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1、桂林師范高等專科學(xué)校 14生化班六大基本初等函數(shù)圖像及其性質(zhì)1、 常值函數(shù)(也稱常數(shù)函數(shù)) y =C(其中C 為常數(shù));常數(shù)函數(shù)()yyOxOx平行于x軸的直線y軸本身定義域R定義域RxyO2、 冪函數(shù) ,是自變量,是常數(shù);1.冪函數(shù)的圖像:2.冪函數(shù)的性質(zhì);性質(zhì)函數(shù)定義域RRR0,+)x|x0值域R0,+)R0,+)y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增0,+) 增增增(0,+) 減(-,0 減(-,0) 減公共點(1,1)1)當(dāng)為正整數(shù)時,函數(shù)的定義域為區(qū)間為,他們的圖形都經(jīng)過原點,并當(dāng)1時在原點處與x軸相切。且為奇數(shù)時,圖形關(guān)于原點對稱;為偶數(shù)時圖形關(guān)于y軸對稱;2)當(dāng)為負整數(shù)時。函數(shù)的
2、定義域為除去x=0的所有實數(shù);3)當(dāng)為正有理數(shù)時,n為偶數(shù)時函數(shù)的定義域為(0, +),n為奇數(shù)時函數(shù)的定義域為(-,+),函數(shù)的圖形均經(jīng)過原點和(1 ,1);4)如果mn圖形于x軸相切,如果mn,圖形于y軸相切,且m為偶數(shù)時,還跟y軸對稱;m,n均為奇數(shù)時,跟原點對稱;5)當(dāng)為負有理數(shù)時,n為偶數(shù)時,函數(shù)的定義域為大于零的一切實數(shù);n為奇數(shù)時,定義域為去除x=0以外的一切實數(shù)。三、指數(shù)函數(shù)(是自變量,是常數(shù)且,),定義域是R ;無界函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的圖象:x O(0,1)yO(0,1)xy 2.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì);性質(zhì)函數(shù)定義域R值域(0,+)奇偶性非奇非偶公共點過點(0,1),即時,單調(diào)性在是
3、增函數(shù)在是減函數(shù)1)當(dāng)時函數(shù)為單調(diào)增,當(dāng)時函數(shù)為單調(diào)減;2)不論為何值,總是正的,圖形在軸上方;3)當(dāng)時,所以它的圖形通過(0,1)點。yO(0,1)x 3.(選,補充)指數(shù)函數(shù)值的大小比較;a.底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù),的函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱。xO(0,1)yb.1.當(dāng)時,a值越大,的圖像越靠近y軸;O(0,1)yb.2.當(dāng)時,a值越大, 的圖像越遠離y軸。4. 指數(shù)的運算法則(公式);第 13 頁a.整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì);(1) (2) (3) (4) b.根式的性質(zhì);(1) ; (2)當(dāng)n為奇數(shù)時,當(dāng)n為偶數(shù)時,c.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪;(1)(2)4、 對數(shù)函數(shù)(是常數(shù)且),定義域無界1. 對
4、數(shù)的概念:如果a(a0,a1)的b次冪等于N,就是 ,那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù),記作,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù),式子叫做對數(shù)式。對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),所以的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱。2. 常用對數(shù):的對數(shù)叫做常用對數(shù),為了簡便,N的常用對數(shù)記作。3.自然對數(shù):使用以無理數(shù)為底的對數(shù)叫做自然對數(shù),為了簡便,N的自然對數(shù)簡記作。4.對數(shù)函數(shù)的圖象:Ox(1,0)y yOx(1,0) 5.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì);性質(zhì) 函數(shù)定義域(0,+)值域R奇偶性非奇非偶公共點過點(1,0),即時,單調(diào)性在(0,+)上是增函數(shù)在(0,+)上是減函數(shù)1)對數(shù)函數(shù)的圖形為于y軸的右方,并過點(1,0);2
5、)當(dāng)時,在區(qū)間(0,1),y的值為負,圖形位于x的下方;在區(qū)間(1, +),y值為正,圖形位于x軸上方,在定義域是單調(diào)增函數(shù)。在實際中很少用到。yOx(1,0)6.(選,補充)對數(shù)函數(shù)值的大小比較;a. 底數(shù)互為倒數(shù)的兩個對數(shù)函數(shù),yOx(1,0)的函數(shù)圖像關(guān)于x軸對稱。b.1. 當(dāng)時,a值越大,yOx(1,0) 的圖像越靠近x軸;b.2. 當(dāng)時,a值越大,的圖像越遠離x軸。7.對數(shù)的運算法則(公式);a.如果a0,a1,M0,N0,那么:b.對數(shù)恒等式: c.換底公式:(1) (,一般常常換為或10為底的對數(shù),即或)(2) 由公式和運算性質(zhì)推倒的結(jié)論:d.對數(shù)運算性質(zhì)(1)1的對數(shù)是零,即;
6、同理或(2) 底數(shù)的對數(shù)等于1,即;同理或5、 三角函數(shù)1. 正弦函數(shù),有界函數(shù),定義域,值域圖象:五點作圖法:0,2. 余弦函數(shù),有界函數(shù),定義域,值域圖象:五點作圖法:0,3.正、余弦函數(shù)的性質(zhì);性質(zhì)函數(shù)定義域R值域-1,1-1,1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)周期性對稱中心對稱軸單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)最值時,時,時,時,Oyx4. 正切函數(shù),無界函數(shù),定義域,值域的圖像Oyx5. 余切函數(shù),無界函數(shù),定義域,的圖像6. 正、余切函數(shù)的性質(zhì); 性質(zhì) 函數(shù)定義域值域RR奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)周期性單調(diào)性在上都是增函數(shù)在上都是減函數(shù)對稱中心零點Oyx-117. 正割函數(shù),無界函
7、數(shù),定義域,值域的圖像Oyx-118. 余割函數(shù),無界函數(shù),定義域,值域的圖像9. 正、余割函數(shù)的性質(zhì); 性質(zhì) 函數(shù)定義域值域奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)周期性單調(diào)性減增減增續(xù)表: 性質(zhì) 函數(shù)對稱中心對稱軸漸近線6、 反三角函數(shù)1. 反正弦函數(shù),無界函數(shù),定義域-1,1,值域A.反正弦函數(shù)的概念:正弦函數(shù)在區(qū)間上的反函數(shù)稱為反正弦函數(shù),記為2. 反余弦弦函數(shù),無界函數(shù),定義域-1,1,值域Oxy1-1Oxy1-1B.反余弦函數(shù)的概念:余弦函數(shù)在區(qū)間上的反函數(shù)稱為反余弦函數(shù),記為 的圖像 的圖像3.反正、余弦函數(shù)的性質(zhì); 性質(zhì)函數(shù)定義域-1,1-1,1值域奇偶性奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)4. 反
8、正切函數(shù),有界函數(shù),定義域,值域C.反正切函數(shù)的概念:正切函數(shù)在區(qū)間上的反函數(shù)稱為反正切函數(shù),記為5. 反余切函數(shù),有界函數(shù),定義域,值域xyOxyOD.反余切函數(shù)的概念:余切函數(shù)在區(qū)間上的反函數(shù)稱為反余切函數(shù),記為 的圖像 的圖像6. 反正、余弦函數(shù)的性質(zhì);函數(shù)性質(zhì)定義域R值域奇偶性奇函數(shù)非奇非偶單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)三角函數(shù)公式匯總一、任意角的三角函數(shù)在角的終邊上任取一點,記:。正弦: 余弦:正切: 余切:正割:余割:二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系:,商數(shù)關(guān)系:,平方關(guān)系:,3、 誘導(dǎo)公式軸上的角,口訣:函數(shù)名不變,符號看象限;軸上的角,口訣:函數(shù)名改變,符號看象限。四、和角公式和差角公式五、二倍角公式二倍角的余弦公式常用變形:(規(guī)律:降冪擴角,升冪縮角) ,六、三倍角公式七、和差化積公式八、輔助角公式其中:角的終邊所在的象限與點所在的象限相同,9、 三角函數(shù)的周期公式函數(shù),及函數(shù),(A,為常數(shù),且)周期: 函數(shù),(A,為常數(shù),且)周期: 十、正弦定理(為外接圓半徑)十一、余弦定理