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1、數(shù)列定義在解題中的潛在功能
高考作為一種選拔性考試，在重視基礎(chǔ)知識(shí)考查的同時(shí)，更加重視對(duì)應(yīng)用能力的考查.作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，等差（比）數(shù)列一直是高考考查時(shí)重點(diǎn)，特別是近幾年，有關(guān)數(shù)列的高考綜合題，幾乎都與等差（比）數(shù)列有關(guān).這里我們感興趣的是等差（比）數(shù)列的定義在解題中的潛在功能，即遇到數(shù)列問題，特別是證明通項(xiàng)為and 或前n項(xiàng)和首先要證明它是等差（比）數(shù)列，必要時(shí)再進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，即將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差（比）數(shù)列.
例1.設(shè)等差數(shù)列的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（ ）.
（A）130 （B）170 （C）210
2、 （D）260
解 若等差數(shù)列前m項(xiàng)、次m項(xiàng)、又次m項(xiàng)和分別為S1，S2，S3，則S1，S2，S3也成等差數(shù)列.事實(shí)上，
所以S1，S2，S3成等差數(shù)列.
因?yàn)?0，70，S3m－100成等差數(shù)列，所以30+S3m－100=140，即S3m=210.故應(yīng)選（C）.
例2.設(shè)｛an｝是等差數(shù)列，，已知，求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.
解 ∵｛an｝成等差數(shù)列，∴｛bn｝成等比數(shù)列,∴=b1b3.由b1b2b3=,得b2=.
從而有b1+b3= ,b1b3=.
∴b1,b3是方程x2－+兩根.解得或，
∴a1=－1,d=2或a1=3,d=－2.
故an=a
3、1+(n－1)d=2n－3或an=5－2n.
例3.一個(gè)數(shù)列｛an｝,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), an=5n+1;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an=2,求這個(gè)數(shù)列的前2m項(xiàng)的和.
解:∵a1,a3,a5,…，a2m－1成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，
∴S2m=
.
例4.設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系是（其中k是與n無關(guān)的常數(shù)，且k≠1）.
（1）試寫出由n,k表示的an的表達(dá)式；（2）若，求k的取值范圍.
解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，由,得
當(dāng)n≥2時(shí)，由，得
.
若k=0，則an=1(n=1)或an=0(n≥2).
若k≠0,則｛an｝是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.
（2）∵，∴＜1，解得k＜.
4、例5.已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和的公式是.
（1）求證：｛an｝是等差數(shù)列，并求出它的首項(xiàng)和公差；
（2）記，求證：對(duì)任意自然數(shù)n，都有.
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n≥2時(shí)，
=.
∴
∴｛an｝是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.
（2）只要證明｛bn｝是首項(xiàng)為,公比為－1的等比數(shù)列.
，和
∴{bn}是首項(xiàng)為，公比為－1的等比數(shù)列，∴.
例6.設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，并且對(duì)于所有自然數(shù)n,an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng).
（1）寫出數(shù)列{an}的前3項(xiàng)；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（寫出推證過程）；
（3）令，求
解 （
5、1）∵
，得＞0；，
解得：＞0)；，解得：＞0).
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，，
即，即.
.
＞0,.{an}是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，
∴.
（3），
.
例7.已知數(shù)列{an}滿足條件：＞0），且{anan－1}是公比為q(q＞0)的等比數(shù)列.設(shè).
（1）求出使不等式＞成立的q的取值范圍；
（2）求bn和，其中；
（3）設(shè)，求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值.
解： （1）＞＞0，q＞0,＜0,∴0＜q＜ .
（2）.
又是首項(xiàng)為1+r，公比為q的等比數(shù)列，.
（3）.
記，則有≤≤c21.
故{cn}的最大項(xiàng)為c21=2.25，最小項(xiàng)為c20=－4.
6、
例8.設(shè)An為數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若，則稱d為數(shù)列{an}與{bn}的公共項(xiàng).將數(shù)列{an}與{bn}的公共項(xiàng)，按它們?cè)谠瓟?shù)列中的先后順序排成一個(gè)新的數(shù)列{dn}，證明數(shù)列{dn}的通項(xiàng)是
（3）設(shè)數(shù)列{dn}中的第n項(xiàng)是數(shù)列{bn}中的第r項(xiàng)，Br為數(shù)列{bn}前r項(xiàng)的和，Dn為數(shù)列{dn}前n項(xiàng)的和，Tn=Br－Dn，求
解: （1）當(dāng)n=1時(shí)，由,得a1=3;
當(dāng)n≥2時(shí)，由,得≥2)
∴{an}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，故
（2）證{dn}是等比數(shù)列.
顯然d1=a3=27,設(shè)ai=3k是數(shù)列{bn}中的第m項(xiàng)，則.
;
不是數(shù)列{bn}中的項(xiàng).而
是數(shù)列{bn}中的第m+1項(xiàng).
,∴{dn}是首項(xiàng)為27，公比為9的等比數(shù)列.
（3）由題意，
又
.
故.
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