2020高考數(shù)學(xué) 專(zhuān)題練習(xí) 二十一 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式、解析幾何、數(shù)列型解答題 文

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1、高考專(zhuān)題訓(xùn)練二十一　 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式、解析幾何、數(shù)列型解答題 班級(jí)_______　姓名_______　時(shí)間：45分鐘　分值：80分　總得分_______ 1．(2020·湖北卷)提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度v(單位：千米/小時(shí))是車(chē)流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車(chē)流速度v是車(chē)流密度x的一次函數(shù)． (1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式； (2)當(dāng)車(chē)流密度x為多

2、大時(shí)，車(chē)流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時(shí)) 分析：本小題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力． 解：(1)由題意：當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v(x)＝60；當(dāng)20≤x≤200時(shí)，設(shè)v(x)＝ax＋b， 再由已知得解得 故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)＝ (2)依題意并由(1)可得 f(x)＝ 當(dāng)0≤x≤20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時(shí)，其最大值為60×20＝1200； 當(dāng)20≤x≤200時(shí)，f(x)＝x(200－x)≤ 2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝200－x

3、，即x＝100時(shí)，等號(hào)成立． 所以，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間[20,200]上取得最大值. 綜上，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3333， 即當(dāng)車(chē)流密度為100輛/千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí)． 2．(2020·廣東卷)設(shè)b>0，數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝b，an＝(n≥2)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)證明：對(duì)于一切正整數(shù)n,2an≤bn＋1＋1. 分析：通過(guò)變形轉(zhuǎn)化，構(gòu)造基本數(shù)列(等差數(shù)列、等比數(shù)列)是求解遞推數(shù)列通項(xiàng)的常用思路，而對(duì)于不等式的證明，可運(yùn)用分析法，將其變形再給予證明．(1)由an＝聯(lián)想到取倒

4、數(shù)得＝＋·，令cn＝，有cn＝＋cn－1，當(dāng)b＝1時(shí)，{cn}為等差數(shù)列，當(dāng)b≠1時(shí)，設(shè)cn＋k＝(cn－1＋k)，展開(kāi)對(duì)比得k＝，構(gòu)造等比數(shù)列，求得cn后再求an；(2)當(dāng)b＝1時(shí)，易驗(yàn)證，當(dāng)b≠1時(shí)，先用分析法將2an≤bn＋1＋1轉(zhuǎn)化為≤bn＋1＋1，利用公式an－bn＝(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋bn－1)，再轉(zhuǎn)化為2nbn≤(bn＋1＋1)(1＋b＋b2＋…＋bn－1)，然后將右邊乘開(kāi)，再利用基本不等式即可得證． 解：(1)∵a1＝b>0，an＝，∴＝＋·， 令cn＝，則cn＝＋cn－1， ①當(dāng)b＝1時(shí)，cn＝1＋cn－1，且c1＝＝＝1， ∴{cn}是首項(xiàng)為1，公

5、差為1的等差數(shù)列， ∴cn＝1＋(n－1)×1＝n，于是cn＝＝n，這時(shí)an＝1； ②當(dāng)b≠1時(shí)，cn＋＝，且c1＋＝＋＝， 是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， ∴cn＋＝·n－1，由＋＝得an＝， (2)證明：由(1)得，當(dāng)b＝1時(shí)，an＝1,2an≤bn＋1＋1?2≤2成立， 當(dāng)b≠1時(shí)，an＝，2an≤bn＋1＋1?≤bn＋1＋1， 而1－bn＝(1－b)(1＋b＋b2＋…＋bn－1)， 又b>0， 故只需證：2nbn≤(bn＋1＋1)(1＋b＋b2＋…＋bn－1)，(※) 而(bn＋1＋1)(1＋b＋b2＋…＋bn－2＋bn－1)＝(b2n＋b2n－1＋…＋bn＋1

6、)＋(bn－1＋bn－2＋…＋b＋1)＝(b2n＋1)＋(b2n－1＋b)＋…＋(bn＋1＋bn－1)≥2bn＋2bn＋…＋2bn＝2nbn. ∴(※)式成立，原不等式成立． 3．(2020·重慶卷)設(shè)f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，若函數(shù)y＝f′(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝－對(duì)稱(chēng)，且f′(1)＝0. (1)求實(shí)數(shù)a，b的值； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 分析：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的求法、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)討論函數(shù)的極值等問(wèn)題．在具體處理過(guò)程中，先求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)明確其增減性，進(jìn)而明確極值情況． 解：(1)因f(x)＝2x3＋

7、ax2＋bx＋1，故f′(x)＝6x2＋2ax＋b. 從而f′(x)＝62＋b－，即y＝f′(x)關(guān)于直線(xiàn)x＝－對(duì)稱(chēng)，從而由題設(shè)條件知－＝－，解得a＝3. 又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12. (2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1， f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)． 令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x1＝－2，x2＝1. 當(dāng)x∈(－∞，－2)時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上為增函數(shù)； 當(dāng)x∈(－2,1)時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(－2,1)上為減函數(shù)； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，

8、f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)． 從而函數(shù)f(x)在x1＝－2處取得極大值f(－2)＝21，在x2＝1處取得極小值f(1)＝－6. 4．(2020·四川卷)過(guò)點(diǎn)C(0,1)的橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為.橢圓與x軸交于兩點(diǎn)A(a,0)、B(－a,0)．過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)l與橢圓交于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P.直線(xiàn)AC與直線(xiàn)BD交于點(diǎn)Q. (1)當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)； (2)當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：·為定值． 分析：本小題考查直線(xiàn)、橢圓、平面向量基本概念，考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，考查解析幾何中的常見(jiàn)思想方法，考查學(xué)生細(xì)致的運(yùn)算能力及綜合運(yùn)

9、用知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力．屬于較難題． 解：(1)由已知得b＝1，e＝＝，解得a＝2，所以橢圓方程為＋y2＝1. 橢圓的右焦點(diǎn)為(，0)，此時(shí)直線(xiàn)l的方程為y＝－x＋1，代入橢圓方程化簡(jiǎn)得7x2－8x＝0. 解得x1＝0，x2＝，代入直線(xiàn)l的方程得y1＝1，y2＝－， 所以D點(diǎn)坐標(biāo)為. 故|CD|＝ ＝. (2)證明：當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)與題意不符． 設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝kx＋1(k≠0且k≠)． 代入橢圓方程化簡(jiǎn)得 (4k2＋1)x2＋8kx＝0. 解得x1＝0，x2＝，代入直線(xiàn)l的方程得y1＝1， y2＝， 所以D點(diǎn)坐標(biāo)為. 又直線(xiàn)AC的方程為＋y＝1，直線(xiàn)BD的方程為y＝(x＋2)， 聯(lián)立解得 因此Q點(diǎn)坐標(biāo)為(－4k,2k＋1)． 又P點(diǎn)坐標(biāo)為. 所以·＝·(－4k,2k＋1)＝4. 故·為定值．