2020年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)24數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

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1、考點(diǎn)24 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 一、選擇題 1.（2020·江西高考理科·Ｔ5） 已知數(shù)列?{}的前項(xiàng)和滿足：+=，且=1，那么=( ) A.1 B.9 C.10 D.55 【思路點(diǎn)撥】 【精講精析】選A. 2.（2020·安徽高考文科·Ｔ7）若數(shù)列的通項(xiàng)公式是n=(-1)n(3-2),則… （A）15 (B)12 （C）12 (D) 15 【思路點(diǎn)撥】觀察數(shù)列的性質(zhì)，得到 【精講精析】選A. 故 二、填空題 3.（2020·江蘇高考·Ｔ13）設(shè)，其中成

2、公比為q的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是________ 【思路點(diǎn)撥】本題考查的是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找出等差數(shù)列與等比數(shù)列的結(jié)合點(diǎn)，從而找到q滿足的關(guān)系式，求得其最小值。 【精講精析】答案： 由題意：，，而的最小值分別為1，2，3；。 4.（2020·浙江高考文科·Ｔ17）若數(shù)列中的最大項(xiàng)是第項(xiàng)，則=_______________. 【思路點(diǎn)撥】可由不等式組解得. 【精講精析】答案：4設(shè)最大項(xiàng)為第項(xiàng)，則由不等式組得,即,解得,故. 三、解答題 5.（2020·安徽高考理科·Ｔ18）在數(shù)1和100之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)

3、列，將這+2個(gè)數(shù)的乘積記作，再令， （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【思路點(diǎn)撥】本題將數(shù)列問(wèn)題和三角問(wèn)題結(jié)合在一起，解決此題需利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，及兩角差的正切公式等基本知識(shí). 【精講精析】（Ⅰ）設(shè)這+2個(gè)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列為，則，則 ，，又 所以 （Ⅱ）由題意和（Ⅰ）中計(jì)算結(jié)果，知 另一方面，利用 得 所以 6.（2020·江蘇高考·Ｔ20）設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意整數(shù)kM，當(dāng)整數(shù)n>k時(shí)，都成立 （1）設(shè)M=｛1｝，，求的值； （2）設(shè)M=｛3，4｝，求數(shù)列的

4、通項(xiàng)公式。 【思路點(diǎn)撥】本題考查的是等差數(shù)列概念、和與通項(xiàng)關(guān)系，其中（1）問(wèn)較為容易，（2）問(wèn)解決的關(guān)鍵是抓住題目的的轉(zhuǎn)化從中找到解決問(wèn)題的規(guī)律。 【精講精析】由題設(shè)知，當(dāng)時(shí)， 即，從而，又， 故當(dāng)時(shí)，，所以的值為8. (2) 由題設(shè)知, 當(dāng),且時(shí)， 且， 兩式相減得，即，所以當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列，且也成等差數(shù)列， 從而當(dāng)時(shí)， ， 且。 所以當(dāng)時(shí)，，即，于是， 當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列， 從而，故由式知，即，當(dāng)時(shí)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，， 從而由式知，故， 從而，于是。 因此，對(duì)任意都成立。 又由（可知， 故且。解得，從而，。 因此，數(shù)列為等差數(shù)列，由知， 所以數(shù)列

5、的通項(xiàng)公式為。 7.（2020·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·Ｔ17）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 （Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【思路點(diǎn)撥】第（1）問(wèn)可由，聯(lián)立方程組求得和公比，從而求得的通項(xiàng)公式.第（2）問(wèn)中，需先利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再用裂項(xiàng)相消的方法求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【精講精析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為q，由得所以. 由條件可知,故.由得，所以. 故數(shù)列的通項(xiàng)式為=. （Ⅱ?） . 故, . 所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為. 8.（2020·新課標(biāo)全國(guó)高考文科·Ｔ17）已知等比數(shù)列中，，公比. （I）為的前項(xiàng)和，證明： （II）設(shè)，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式.

6、【思路點(diǎn)撥】第（1）問(wèn)利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式求出然后證明等式成立； （2）利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)，即得{}的通項(xiàng)公式. 【精講精析】（I）， （II） . 數(shù)列的通項(xiàng)公式為=. 9.（2020·廣東文科·T20）設(shè)b>0，數(shù)列}滿足a1=b,. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)證明：對(duì)于一切正整數(shù)n， b+1 【思路點(diǎn)撥】（1）把題中條件變形為，構(gòu)造成為，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，求得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式. （2）利用均值不等式證明. 【精講精析】（1）【解】由已知得，當(dāng)時(shí)，上式變形為：， 即數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得：，解得；

7、 當(dāng)時(shí)，有，即{}是首項(xiàng)公差均為1的等差數(shù)列，則. 綜上所述. （2）【證明】方法一：當(dāng) 只需 綜上所述 方法二：由（1）及題設(shè)知: 當(dāng)時(shí)，+1=2=2； 當(dāng)時(shí)，，而，， 即2，又，. 綜上所述，對(duì)于一切正整數(shù)有. 10.（2020·廣東高考理科·Ｔ20）設(shè)數(shù)列滿足. 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 證明：對(duì)于一切正整數(shù)n, 【思路點(diǎn)撥】（1）把題中條件變形為，構(gòu)造成為，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，求得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式.，或用猜想證明的方法解決. （2）利用均值不等式證明. 【精講精析】（1）方法一：由已知得，兩邊同除以，整理得， 當(dāng)時(shí)有： （）

8、令，則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，即 從而. 當(dāng)時(shí)，有，即是首項(xiàng)與公差均為的等差數(shù)列，從而有，得. 綜上所述 方法二：（ⅰ）當(dāng)時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列， 即，∴ （ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，， 猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立； ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，，則 ， 所以當(dāng)時(shí)，猜想成立， 由①②知，，． 綜上所述 （2）【證明】方法一：（?。┊?dāng)時(shí)， ，故時(shí)，命題成立； （ⅱ）當(dāng)時(shí)，， ， ，以上n個(gè)式子相加得 ， ．故當(dāng)時(shí)，命題成立； 綜上（?。áⅲ┲}成立． 方法二：由（1）及題設(shè)知: 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 而

9、 ，即，又 綜上所述：對(duì)于一切正整數(shù)n,. 11.（2020·山東高考理科·Ｔ20）（本小題滿分12分） 等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn. 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由題意易知.由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（Ⅱ）由題意易知數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，利用分組求和法，可以將奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分開(kāi)來(lái)求解數(shù)列的前n項(xiàng)和，但是要分奇數(shù)和偶數(shù)

10、兩種情況討論 【精講精析】（Ⅰ）由題意可知，公比， 通項(xiàng)公式為； （Ⅱ） 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí) 故 另解：令，即 則 故 . 12.（2020·山東高考文科·Ｔ20）（本小題滿分12分） 等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足：=，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【思路點(diǎn)撥】（I）由題意易知.由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列.（II）由題意易知數(shù)列為擺

11、動(dòng)數(shù)列，利用分組求和法，可以將奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分開(kāi)來(lái)求解數(shù)列的前2n項(xiàng)和. 【精講精析】（Ⅰ）由題意知,因?yàn)槭堑缺葦?shù)列,所以公比為3,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式. （Ⅱ）== =, 所以 =+ 13.（2020·遼寧高考理科·Ｔ17）（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0，a6+a8= -10 （I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （II）求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)先求首項(xiàng)和公差，再求通項(xiàng)公式；（Ⅱ）可利用錯(cuò)位相減法求和． 【精講精析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為， 由已知條件可得故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ……5分

12、 （Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，即=故=1， .所以，當(dāng)＞1時(shí)，=- ===，所以= 綜上，數(shù)列的前項(xiàng)和=. ……12分 14.（2020·北京高考理科·T20）(13分)若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為數(shù)列，記=. （Ⅰ）寫(xiě)出一個(gè)滿足，且的數(shù)列； （Ⅱ）若，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2020； （Ⅲ）對(duì)任意給定的整數(shù)n（n≥2），是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列，使得=0？如果存在，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說(shuō)明理由. 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)數(shù)列即可；（Ⅱ）分別證明必要性與充分性；（Ⅲ）先假設(shè)存在，看能否求出，

13、求出即存在，求不出則不存在. 【精講精析】（Ⅰ）0，1，2，1，0是一個(gè)滿足條件的E數(shù)列. （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個(gè)滿足條件的E數(shù)列） （Ⅱ）必要性：因?yàn)镋數(shù)列是遞增數(shù)列，所以. 所以是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列.所以. 充分性：由于，，……，， 所以，即. 又因?yàn)?，所? 故，即是遞增數(shù)列. 綜上，結(jié)論得證. （Ⅲ）令，則. 因?yàn)?，……，， 所以 因?yàn)?，所以為偶數(shù). 所以為偶數(shù). 所以要使，必須使為偶數(shù)， 即4整除，亦即或 當(dāng)時(shí)，E數(shù)列的項(xiàng)滿足 時(shí)，有； 當(dāng)n=4m+1時(shí)，E數(shù)列的項(xiàng)滿足 時(shí)，有； 當(dāng)n=4m+2或n=4m

14、+3時(shí)，n(n-1)不能被4整除，此時(shí)不存在E數(shù)列，使得. 15.（2020·北京高考文科·T20）(13分)若數(shù)列滿足，則稱為數(shù)列.記=. （Ⅰ）寫(xiě)出一個(gè)E數(shù)列滿足 （Ⅱ）若，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2020； （III）在的E數(shù)列中，求使得成立的n的最小值. 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)數(shù)列即可；（Ⅱ）分別證明必要性與充分性；（Ⅲ）利用E數(shù)列的定義找出前面幾項(xiàng)的和與0的關(guān)系，再求n的最小值. 【精講精析】（Ⅰ）0，1，2，1，0是一個(gè)滿足條件的E數(shù)列. （答案不惟一，0，1，0，1，0也是一個(gè)滿足條件的E數(shù)列） （Ⅱ）必要性：因?yàn)镋數(shù)列是遞

15、增數(shù)列，所以. 所以是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列.所以. 充分性：由于，，……，， 所以，即. 又因?yàn)椋? 故，即是遞增數(shù)列. 綜上，結(jié)論得證. （Ⅲ）對(duì)首項(xiàng)為4的E數(shù)列由于，… 所以. 所以對(duì)任意的首項(xiàng)為4的E數(shù)列，若，則必有. 又的E數(shù)列：4，3，2，1，0，-1，-2，-3，-4滿足， 所以n的最小值是9. 16.（2020·湖南高考文科T20）（本小題滿分13分）某企業(yè)在第1年初購(gòu)買一臺(tái)價(jià)值為120萬(wàn)元的設(shè)備M，M的價(jià)值在使用過(guò)程中逐年減少.從第2年到第6年，每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬(wàn)元；從第7年開(kāi)始，每年初M的價(jià)值為上年初的75%. （Ⅰ）求第

16、n年初M的價(jià)值的表達(dá)式； （2）設(shè)大于80萬(wàn)元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對(duì)M更新.證明：須在第9年初對(duì)M更新. 【思路點(diǎn)撥】本題考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力，重點(diǎn)考查學(xué)生的以下能力：一是閱讀能力.二是轉(zhuǎn)化能力.三是表達(dá)能力.能否把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言的理解能力.四是解題能力.本題主要考查學(xué)生的閱讀能力和建模能力和運(yùn)算能力，閱讀后建立數(shù)列模型是關(guān)鍵. 【精講精析】 （I）當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為120，公差為的等差數(shù)列． 當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為為等比數(shù)列，又，所以 因此，第年初，M的價(jià)值的表達(dá)式為 (II)設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)和，由

17、等差及等比數(shù)列的求和公式得 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 因?yàn)槭沁f減數(shù)列，所以是遞減數(shù)列，又 所以須在第9年初對(duì)M更新． 17.（2020·江西高考文科·Ｔ21）（1）已知兩個(gè)等比數(shù)列，，滿足，若數(shù)列唯一，求的值； （2）是否存在兩個(gè)等比數(shù)列，，使得成公差不為的等差數(shù)列？若存在，求 ， 的通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由． 【思路點(diǎn)撥】（1）先將再根據(jù)，可得和的關(guān)系式，再根據(jù)數(shù)列的唯一性，知q必有一個(gè)值為0，代入可得a的值。(2)將 再根據(jù)它們四個(gè)成等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得之間的關(guān)系，通過(guò)消參可得，即或，經(jīng)討論可得兩者都不符合題意。 【精講精析】解：（1）要唯一，當(dāng)公比時(shí)，由且，

18、，最少有一個(gè)根（有兩個(gè)根時(shí)，保證僅有一個(gè)正根） ，此時(shí)滿足條件的a有無(wú)數(shù)多個(gè)，不符合。 當(dāng)公比時(shí)，等比數(shù)列首項(xiàng)為a，其余各項(xiàng)均為常數(shù)0，則唯一，此時(shí)由，可推得符合 綜上：。 （2）假設(shè)存在這樣的等比數(shù)列，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，整理得： 要使該式成立，則=或此時(shí)數(shù)列，公差為0與題意不符，所以不存在這樣的等比數(shù)列。 18.（2020天津高考文科T20）已知數(shù)列滿足 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設(shè)，證明是等比數(shù)列； （Ⅲ）設(shè)為的前項(xiàng)和，證明 【思路點(diǎn)撥】（1）的通項(xiàng)公式是常數(shù)，對(duì)n取值代入求值； （2）由的關(guān)系式，構(gòu)造是常數(shù)； 由（2）求出的通項(xiàng)，得到的通項(xiàng)公

19、式，再求和、放縮證明. 【精講精析】 （Ⅰ）【解析】由可得 又， 當(dāng) 當(dāng) （Ⅱ）證明：對(duì)任意 ① ② ②-①，得.所以是等比數(shù)列. （Ⅲ）證明：，由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)， 故對(duì)任意 由①得 因此， 于是， 故 19.（2020·浙江高考理科·Ｔ19）（本題滿分14分）已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)為（∈R），設(shè)數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列。 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及； （Ⅱ）記＝+++…+，?＝+ + ，當(dāng)≥2時(shí)，試比較與的大小． 【思路點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、求和公式、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，

20、要注意待定系數(shù)法與分類討論思想的應(yīng)用。 【精講精析】（Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由 得。因?yàn)?所以 所以， （Ⅱ）解：因?yàn)? 所以 因?yàn)樗? 當(dāng)n≥2時(shí)，，即 所以，當(dāng)＞0時(shí)，；當(dāng)＜0時(shí)，。 20.（2020·浙江高考文科·Ｔ19）（本題滿分14分） 已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)且成等比數(shù)列。 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）對(duì)，試比較與的大?。? 【思路點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、求和公式、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，代入公式即可求解，要注意待定系數(shù)法與分類討論思想的應(yīng)用。 【精講精析】（Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d,

21、由 得。從而 因?yàn)?所以 故通項(xiàng)公式 （Ⅱ）解：記因?yàn)椋? 所以，當(dāng)＞0時(shí)，；當(dāng)＜0時(shí)，． 21.（2020.天津高考理科.T20）已知數(shù)列與滿足：， ，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設(shè)，證明：是等比數(shù)列； （III）設(shè)，證明： 【思路點(diǎn)撥】 （1）的通項(xiàng)公式是常數(shù)，對(duì)n取值代入求值； （2） 由的關(guān)系式，構(gòu)造是常數(shù)； （3） 由（2）求出的通項(xiàng)，得到的通項(xiàng)公式，再求和、放縮證明。 【精講精析】 （I）【解析】由 ，可得，又 （II）證明：對(duì)任意 ① ② ③ ②—③，得 ④ 將④代入①，可得 即 又 因此是等比數(shù)列. （III）證明：由（II）可得. 于是，對(duì)任意，有 將以上各式相加，得 即， 此式當(dāng)k=1時(shí)也成立.由④式得 從而 所以，對(duì)任意， 對(duì)于n=1，不等式顯然成立. 所以，對(duì)任意