(a,b)在原函數(shù)y=f(x)的圖像上,則(b,a)在反函數(shù)y=f-1(x)的圖像上.
【變式探究】
1 函數(shù)y=3x2-1(-1≤x<0)的反函數(shù)是 ( )
A.y=(x≥)
B.y=- (x≥)
C.y= ( 21、,3T)的反函數(shù)為 ( )
A.y=f-1(x),x∈D
B.y=f-1(x-2T),x∈D
C.y=f-1(x+2T),x∈D
D.y=f-1(x)+2T.x∈D
答案:D 解析:∵x∈(2T,3T), ∴x-2T=(0,T).又∵f(x)的周期為2T,y=f(x)=f(x-2T). ∴x-2T=f-1(y)+2T,x,y互換,得
y=f-1(x)+2T.當(dāng)x∈(2T,3T)的反函數(shù)為y=f-1(x)+2T,x∈D.
3 已知f(x)=的反函數(shù).f-1(x)的圖像的對稱中心是(-1,3),求實數(shù)a的值.
2 已知定義域為R的函數(shù)f(x) 22、滿足f(-x)=-f(x+4).當(dāng)x>2時,f(x)單調(diào)遞增,如果x1+x2<4且(x1-2)(x2-2)<0,則f(x1)+f(x2)的值為 ( )
A.可能為0 B.恒大于0
C.恒小于0 D.可正可負
答案:C 解析:不妨設(shè)x1 23、)=()x,那么f-1(0)+f-1(-8)的值為 ( )
A.2 B.-3 C.3 D.-2
答案:C解析:f(x)=
f-1(-8)=3.故選 C.
4.符號[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[π]=3,[-1.08]=-2,定義函數(shù){x}=x-[x],那么下列命題中正確的個數(shù)是 ( )
①函數(shù){x}的定義域為R,值域為[0,1];
②方程{x}=有無數(shù)解;
③函數(shù){x}是周期函數(shù);
④函數(shù){x}是增函數(shù).
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
答案:C
解析:∵f(x)的周期為3,∴f(2)=f(-1)= 25、像的對稱軸為x=1,且在(2,4)內(nèi)是減函數(shù)
C.圖像的對稱軸為x=0,且在(4,6)內(nèi)是增函數(shù)
D.圖像的對稱軸為x=1,且在(4,6)內(nèi)是增函數(shù)
7 函數(shù)f(x)=的定義域為A,g(x)=的定義域為B,且A∩B=? ,則實數(shù)a的取值范圍是_________
答案:解析:[-1,3]由x2-2x-8≥0?x≤-2或x≥4.由1-|x-a|>0?|x-a|<1?a-1 26、定義域上是減函數(shù),且f(a-1)>f(1-a2).求a的取值范圍;
答案:解析:由犧件可得
10.若f(x)滿足:在(0,+∞)上f(xy)=f(x)+f(y),且對x>1,f(x)>0恒成立,求證:f(x)存在反函數(shù)f-1(x)并比較f-1與 [f-1(a)+f-1(b)]的大?。?
∴
故
11.已知集合A=[2,log2t],集合B={x|x2-14x+24≤0},x1t∈R,且AB.
(1)對于區(qū)間[a,b],定義此區(qū)間的“長度”為b-a. 若A的區(qū)間“長度”為3,試求t的值.
(2)某個函數(shù)f(x)的值域是B,且f(x)∈A的概率不小于0.6,試確定t的取 27、值范圍. 12集合A是由適合以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)組成的,對任的x≥0,f(x)∈[-2,4],有f(x)在[0,+∞]上是增函數(shù).
(1)試判斷f1(x)=-2及f2(x)=4-6·()(x≥0)是否在集合A中?若不在集合A中,試說明理由;
答案:解析:(1)log2t-2=3?t=32;
(2)對于(1)中你認為是集合A中的函數(shù)f(x)不等式f(x)+f(x+2)<2f(x+1)是否對于任意的x≥D總成立?證明你的結(jié)論.
答案:B=[2,12],由題意及概率的意義得即t∈[256,4096].
12 集合A是由適合以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)組成的,對任意的x≥0,f(x)∈[-2, 28、4],有f(x)在[0,+8]上地增函數(shù)。試判斷f1(x)=-2及f2(x)=4-6·()x(x≥0)是否在集合A中?若不在集合A中,試說明理由;
13 已知函數(shù)f(x)=(x>0).
(1)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,并指出在每一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),函數(shù)是遞增的還是遞減的.(不必證明)
答案:f(x)=x
(2)若不等式f(x)>0對于x∈(0,+∞)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
答案:f(x)>0即a>-恒成立,∴a>
由(1)的結(jié)論知當(dāng)
(3)若f(x)(x≥1)的反函數(shù)f-1(x),試求f-1(a+).
答案:根據(jù)反函數(shù)的意義,令
14、已知函數(shù)f(x)=x3+ax 29、+b定義在區(qū)間[-1,1]上,且f(0)=f(1),又P(x1,y1),q(x2,y2)是其圖像上任意兩點(x1≠x2).
(1)求證:f(x)的圖像關(guān)于點(0,b)成中心對稱圖形;
答案:∵f(0)=f(1), ∴b=1+a+b,得a=-1. ∴f(x)=x3-x+b的圖象可由y=x3-x的圖象向上(或向下)平移b(或-b )個單位得到.又y=x3-x是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點成中心對稱圖形,∴f(x) 的圖象關(guān)于點(0,b)成中心對稱圖形。
(2)設(shè)直線PQ的斜率為k,求證:|k|<2.
答案:∵點P(x1,y1),Q(x2y2)在f(x)=x3-x+b的圖象上,
∴k=
又
(3)若0≤x1
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