陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第二章 三角形中的有關(guān)問題典例例題素材 北師大版必修5(通用)

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1、解三角形 三角形中的有關(guān)問題 1.正弦定理: 利用正弦定理,可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題: ⑴ 已知兩角和一邊,求其他兩邊和一角; ⑵ 已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角,從而進(jìn)一步求出其他的邊和角. 2.余弦定理: 利用余弦定理,可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題. ⑴ 已知三邊,求三角; ⑵ 已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其它兩個(gè)角. 3.三角形的面積公式: 典型例題 例1. 在△ABC中,已知a=,b=,B=45°,求角A、C及邊c. 解

2、 A1=60° C1=75° c1= A2=120° C2=15° c2= 變式訓(xùn)練1:(1)的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若a、b、c成等比數(shù)列,且,則 ( ) A. B. C. D. 解:B 提示:利用余弦定理 (2)在△ABC中,由已知條件解三角形,其中有兩解的是 ( ) A. B. C. D. 解:C 提示:在斜三角形中,用正弦定理求角時(shí),若已知小角求大角,則有兩解;若已知大角求小角,則只有一解 (3)在△ABC中,已知,,則的值為( )

3、 A B C 或 D 解:A 提示:在△ABC中,由 知角B為銳角 (4)若鈍角三角形三邊長為、、,則的取值范圍是 . 解: 提示:由可得 (5)在△ABC中,= . 解:提示:由面積公式可求得,由余弦定理可求得 例2. 在△ABC中,若 sinA=2sinB cos C, sin2A=sin2B+sin2C,試判斷△ABC的形狀. 解:sinA=2sinBcosC sin(B+C)=2sinBcosC sin(B-C)=0B=C sin2A=sin2B+sin2Ca2=b2+c2 ∠A=9

4、0° ∴ △ABC是等腰直角三角形。 變式訓(xùn)練2:在△ABC中,sinA=,判斷這個(gè)三角形的形狀. 解:應(yīng)用正弦定理、余弦定理,可得 a=,所以b(a2-b2)+c(a2-c2)=bc(b+c).所以(b+c)a2=(b3+c3)+bc(b+c).所以a2=b2-bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形. 例3. 已知在△ABC中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角A、B、C. 解:由sinA(sinB+cosB)-sinC=0,得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0, 所以sinB(sin

5、A-cosA)=0 ∵B∈(0, π), ∴sinB≠0, ∴cosA=sinA,由A∈(0, π),知A=從而B+C=,由sinB+cos2C=0得sinB+cos2(-B)=0 cos=(-2B)=cos[2π-(+2B)]=cos(+2B)=-sin2B 得sinB-sin2B=0,亦即sinB-2sinBcosB=0,由此各cosB=,B=,C= ∴A= B= C= 變式訓(xùn)練3:已知△ABC中,2(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,△ABC外接圓半徑為. (1)求∠C; (2)求△ABC面積的最大值. 解:(1)由2(sin2A-sin2C)=(a-b

6、)·sinB得 2(-)=(a-b). 又∵R=,∴a2-c2=ab-b2.∴a2+b2-c2=ab.∴cosC==. 又∵0°<C<180°,∴C=60°. (2)S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin(120°-A) =2sinA(sin120°cosA-cos120°sinA)=3sinAcosA+sin2A =sin2A-cos2A+=sin(2A-30°)+. ∴當(dāng)2A=120°,即A=60°時(shí),Smax=. 例4. 如圖,已知△ABC是邊長為1的正三角形,M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn),線段MN經(jīng)過△ABC的中心G.設(shè)∠MGA=(). (1)試將△AGM、△AGN的面積(分別記為S1與S2)表示為的函數(shù); (2)求y=的最大值與最小值. 解 (1) AG=,∠ 由正弦定理得, A N C B D M G ( , (2) ∵∴當(dāng) 當(dāng) 變式訓(xùn)練4:在在△ABC中,所對的邊分別為,,且 (1)求的值; (2)若,求的最大值; 解:(1)因?yàn)椋? (2) 又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), ,故的最大值是

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