陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 用函數(shù)觀點(diǎn)看數(shù)列問題拓展資料素材 北師大版必修5（通用）

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1、用函數(shù)觀點(diǎn)看數(shù)列問題 　　新教材將數(shù)列安排在函數(shù)之后學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)了數(shù)列與函數(shù)知識(shí)的密切聯(lián)系．從函數(shù)的觀點(diǎn)出發(fā)，變動(dòng)地、直觀地研究數(shù)列的一些問題，一方面有利于認(rèn)識(shí)數(shù)列的本質(zhì)，另一方面有利于加深對(duì)函數(shù)概念的理解．本文擬用函數(shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)一些數(shù)列問題． 　　 1 數(shù)列的本質(zhì) 　　數(shù)列可看作一個(gè)定義域?yàn)镹*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函數(shù)，用圖象表示是一群孤立的點(diǎn)．例如，對(duì)于公差不為零的等差數(shù)列{an}來說，它的通項(xiàng)是關(guān)于n的一次函數(shù)，從圖象上看，表示這個(gè)數(shù)列各點(diǎn)均勻地分布在一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的圖象上；它的前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的無常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，因此Sn/n也是關(guān)于n的

2、一次函數(shù)． 式是________． 　　 　　考慮到an是關(guān)于n的一次函數(shù)，故pn＋q與(n－1)或(2n－1)是同類因式． 　　由待定系數(shù)法知： 　　 p＋q=0(舍去)或p＋2q=0． 　　 例2 等差數(shù)列{an}中，ap=q，aq=p(p≠q)求ap+q． 　　 解 由于等差數(shù)列的通項(xiàng)an是關(guān)于n的一次函數(shù)，故三點(diǎn)(p，q)，(q，p)，(p＋q，ap＋q)共線． 　　 　　 解 由題設(shè)知：公差a≠0． 　　 　　 　　 　　 　　 例4 已知｛an｝是等差數(shù)列． 　　 (1)2a5=a3＋a7是否成立？2a5=a1＋a9是否成立？ 　　 (2)2

3、an=an-2＋an+2(n＞2)是否成立？2an=an-k＋an+k(n＞k＞0)是否成立？ 　　 (新教材第一冊(cè)(上)第119頁(yè)習(xí)題10) 　　 解 表示數(shù)列{an}的各點(diǎn)，均勻地分布在一條直線上．不妨設(shè)公差d＞0． 　　 (1)如圖1，畫出點(diǎn)(3，a3)，(5，a5)，(7，a7)． 　　由中位線定理得 2a5=a3＋a7． 　　如圖2，畫出點(diǎn)(1，a1)，(5，a5)，(9，a9)． 　　作輔助線AC，同樣有2a5=a1＋a9．故(1)中兩式全成立． 　　 (2)畫出圖3，圖4． 　　類似(1)，有2an=an-2＋an+2(n＞2)，2an=an-k＋an+k(n

4、＞k＞0)．故(2)中兩式全成立． 　　 說明 在例4中運(yùn)用圖象直觀地刻劃了等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，同樣還可直觀地刻劃等差數(shù)列的其它性質(zhì)，如 　　 (i)an=am＋(n－m)d (m，n，∈N*)； 　　 (ii)若m＋n=p＋q，則am＋an=ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． 　　 2 數(shù)列的單調(diào)性 　　在數(shù)列｛an｝中，如果an＜an+1對(duì)n∈N*都成立，那么稱{an}是單調(diào)遞增數(shù)列；如果an＞an+1對(duì)n∈N*都成立，那么稱{an}是單調(diào)遞減數(shù)列．?dāng)?shù)列的單調(diào)性可以用函數(shù)的單調(diào)性來刻劃．例如，公差不為零的等差數(shù)列的單調(diào)性與一次函數(shù)的單調(diào)性相同；公比大于零且不等于1的等比數(shù)列

5、的單調(diào)性與指數(shù)型函數(shù)y=kax(a＞0且a≠1)的單調(diào)性相同． 　　 例5 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n2－10n＋10．這個(gè)數(shù)列從第幾項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值逐漸增大？從第幾項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值均為正值？數(shù)列中是否還存在數(shù)值與首項(xiàng)相同的項(xiàng)？ 　　 解 表示數(shù)列{an}的各點(diǎn)都在函數(shù)y=x2－10x＋10的圖象上． 　　由圖5可得，這個(gè)數(shù)列從第5項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值逐漸增大，從第9項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值均為正值，第9項(xiàng)是與首項(xiàng)相同的項(xiàng)． 　　 說明 以函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)、理解數(shù)列，才能自覺地用函數(shù)的單調(diào)性去研究數(shù)列的單調(diào)性． 　　 　　 　　∴數(shù)列{an}為遞減數(shù)列， 　　∴數(shù)列｛an｝中的最大項(xiàng)為

6、 　　 　　即 log(a－1)a－2loga(a－1)＞1成立． 　　解此不等式可得 　　 　　 3 數(shù)列的最值 　　運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)求數(shù)列的最值，可以更深刻地認(rèn)識(shí)數(shù)列的本質(zhì)，同時(shí)又能深化對(duì)函數(shù)概念的理解． 　　 例7 若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=－n2＋7n(n∈N*)，求an的最大值，并與函數(shù)y=－x2＋7x(x∈R)的最大值作比較． 　　 解 作出函數(shù)y=－x2＋7x(x∈R)的圖象． 　　從圖象上看，表示數(shù)列{an}的各點(diǎn)都在拋物線y=－x2＋7x(x∈R)上，由圖象得 　　 　　 說明 經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}與函數(shù)y=－x2＋7x(x∈R)在不同的地方取到不同的最大值，這是由于兩者的定義域不同所造成的． 　　 例8 等差數(shù)列｛an｝前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＞0，S9=S16，問n為何值時(shí)，Sn最大？ 　　 解 由題意知：{an}是單調(diào)遞減數(shù)列，故點(diǎn)(n，Sn)在開口向下的拋物線上，又點(diǎn) 　　 　　∴當(dāng)n=12或n=13時(shí)，Sn最大． 　　函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，它象一根主線貫穿于高中數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié)中．新教材在數(shù)列這一章中大量滲透了函數(shù)思想，這正是新教材“新”之所在，它不僅有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)列的本質(zhì)，而且也使學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解逐步升華．