陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列要點(diǎn)講解素材 北師大版必修5(通用)

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1、數(shù) 列 一、高考要求 1. 理解數(shù)列的有關(guān)概念,了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法,并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前n項. 2. 理解等差(比)數(shù)列的概念,掌握等差(比)數(shù)列的通項公式與前n項和的公式. 并能運(yùn)用這些知識來解決一些實際問題. 3. 了解數(shù)學(xué)歸納法原理,掌握數(shù)學(xué)歸納法這一證題方法,掌握“歸納—猜想—證明”這一思想方法. 二、熱點(diǎn)分析 1.數(shù)列在歷年高考中都占有較重要的地位,一般情況下都是一個客觀性試題加一個解答題,分值占整個試卷的10%左右.客觀性試題主要考查等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式、極限的四則運(yùn)算法則、無窮遞縮等比數(shù)列所有項和等內(nèi)容,對基本的計算

2、技能要求比較高,解答題大多以考查數(shù)列內(nèi)容為主,并涉及到函數(shù)、方程、不等式知識的綜合性試題,在解題過程中通常用到等價轉(zhuǎn)化,分類討論等數(shù)學(xué)思想方法,是屬于中高檔難度的題目. 2.有關(guān)數(shù)列題的命題趨勢 ?。?)數(shù)列是特殊的函數(shù),而不等式則是深刻認(rèn)識函數(shù)和數(shù)列的重要工具,三者的綜合求解題是對基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗,而三者的求證題所顯現(xiàn)出的代數(shù)推理是近年來高考命題的新熱點(diǎn)  (2)數(shù)列推理題是新出現(xiàn)的命題熱點(diǎn).以往高考常使用主體幾何題來考查邏輯推理能力,近兩年在數(shù)列題中也加強(qiáng)了推理能力的考查。(3)加強(qiáng)了數(shù)列與極限的綜合考查題   3.熟練掌握、靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)。等差、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)在

3、解決數(shù)列問題時應(yīng)用非常廣泛,且十分靈活,主動發(fā)現(xiàn)題目中隱含的相關(guān)性質(zhì),往往使運(yùn)算簡潔優(yōu)美.如,可以利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化:從而有,即. 4.對客觀題,應(yīng)注意尋求簡捷方法  解答歷年有關(guān)數(shù)列的客觀題,就會發(fā)現(xiàn),除了常規(guī)方法外,還可以用更簡捷的方法求解.現(xiàn)介紹如下: ?、俳柚厥鈹?shù)列.  ②靈活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì),可更加準(zhǔn)確、快速地解題,這種思路在解客觀題時表現(xiàn)得更為突出,很多數(shù)列客觀題都有靈活、簡捷的解法   5.在數(shù)列的學(xué)習(xí)中加強(qiáng)能力訓(xùn)練 數(shù)列問題對能力要求較高,特別是運(yùn)算能力、歸納猜想能力、轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力更為突出.一般來說,考題中選擇、填空題解法靈活多變,而解答

4、題更是考查能力的集中體現(xiàn),尤其近幾年高考加強(qiáng)了數(shù)列推理能力的考查,應(yīng)引起我們足夠的重視.因此,在平時要加強(qiáng)對能力的培養(yǎng)。 6.這幾年的高考通過選擇題,填空題來著重對三基進(jìn)行考查,涉及到的知識主要有:等差(比)數(shù)列的性質(zhì). 通過解答題著重對觀察、歸納、抽象等解決問題的基本方法進(jìn)行考查,其中涉及到方程、不等式、函數(shù)思想方法的應(yīng)用等,綜合性比較強(qiáng),但難度略有下降. 三、復(fù)習(xí)建議 1. 對基礎(chǔ)知識要落實到位,主要是等差(比)數(shù)列的定義、通項、前n項和. 2. 注意等差(比)數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用. 3. 掌握一些遞推問題的解法和幾類典型數(shù)列前n項和的求和方法. 4. 注意滲透三種數(shù)學(xué)思想:函數(shù)

5、與方程的思想、化歸轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想. 5. 注意數(shù)列知識在實際問題中的應(yīng)用,特別是在利率,分期付款等問題中的應(yīng)用. 6. 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,也是高考考查的重點(diǎn)。而且往往還以解答題的形式出現(xiàn),所以我們在復(fù)習(xí)時應(yīng)給予重視。近幾年的高考數(shù)列試題不僅考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法,而且有效地考查了學(xué)生的各種能力。 四、典型例題 【例1】 已知由正數(shù)組成的等比數(shù)列,若前項之和等于它前項中的偶數(shù)項之和的11倍,第3項與第4項之和為第2項與第4項之積的11倍,求數(shù)列的通項公式. 解:∵q=1時, 又顯然,q≠1 ∴ 依題意;解之 又

6、, 依題意,將代入得 【例2】 等差數(shù)列{an }中,=30,=15,求使an≤0的最小自然數(shù)n。 解:設(shè)公差為d,則或或或 解得:T a33 = 30 與已知矛盾 或T a33 = - 15 與已知矛盾 或Ta33 = 15 或 T a33 = - 30 與已知矛盾 ∴an = 31+(n - 1) () T 31 0 T n≥63 ∴滿足條件的最小自然數(shù)為63。 【例3】 設(shè)等差數(shù)列{a}的前n項和為S,已知S4=44,S7=35 (1)求數(shù)列{a}的通項公式與前n項和公式; (2)求數(shù)列的前n項和Tn。 解:(1)設(shè)數(shù)列的公差為d,由已知S4

7、=44,S7=35可得a1=17,d=-4 ∴a=-4n+21 (n∈N),S=-2n+19 (n∈N). (2)由a=-4n+21≥0 得n≤, 故當(dāng)n≤5時,a≥0, 當(dāng)n≥6時, 當(dāng)n≤5時,T=S=-2n+19n 當(dāng)n≥6時,T=2S5-S=2n-19n+90. 【例4】 已知等差數(shù)列的第2項是8,前10項和是185,從數(shù)列中依次取出第2項,第4項,第8項,……,第項,依次排列一個新數(shù)列,求數(shù)列的通項公式及前n項和公式。 解:由 得 ∴ ∴ 【例5】 已知數(shù)列1,1,2……它的各項由一個等比數(shù)列與一個首項為0的等差數(shù)列的對應(yīng)項相加而得到。求該數(shù)列的前n項和Sn

8、; 解:(1)記數(shù)列1,1,2……為{An},其中等比數(shù)列為{an},公比為q; 等差數(shù)列為{bn},公差為d,則An =an +bn (n∈N) 依題意,b1 =0,∴A1 =a1 +b1 =a1 =1 ① A=a+b=aq+b+d=1 ② A=a+b=aq2 +b+2d=2 ③ 由①②③得d=-1, q=2, ∴ ∴ 【例6】 已知數(shù)列滿足an+Sn=n,(1)求a1,a2,a3,由此猜想通項an,并加以證明。 解法1:由an+Sn=n, 當(dāng)n=1時,a1=S1,\a1+a1=1,得a1= 當(dāng)n=2時,a1+a2=S2,由a2+S2=2,得a1+2a2=

9、2,\a2= 當(dāng)n=3時,a1+a2+a3=S3,由a3+S3=3,得a1+a2+2a3=3\a3= 猜想,(1)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立。 當(dāng)n=1時,a1=1-,(1)式成立 假設(shè),當(dāng)n=k時,(1)式成立,即ak=1-成立, 則當(dāng)n=k+1時,ak+1+Sk+1=k+1,Sk+1=Sk+ak+1 \2ak+1=k+1-Sk 又ak=k+Sk \2ak+1=1+ak \ak+1= 即當(dāng)n=k+1時,猜想(1)也成立。 所以對于任意自然數(shù)n,都成立。 解法2:由an+Sn=n得,兩式相減得:, 即,即,下略

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