2020高考數(shù)學 專題練習 二十一 函數(shù)、導數(shù)與不等式、解析幾何、數(shù)列型解答題 文

高考專題訓練二十一　 函數(shù)、導數(shù)與不等式、解析幾何、數(shù)列型解答題 班級_______　姓名_______　時間：45分鐘　分值：80分　總得分_______ 1．(2020·湖北卷)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)． (1)當0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達式； (2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時) 分析：本小題主要考查函數(shù)、最值等基礎知識，同時考查運用數(shù)學知識解決實際問題的能力． 解：(1)由題意：當0≤x≤20時，v(x)＝60；當20≤x≤200時，設v(x)＝ax＋b， 再由已知得解得 故函數(shù)v(x)的表達式為v(x)＝ (2)依題意并由(1)可得 f(x)＝ 當0≤x≤20時，f(x)為增函數(shù)，故當x＝20時，其最大值為60×20＝1200； 當20≤x≤200時，f(x)＝x(200－x)≤ 2＝， 當且僅當x＝200－x，即x＝100時，等號成立． 所以，當x＝100時，f(x)在區(qū)間[20,200]上取得最大值. 綜上，當x＝100時，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3333， 即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時． 2．(2020·廣東卷)設b>0，數(shù)列{an}滿足a1＝b，an＝(n≥2)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)證明：對于一切正整數(shù)n,2an≤bn＋1＋1. 分析：通過變形轉化，構造基本數(shù)列(等差數(shù)列、等比數(shù)列)是求解遞推數(shù)列通項的常用思路，而對于不等式的證明，可運用分析法，將其變形再給予證明．(1)由an＝聯(lián)想到取倒數(shù)得＝＋·，令cn＝，有cn＝＋cn－1，當b＝1時，{cn}為等差數(shù)列，當b≠1時，設cn＋k＝(cn－1＋k)，展開對比得k＝，構造等比數(shù)列，求得cn后再求an；(2)當b＝1時，易驗證，當b≠1時，先用分析法將2an≤bn＋1＋1轉化為≤bn＋1＋1，利用公式an－bn＝(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋bn－1)，再轉化為2nbn≤(bn＋1＋1)(1＋b＋b2＋…＋bn－1)，然后將右邊乘開，再利用基本不等式即可得證． 解：(1)∵a1＝b>0，an＝，∴＝＋·， 令cn＝，則cn＝＋cn－1， ①當b＝1時，cn＝1＋cn－1，且c1＝＝＝1， ∴{cn}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列， ∴cn＝1＋(n－1)×1＝n，于是cn＝＝n，這時an＝1； ②當b≠1時，cn＋＝，且c1＋＝＋＝， 是首項為，公比為的等比數(shù)列， ∴cn＋＝·n－1，由＋＝得an＝， (2)證明：由(1)得，當b＝1時，an＝1,2an≤bn＋1＋1?2≤2成立， 當b≠1時，an＝，2an≤bn＋1＋1?≤bn＋1＋1， 而1－bn＝(1－b)(1＋b＋b2＋…＋bn－1)， 又b>0， 故只需證：2nbn≤(bn＋1＋1)(1＋b＋b2＋…＋bn－1)，(※) 而(bn＋1＋1)(1＋b＋b2＋…＋bn－2＋bn－1)＝(b2n＋b2n－1＋…＋bn＋1)＋(bn－1＋bn－2＋…＋b＋1)＝(b2n＋1)＋(b2n－1＋b)＋…＋(bn＋1＋bn－1)≥2bn＋2bn＋…＋2bn＝2nbn. ∴(※)式成立，原不等式成立． 3．(2020·重慶卷)設f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的導數(shù)為f′(x)，若函數(shù)y＝f′(x)的圖象關于直線x＝－對稱，且f′(1)＝0. (1)求實數(shù)a，b的值； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 分析：本小題主要考查利用導數(shù)的求法、導數(shù)的幾何意義、二次函數(shù)的圖象與性質討論函數(shù)的極值等問題．在具體處理過程中，先求得函數(shù)的導數(shù)，再根據(jù)導數(shù)的符號明確其增減性，進而明確極值情況． 解：(1)因f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，故f′(x)＝6x2＋2ax＋b. 從而f′(x)＝62＋b－，即y＝f′(x)關于直線x＝－對稱，從而由題設條件知－＝－，解得a＝3. 又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12. (2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1， f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)． 令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x1＝－2，x2＝1. 當x∈(－∞，－2)時，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上為增函數(shù)； 當x∈(－2,1)時，f′(x)<0，故f(x)在(－2,1)上為減函數(shù)； 當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)． 從而函數(shù)f(x)在x1＝－2處取得極大值f(－2)＝21，在x2＝1處取得極小值f(1)＝－6. 4．(2020·四川卷)過點C(0,1)的橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為.橢圓與x軸交于兩點A(a,0)、B(－a,0)．過點C的直線l與橢圓交于另一點D，并與x軸交于點P.直線AC與直線BD交于點Q. (1)當直線l過橢圓右焦點時，求線段CD的長； (2)當點P異于點B時，求證：·為定值． 分析：本小題考查直線、橢圓、平面向量基本概念，考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查解析幾何中的常見思想方法，考查學生細致的運算能力及綜合運用知識分析和解決問題的能力．屬于較難題． 解：(1)由已知得b＝1，e＝＝，解得a＝2，所以橢圓方程為＋y2＝1. 橢圓的右焦點為(，0)，此時直線l的方程為y＝－x＋1，代入橢圓方程化簡得7x2－8x＝0. 解得x1＝0，x2＝，代入直線l的方程得y1＝1，y2＝－， 所以D點坐標為. 故|CD|＝ ＝. (2)證明：當直線l與x軸垂直時與題意不符． 設直線l的方程為y＝kx＋1(k≠0且k≠)． 代入橢圓方程化簡得 (4k2＋1)x2＋8kx＝0. 解得x1＝0，x2＝，代入直線l的方程得y1＝1， y2＝， 所以D點坐標為. 又直線AC的方程為＋y＝1，直線BD的方程為y＝(x＋2)， 聯(lián)立解得 因此Q點坐標為(－4k,2k＋1)． 又P點坐標為. 所以·＝·(－4k,2k＋1)＝4. 故·為定值．