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1、等比數(shù)列的通項與求和
一、知識導學
1. 等比數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第２項起，每一項與它的前一項的比都等于 同 一 個 常 數(shù)，那 么 這 個 數(shù) 列 就 叫 做 等 比 數(shù) 列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母ｑ表示．
2. 等比中項：若ａ，Ｇ，ｂ成等比數(shù)列，則稱Ｇ 為ａ 和ｂ 的等比中項．
3.等比數(shù)列的前n項和公式：
二、疑難知識導析
1.由于等比數(shù)列的每一項都可能作分母，故每一項均不為0，因此q也不為0.
2.對于公比q，要注意它是每一項與它前一項的比，防止把相鄰兩項的比的次序顛倒.
3.“從第2項起”是因為首項沒有“前一項”，同時應注意如果一個數(shù)列不
2、是從第2項起，而是從第3項或第4項起每一項與它前一項的比都是同一個常數(shù)，此數(shù)列不是等比數(shù)列，這時可以說此數(shù)列從. 第2項或第3項起是一個等比數(shù)列.
4.在已知等比數(shù)列的a1和q的前提下，利用通項公式an=a1qn-1,可求出等比數(shù)列中的任一項.
5.在已知等比數(shù)列中任意兩項的前提下，使用an=amqn-m可求等比數(shù)列中任意一項.
6.等比數(shù)列｛an｝的通項公式an=a1qn-1可改寫為.當q>0，且q1時，y=qx是一個指數(shù)函數(shù)，而是一個不為0 的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此等比數(shù)列｛an｝的圖象是函數(shù)的圖象上的一群孤立的點.
7．在解決等比數(shù)列問題時，如已知，a1，an，d，，n中任意三
3、個，可求其余兩個。
三、經(jīng)典例題導講
[例1] 已知數(shù)列的前n項之和Sn=aqn（為非零常數(shù)），則為（?。?。
A.等差數(shù)列
B.等比數(shù)列
C.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列
D.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列
錯解：
（常數(shù)）
為等比數(shù)列，即B。
錯因：忽略了中隱含條件n＞1.
正解：當n＝1時，a1=S1＝aq;
當n>1時，
（常數(shù)）
但
既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，選C。
[例2] 已知等比數(shù)列的前n項和記為Sn，S10=10 ，S30=70，則S40等于.
錯解：S30= S10·q 2. q 2＝7，q＝， S40= S30·q =.
4、
錯因：是將等比數(shù)列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等比數(shù)列誤解為Sm, S2m, S3m成等比數(shù)列.
正解：由題意：得，
S40=.
[例3] 求和：a+a2+a3+…+an.
錯解： a+a2+a3+…+an＝.
錯因：是（1）數(shù)列｛an｝不一定是等比數(shù)列，不能直接套用等比數(shù)列前n項和公式（2）用等比數(shù)列前n項和公式應討論q是否等于1.
正解：當a＝0時，a+a2+a3+…+an＝0;
當a＝1時，a+a2+a3+…+an＝n;
當a1時， a+a2+a3+…+an＝.
[例4]設均為非零實數(shù)，，
求證：成等比數(shù)列且公比為。
證明：
5、證法一：關于的二次方程有實根，
∴，∴
則必有：，即，∴非零實數(shù)成等比數(shù)列
設公比為，則，代入
∵，即，即。
證法二：∵
∴
∴，∴，且
∵非零，∴。
[例5]在等比數(shù)列中，，求該數(shù)列前7項之積。
解：
∵，∴前七項之積
[例6]求數(shù)列前n項和
解： ①
②
兩式相減：
[例7]從盛有質(zhì)量分數(shù)為20%的鹽水2kg的容器中倒出1kg鹽水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg鹽水，然后再加入1kg水，
問：(1)第5次倒出的的1kg鹽水中含鹽多kg？
6、 (2)經(jīng)6次倒出后，一共倒出多少kg鹽？此時加1kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分數(shù)為多少？
解：(1)每次倒出的鹽的質(zhì)量所成的數(shù)列為{an}，則：
a1= 0.2 （kg）, a2=×0.2（kg）, a3= ()2×0.2（kg）
由此可見：an= ()n-1×0.2（kg）, a5= ()5-1×0.2= ()4×0.2=0.0125（kg）。
(2)由(1)得{an}是等比數(shù)列 a1=0.2 , q=
答：第5次倒出的的1kg鹽水中含鹽0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg鹽，此時加1kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的
7、質(zhì)量分數(shù)為0.003125。
四、典型習題導練
1.求下列各等比數(shù)列的通項公式：
1) a1=-2, a3=-8
2) a1=5, 且2an+1=-3an
3) a1=5, 且
2.在等比數(shù)列，已知，，求.
3.已知無窮數(shù)列，
求證：（1）這個數(shù)列成等比數(shù)列
（2）這個數(shù)列中的任一項是它后面第五項的，
（3）這個數(shù)列的任意兩項的積仍在這個數(shù)列中。
4.設數(shù)列為求此數(shù)列前項的和。
5.已知數(shù)列{an}中，a1=-2且an+1=Sn，求an ,Sn
6.是否存在數(shù)列{an}，其前項和Sn組成的數(shù)列{Sn}也是等比數(shù)列，且公比相同？
7.在等比數(shù)列中，，求的范圍。
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