(廣東專用)2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第五章第五節(jié) 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練 理

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1、課時(shí)知能訓(xùn)練 一、選擇題 1.已知實(shí)數(shù)等比數(shù)列{an}中,Sn是它的前n項(xiàng)和,若a2·a3=2a1,且a4與2a7的等差中項(xiàng)為,則S5等于(  ) A.35     B.33     C.31     D.29 【解析】 設(shè)等比數(shù)列的公比為q, 則由a2·a3=2a1得aq3=2a1, ∴a1q3=2,又a4與2a7的等差中項(xiàng)為,∴a4+2a7=, ∴a1q3+2a1q6=, 由得 ∴S5==31. 【答案】 C 2.某人為了觀看2020年南非足球世界杯,從2020年起,每年的5月1日到銀行存入a元的定期儲蓄,若年利率為p且保持不變,并約定每年到期,存款的本息均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新

2、的一年的定期,到2020年的5月1日將所有存款及利息全部取出,則可取出錢(元)的總數(shù)為(  ) A.a(chǎn)(1+p)4 B.a(chǎn)(1+p)5 C.[(1+p)4-(1+p)] D.[(1+p)5-(1+p)] 【解析】 依題意,可取出錢的總數(shù)為 a(1+p)4+a(1+p)3+a(1+p)2+a(1+p) =a·=[(1+p)5-(1+p)]. 【答案】 D 3.(2020·中山質(zhì)檢)已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an},滿足2a3-a+2a11=0,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且b7=a7,則b6b8=(  ) A.2 B.4 C.8 D.16 【解析】 ∵數(shù)列

3、{an}是等差數(shù)列, ∴a3+a11=2a7, 由2a3-a+2a11=0得4a7-a=0, 又an≠0,∴a7=4, ∴b6b8=b=42=16. 【答案】 D 4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=log2(n∈N*),設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn,則使Sn<-5成立的自然數(shù)n(  ) A.有最小值63 B.有最大值63 C.有最小值31 D.有最大值31 【解析】 ∵an=log2=log2(n+1)-log2(n+2), ∴Sn=a1+a2+…+an =log22-log23+log23-log24+…+log2(n+1)-log2(n+2)=1-log

4、2(n+2), 由Sn<-5得log2(n+2)>6,即n+2>64, ∴n>62,∴n有最小值63. 【答案】 A 5.(2020·清遠(yuǎn)調(diào)研)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比q≠1,a2,a3,a1成等差數(shù)列,則=(  ) A. B. C. D. 【解析】 由題意知,a3=a2+a1,∴a1q2=a1q+a1, ∴q2-q-1=0, 又q>0,∴q=, ∴====. 【答案】 B 二、填空題 6.?dāng)?shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,且a1,a3,a7為等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項(xiàng),則數(shù)列{bn}的公比為________. 【解析】 a=a

5、1·a7,即(a1+2d)2=a1·(a1+6d), ∴a1=2d, ∴等比數(shù)列{bn}的公比q===2. 【答案】 2 7.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若(n∈N*)是非零常數(shù),則稱數(shù)列{an}為“和等比數(shù)列”.若數(shù)列{2bn}是首項(xiàng)為2,公比為4的等比數(shù)列,則數(shù)列{bn}________(填“是”或“不是”)“和等比數(shù)列”. 【解析】 數(shù)列{2bn}是首項(xiàng)為2,公比為4的等比數(shù)列, 所以2bn=2·4n-1=22n-1,bn=2n-1. 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,則Tn=n2,T2n=4n2, 所以=4,因此數(shù)列{bn}是“和等比數(shù)列”. 【答案】 是 8.(

6、2020·濰坊模擬)如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差,那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”.則介于1到200之間的所有“神秘?cái)?shù)”之和為________. 【解析】 設(shè)“神秘?cái)?shù)”為x,則x=(2n+2)2-(2n)2=8n+4(n∈Z),由1≤x≤200及n∈Z知,0≤n≤24,所以所有這樣的“神秘?cái)?shù)”之和為=2 500. 【答案】 2 500 三、解答題 9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且3an+1+2Sn=3(n為正整數(shù)). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)記S=,若對任意正整數(shù)n,kS<Sn恒成立,求實(shí)數(shù)k的最大值. 【解】 (1)∵3an+1+2S

7、n=3, ① 當(dāng)n≥2時(shí),3an+2Sn-1=3. ② 由①-②得3an+1-3an+2an=0, ∴=(n≥2), 又∵a1=1,3a2+2a1=3,解得a2=, ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列. ∴an=a1qn-1=()n-1(n∈N*). (2)由(1)知,Sn===[1-()n]. 又對?n∈N*恒有k≤[1-()n],得k≤1-()n. ∵數(shù)列{1-()n}單調(diào)遞增, ∴當(dāng)n=1時(shí),數(shù)列中的最小項(xiàng)為,∴必有k≤,即實(shí)數(shù)k的最大值為. 10.(2020·湘潭模擬)國家助學(xué)貸款是由財(cái)政貼息的信用貸款,旨在幫助高校家庭經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生支

8、付在校學(xué)習(xí)期間所需的學(xué)費(fèi)、住宿費(fèi)及生活費(fèi).每一年度申請總額不超過6 000元.某大學(xué)2020屆畢業(yè)生李霄在本科期間共申請了24 000元助學(xué)貸款,并承諾在畢業(yè)后3年內(nèi)(按36個(gè)月計(jì))全部還清. 簽約的單位提供的工資標(biāo)準(zhǔn)為第一年內(nèi)每月1 500元,第13個(gè)月開始,每月工資比前一個(gè)月增加5%直到4 000元.李霄同學(xué)計(jì)劃前12個(gè)月每個(gè)月還款額為500元,第13個(gè)月開始,每月還款額比前一月多x元. (1)若李霄恰好在第36個(gè)月(即畢業(yè)后三年)還清貸款,求x的值; (2)當(dāng)x=50時(shí),李霄同學(xué)將在第幾個(gè)月還清最后一筆貸款?他還清貸款的那一個(gè)月的工資余額是多少? (參考數(shù)據(jù):1.0518=2.4

9、06,1.0519=2.526,1.0520=2.653,1.0521=2.786) 【解】 (1)依題意,從第13個(gè)月開始,每個(gè)月的還款額為an構(gòu)成等差數(shù)列,其中a1=500+x,公差為x.從而到第36個(gè)月,李霄共還款12×500+24a1+·x. 令12×500+(500+x)×24+·x=24 000,解之得x=20(元), 據(jù)題意,驗(yàn)證可行.即要使在三年全部還清, 第13個(gè)月起每個(gè)月必須比上一個(gè)月多還20元; (2)設(shè)李霄第n個(gè)月還清,則應(yīng)有 12×500+(500+50)×(n-12)+·50≥24 000, 整理可得n2-3n-828≥0,解之得n≥>30, 取n=

10、31,即李霄工作31個(gè)月就可以還清貸款, 這個(gè)月李霄的還款額為 24 000-[12×500+(500+50)×(30-12)+·50]=450元, 第31個(gè)月李霄的工資為1 500×1.0519=1 500×2.526=3789元, 因此,李霄的剩余工資為3789-450=3339. 11.(2020·肇慶調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}滿足:an+1>an(n∈N*),a1=1,該數(shù)列的前三項(xiàng)分別加上1,1,3后順次成為等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng). (1)分別求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式an,bn. (2)設(shè)Tn=++…+(n∈N*),若Tn+-<c(c∈Z)恒成立,求c的最小

11、值. 【解】 (1)設(shè)d、q分別為數(shù)列{an}、數(shù)列{bn}的公差與公比. 由題知,a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分別加上1,1,3后得2,2+d,4+2d是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng), ∴(2+d)2=2(4+2d)?d=±2. ∵an+1>an,∴d>0. ∴d=2,∴an=2n-1(n∈N*). 由此可得b1=2,b2=4,q=2, ∴bn=2n(n∈N*). (2)Tn=++…+=+++…+, ① 當(dāng)n=1時(shí),T1=; 當(dāng)n≥2時(shí),Tn=+++…+. ② ①-②,得 Tn=+(++…+)-. ∴Tn=1+-=3-- =3-. ∴Tn+-=3-<3. ∵(3-)在N*是單調(diào)遞增的, ∴(3-)∈[2,3), ∴滿足條件Tn+-<c(c∈Z)恒成立的最小整數(shù)值為c=3. 

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