2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)2 恒等變換與解三角形 理

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1、專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)(二) 恒等變換與解三角形 [專(zhuān)題通關(guān)練] (建議用時(shí):30分鐘) 1.在△ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知c=5,b=3,A=,則=(  ) A.    B. C. D. A [由余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A,得a=7,由正弦定理:==.故選A.] 2.在△ABC中,cos B=,b=2,sin C=2sin A,則△ABC的面積等于(  ) A. B. C. D. D [由sin C=2sin A及正弦定理得c=2a. 在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B, 所以22=a2+4a2-4

2、a2×=4a2,解得a=1,所以c=2. 又sin B==, 所以S△ABC=acsin B=×1×2×=.故選D.] 3.(2019·唐山市一模)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=2,b=3,c=4,設(shè)AB邊上的高為h,則h=(  ) A. B. C. D. D [∵a=2,b=3,c=4, ∴cos A====, 則sin A====, 則h=ACsin A=bsin A=3×=,故選D.] 4.(2019·全國(guó)卷Ⅱ)已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,則sin α=(  ) A. B. C. D. B [由2sin 2

3、α=cos 2α+1,得4sin αcos α=1-2sin2α+1,即2sin αcos α=1-sin2α.因?yàn)棣痢?,所以cos α=,所以2sin α=1-sin2α,解得sin α=,故選B.] 5.△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知cos C+cos A=1,則cos B的取值范圍為(  ) A. B. C. D. D [因?yàn)閏os C+cos A=1,得×+×==1,所以b2=ac, 所以cos B==≥=,當(dāng)且僅當(dāng)a=c取等號(hào),且B為三角形內(nèi)角,所以≤cos B<1.故選D.] 6.[易錯(cuò)題]在△ABC中,acos A=bcos B,則這個(gè)

4、三角形的形狀為_(kāi)_______. 等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理,得sin Acos A=sin Bcos B, 即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A=π-2B, 即A=B或A+B=, 所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形.] 7.(2019·大慶市高三第二次模擬)已知α,β為銳角,且(1-tan α)(1-tan β)=4,則α+β=________.  [將(1-tan α)(1-tan β)=4展開(kāi)得-(tan α+tan β)=3(1-tan α·tan β),即=tan(α+β)=-,由于α,β為銳角,0<α+β<π,故α+β=.] 8.某高一學(xué)習(xí)

5、小組為測(cè)出一綠化區(qū)域的面積,進(jìn)行了一些測(cè)量工作,最后將此綠化區(qū)域近似地看成如圖所示的四邊形,測(cè)得的數(shù)據(jù)如圖所示,AB=2 km,BC=1 km,∠BAD=45°,∠B=60°,∠BCD=105°,則該綠化區(qū)域的面積是________km2.  [如圖,連接AC,由余弦定理可知AC==(km),故∠ACB=90°,∠CAB=30°,∠DAC=∠DCA=15°,∠ADC=150°. 由正弦定理得,=,即AD===(km), 故S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=×1×+××=(km2).] [能力提升練] (建議用時(shí):20分鐘) 9.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,則

6、log等于(  ) A.2 B.3 C.4 D.5 C [因?yàn)閟in(α+β)=,sin(α-β)=, 所以sin αcos β+cos αsin β=,sin αcos β-cos αsin β=,所以sin αcos β=,cos αsin β=,所以=5,所以log=log52=4.故選C.] 10.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=3,c=2,bsin A=acos,則b=(  ) A.1 B. C. D. C [因?yàn)閎sin A=acos ,展開(kāi)得bsin A=acos B-asin B,由正弦定理化簡(jiǎn)得sin Bsin A=sin Ac

7、os B-sin Asin B,整理得sin B=cos B, 即tan B=,而三角形中0<B<π,所以B=. 由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B,代入得b2=32+(2)2-2×3×2cos ,解得b=,所以選C.] 11.(2018·聊城模擬)已知cos=,θ∈,則sin=________.  [由題意可得,cos2==,cos=-sin 2θ=-, 即sin 2θ=.因?yàn)閏os=>0,θ∈,所以0<θ<,2θ∈, 根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,可得cos 2θ=, 由兩角差的正弦公式,可得 sin=sin 2θcos -cos 2θsin =×-×=.]

8、 12.(2019·濰坊市一模)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),已知2sin2-sin C=1,a=,b=4. (1)求角C的大小和BD的長(zhǎng); (2)設(shè)∠ACB的角平分線(xiàn)交BD于E,求△CED的面積. [解](1)由題意可得:sin C+1-2sin2=0, ∴sin C+cos(A+B)=0, 又A+B=π-C, ∴sin C-cos C=0,可得tan C=, ∵C∈(0,π),∴C=, ∴在△BCD中,由余弦定理可得:BD2=3+4-2××2×cos =1,解得BD=1. (2)由(1)可知BD2+BC2=4=CD2, ∴∠DB

9、C=,∴S△DBC=BD·BC=, ∵CE是∠BCD的角平分線(xiàn), ∴∠BCE=∠DCE, 在△CEB和△CED中,S△BCE=BC·CE·sin∠BCE, S△CED=CD·CE·sin∠DCE, 可得:==,∴S△BCE=S△CED, ∴代入S△BCE+S△CED=S△BCD=,得S△CED=,∴S△CED==(2-)=2-3. 題號(hào) 內(nèi)容 押題依據(jù) 1 三角恒等變換 恒等變換求值 2 平面向量、正(余)弦定理解決面積問(wèn)題,不等式求最值 平面向量、不等式與三角函數(shù)的交匯 【押題1】 已知sin=,則sin=________,sin 2α=________.

10、 ?。∵sin=, ∴sin=sin=sin=, sin 2α=-cos =-1+2sin2=-1+2×=-.] 【押題2】 在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知c=b. (1)若C=2B,求cos B的值; (2)若·=·,求cos的值. [解](1)因?yàn)閏=b,則由正弦定理,得sin C=sin B. 又C=2B,所以sin 2B=sin B,即4sin Bcos B=sin B. 又B是△ABC的內(nèi)角,所以sin B>0,故cos B=. (2)因?yàn)椤ぃ健ぃ詂bcos A=bacos C,則由余弦定理,得b2+c2-a2=b2+a2-c2,得a=c. 從而cos B===, 又0<B<π,所以sin B==. 從而cos=cos Bcos -sin Bsin =×-×=-. - 6 -

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