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高考大題專項(xiàng)練二 高考中的三角函數(shù)與解三角形
一、非選擇題
1.在平面四邊形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
(1)求cos∠ADB;
(2)若DC=22,求BC.
解:(1)在△ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsin∠ADB.
由題設(shè)知,5sin45°=2sin∠ADB,
所以sin∠ADB=25.
由題設(shè)知,∠ADB<90°,
所以cos∠ADB=1-225=235.
(2)由題設(shè)及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=25.
在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×22×25=25.
所以BC=5.
2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知b+c=2acos B.
(1)證明:A=2B;
(2)若cos B=23,求cos C的值.
答案:(1)證明由正弦定理,得sinB+sinC=2sinAcosB,
故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,
于是sinB=sin(A-B).
又A,B∈(0,π),故0
1(舍);
當(dāng)c=23a時(shí),cos∠ABC=712.
綜上所述,cos∠ABC=712.
6.已知函數(shù)f(x)=cos2x-π3+2sinx-π4sinx+π4.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間-π12,π2上的值域.
解:(1)∵f(x)=cos2x-π3+2sinx-π4sinx+π4
=12cos2x+32sin2x+(sinx-cosx)·(sinx+cosx)
=12cos2x+32sin2x+sin2x-cos2x
=12cos2x+32sin2x-cos2x
=sin2x-π6,
∴周期T=2π2=π.
由2x-π6=kπ+π2(k∈Z),得x=kπ2+π3(k∈Z).
故函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x=kπ2+π3(k∈Z).
(2)∵x∈-π12,π2,∴2x-π6∈-π3,5π6.
∴當(dāng)2x-π6=π2,即x=π3時(shí),f(x)取最大值1;
當(dāng)2x-π6=-π3,即x=-π12時(shí),f(x)取最小值-32.
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間-π12,π2上的值域?yàn)?32,1.
7.在銳角三角形ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知2bsin A-3a=0.
(1)求角B的大小;
(2)求cos A+cos B+cos C的取值范圍.
解:(1)由正弦定理,得2sinBsinA=3sinA,
故sinB=32,由題意,得B=π3.
(2)由A+B+C=π,得C=2π3-A,
由△ABC是銳角三角形,得A∈π6,π2.
由cosC=cos2π3-A=-12cosA+32sinA,得
cosA+cosB+cosC=32sinA+12cosA+12=sinA+π6+12∈3+12,32.
故cosA+cosB+cosC的取值范圍是3+12,32.
8.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,點(diǎn)D為斜邊BC上一點(diǎn),且AC=CD=2.
(1)若CD=2BD,求AD的長;
(2)若AD=2BD,求角B的正弦值.
解:(1)∵CD=2,CD=2BD,
∴BD=1,∴BC=3BD=3.
則在Rt△ABC中,cosC=ACBC=23.
在△ACD中,由余弦定理,得AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cosC=4+4-8×23=83.
∴AD=263.
(2)在△ACD中,由余弦定理可得,
AD2=AC2+CD2-2·AC·CD·cosC=8-8cosC.
在Rt△ABC中,BC=ACcosC=2cosC.
故BD=BC-CD=2cosC-2=2-2cosCcosC.
∵AD=2BD,∴AD2=2BD2.
∴8-8cosC=2·(2-2cosC)2cos2C.
∵1-cosC≠0,∴1=1-cosCcos2C,
即cos2C+cosC-1=0.
又cosC>0,∴cosC=5-12.
又B+C=π2,∴sinB=5-12.
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