2020高考數(shù)學(xué) 專(zhuān)題練習(xí) 二十一 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式、解析幾何、數(shù)列型解答題 文

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1、高考專(zhuān)題訓(xùn)練二十一  函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式、解析幾何、數(shù)列型解答題 班級(jí)_______ 姓名_______ 時(shí)間:45分鐘 分值:80分 總得分_______ 1.(2020·湖北卷)提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車(chē)流速度v(單位:千米/小時(shí))是車(chē)流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí),造成堵塞,此時(shí)車(chē)流速度為0;當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí),車(chē)流速度為60千米/小時(shí).研究表明:當(dāng)20≤x≤200時(shí),車(chē)流速度v是車(chē)流密度x的一次函數(shù). (1)當(dāng)0≤x≤200時(shí),求函數(shù)v(x)的表達(dá)式; (2)當(dāng)車(chē)流密度x為多

2、大時(shí),車(chē)流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù),單位:輛/小時(shí))f(x)=x·v(x)可以達(dá)到最大,并求出最大值.(精確到1輛/小時(shí)) 分析:本小題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 解:(1)由題意:當(dāng)0≤x≤20時(shí),v(x)=60;當(dāng)20≤x≤200時(shí),設(shè)v(x)=ax+b, 再由已知得解得 故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)= (2)依題意并由(1)可得 f(x)= 當(dāng)0≤x≤20時(shí),f(x)為增函數(shù),故當(dāng)x=20時(shí),其最大值為60×20=1200; 當(dāng)20≤x≤200時(shí),f(x)=x(200-x)≤ 2=, 當(dāng)且僅當(dāng)x=200-x

3、,即x=100時(shí),等號(hào)成立. 所以,當(dāng)x=100時(shí),f(x)在區(qū)間[20,200]上取得最大值. 綜上,當(dāng)x=100時(shí),f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3333, 即當(dāng)車(chē)流密度為100輛/千米時(shí),車(chē)流量可以達(dá)到最大,最大值約為3333輛/小時(shí). 2.(2020·廣東卷)設(shè)b>0,數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=b,an=(n≥2). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,2an≤bn+1+1. 分析:通過(guò)變形轉(zhuǎn)化,構(gòu)造基本數(shù)列(等差數(shù)列、等比數(shù)列)是求解遞推數(shù)列通項(xiàng)的常用思路,而對(duì)于不等式的證明,可運(yùn)用分析法,將其變形再給予證明.(1)由an=聯(lián)想到取倒

4、數(shù)得=+·,令cn=,有cn=+cn-1,當(dāng)b=1時(shí),{cn}為等差數(shù)列,當(dāng)b≠1時(shí),設(shè)cn+k=(cn-1+k),展開(kāi)對(duì)比得k=,構(gòu)造等比數(shù)列,求得cn后再求an;(2)當(dāng)b=1時(shí),易驗(yàn)證,當(dāng)b≠1時(shí),先用分析法將2an≤bn+1+1轉(zhuǎn)化為≤bn+1+1,利用公式an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+…+bn-1),再轉(zhuǎn)化為2nbn≤(bn+1+1)(1+b+b2+…+bn-1),然后將右邊乘開(kāi),再利用基本不等式即可得證. 解:(1)∵a1=b>0,an=,∴=+·, 令cn=,則cn=+cn-1, ①當(dāng)b=1時(shí),cn=1+cn-1,且c1===1, ∴{cn}是首項(xiàng)為1,公

5、差為1的等差數(shù)列, ∴cn=1+(n-1)×1=n,于是cn==n,這時(shí)an=1; ②當(dāng)b≠1時(shí),cn+=,且c1+=+=, 是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列, ∴cn+=·n-1,由+=得an=, (2)證明:由(1)得,當(dāng)b=1時(shí),an=1,2an≤bn+1+1?2≤2成立, 當(dāng)b≠1時(shí),an=,2an≤bn+1+1?≤bn+1+1, 而1-bn=(1-b)(1+b+b2+…+bn-1), 又b>0, 故只需證:2nbn≤(bn+1+1)(1+b+b2+…+bn-1),(※) 而(bn+1+1)(1+b+b2+…+bn-2+bn-1)=(b2n+b2n-1+…+bn+1

6、)+(bn-1+bn-2+…+b+1)=(b2n+1)+(b2n-1+b)+…+(bn+1+bn-1)≥2bn+2bn+…+2bn=2nbn. ∴(※)式成立,原不等式成立. 3.(2020·重慶卷)設(shè)f(x)=2x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)為f′(x),若函數(shù)y=f′(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-對(duì)稱(chēng),且f′(1)=0. (1)求實(shí)數(shù)a,b的值; (2)求函數(shù)f(x)的極值. 分析:本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的求法、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)討論函數(shù)的極值等問(wèn)題.在具體處理過(guò)程中,先求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)明確其增減性,進(jìn)而明確極值情況. 解:(1)因f(x)=2x3+

7、ax2+bx+1,故f′(x)=6x2+2ax+b. 從而f′(x)=62+b-,即y=f′(x)關(guān)于直線(xiàn)x=-對(duì)稱(chēng),從而由題設(shè)條件知-=-,解得a=3. 又由于f′(1)=0,即6+2a+b=0,解得b=-12. (2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1, f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2). 令f′(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0,解得x1=-2,x2=1. 當(dāng)x∈(-∞,-2)時(shí),f′(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)上為增函數(shù); 當(dāng)x∈(-2,1)時(shí),f′(x)<0,故f(x)在(-2,1)上為減函數(shù); 當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),

8、f′(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上為增函數(shù). 從而函數(shù)f(x)在x1=-2處取得極大值f(-2)=21,在x2=1處取得極小值f(1)=-6. 4.(2020·四川卷)過(guò)點(diǎn)C(0,1)的橢圓+=1(a>b>0)的離心率為.橢圓與x軸交于兩點(diǎn)A(a,0)、B(-a,0).過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)l與橢圓交于另一點(diǎn)D,并與x軸交于點(diǎn)P.直線(xiàn)AC與直線(xiàn)BD交于點(diǎn)Q. (1)當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)橢圓右焦點(diǎn)時(shí),求線(xiàn)段CD的長(zhǎng); (2)當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí),求證:·為定值. 分析:本小題考查直線(xiàn)、橢圓、平面向量基本概念,考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系,考查解析幾何中的常見(jiàn)思想方法,考查學(xué)生細(xì)致的運(yùn)算能力及綜合運(yùn)

9、用知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力.屬于較難題. 解:(1)由已知得b=1,e==,解得a=2,所以橢圓方程為+y2=1. 橢圓的右焦點(diǎn)為(,0),此時(shí)直線(xiàn)l的方程為y=-x+1,代入橢圓方程化簡(jiǎn)得7x2-8x=0. 解得x1=0,x2=,代入直線(xiàn)l的方程得y1=1,y2=-, 所以D點(diǎn)坐標(biāo)為. 故|CD|= =. (2)證明:當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)與題意不符. 設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+1(k≠0且k≠). 代入橢圓方程化簡(jiǎn)得 (4k2+1)x2+8kx=0. 解得x1=0,x2=,代入直線(xiàn)l的方程得y1=1, y2=, 所以D點(diǎn)坐標(biāo)為. 又直線(xiàn)AC的方程為+y=1,直線(xiàn)BD的方程為y=(x+2), 聯(lián)立解得 因此Q點(diǎn)坐標(biāo)為(-4k,2k+1). 又P點(diǎn)坐標(biāo)為. 所以·=·(-4k,2k+1)=4. 故·為定值.

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