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1、課時作業(yè)41 空間幾何體的表面積和體積
[基礎(chǔ)達標]
一、選擇題
1.若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為120°,半徑為l的扇形,則這個圓錐的表面積與側(cè)面積比是( )
A.32 B.21
C.43 D.53
解析:底面半徑r=l=l,故圓錐中S側(cè)=πl(wèi)2,S表=πl(wèi)2+π2=πl(wèi)2,所以表面積與側(cè)面積的比為43.
答案:C
2.[2019·東北三省四市聯(lián)考]某幾何體的三視圖如圖所示,則其表面積為( )
A.12+2 B.8+2
C.4+4 D.8+4
解析:本題考查三視圖及幾何體的表面積.由三視圖可知,該幾何體是底面為正方形,一條棱垂直于底面的四棱錐
2、,其底面邊長為2,高為2,故該四棱錐的表面積為S=2×2+2××2×2+2××2×2=8+4,故選D.
答案:D
3.[2019·益陽市,湘潭市高三調(diào)研]如圖,網(wǎng)格紙上小正方體的邊長為1,粗實線畫出的是某三棱錐的三視圖,則該三棱錐的體積是( )
A. B.
C. D.4
解析:由三視圖可得三棱錐為圖中所示的三棱錐A-PBC(放到棱長為2的正方體中),VA-PBC=×S△PBC×AB=××2×2×2=.故選B.
答案:B
4.[2019·開封市高三考試]某幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖為扇形,則該幾何體的體積為( )
A. B.
C. D.
解析:
3、由三視圖知該幾何體底面扇形的圓心角為120°,即該幾何體是某圓錐的三分之一部分,又由側(cè)視圖知幾何體的高為4,底面圓的半徑為2,所以該幾何體的體積V=××π×22×4=π,故選D.
答案:D
5.[2019·山東濰坊模擬]某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( )
A.4+2 B.4+4
C.6+2 D.6+4
解析:由三視圖還原幾何體和直觀圖如圖所示,易知BC⊥平面PAC,又PC?平面PAC,所以BC⊥PC,又AP=AC=BC=2,所以PC==2,又AB=2,所以S△PBC=S△PAB=×2×2=2,S△ABC=S△PAC=×2×2=2,所以該幾何體的表面積為
4、4+4.
答案:B
6.[2018·福州高三期末]已知圓錐的高為3,底面半徑為,若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一球面上,則這個球的體積等于( )
A.π B.π
C.16π D.32π
解析:設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R,依題意得,R2=(3-R)2+()2,解得R=2,所以所求球的體積V=πR3=π×23=π,故選B.
答案:B
7.[2018·福州高三期末]如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為( )
A.14 B.10+4
C.+4 D.+4
解析:解法一 由三視圖可知,該幾何體為一個直三棱柱切去一個小
5、三棱錐后剩余的幾何體,如圖所示.所以該多面體的表面積S=2×+×(22-12)+×22+2×2+××()2=+4,故選D.
解法二 由三視圖可知,該幾何體為一個直三棱柱切去一個小三棱錐后剩余的幾何體,如圖所示.所以該多面體的表面積S=S三棱柱表-S三棱錐側(cè)+S三棱錐底=-3×+××()2=+4,故選D.
答案:D
8.[2019·山西八校聯(lián)考]已知一個球的表面上有A,B,C三個點,且AB=AC=BC=2,若球心到平面ABC的距離為1,則該球的表面積為( )
A.20π B.15π
C.10π D.2π
解析:設(shè)球心為O,△ABC的中心為O′,因為AB=AC=BC=2,所以AO
6、′=×3=2,因為球心到平面ABC的距離為1,所以O(shè)O′=1,所以AO==,故該球的表面積S=4π×(OA)2=20π.故選A.
答案:A
9.[2019·石家莊摸底考試]如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某空間幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為( )
A. B.
C.8(2π+1) D.16(π+1)
解析:由三視圖得該幾何體為圓錐與正四棱錐的組合體,其中圓錐的底面半徑為2,高為4,正四棱錐的底面邊長為2,高為2,所以該幾何體的體積為×2×2×2+×π×22×4=,故選B.
答案:B
10.[2019·南昌調(diào)研]已知三棱錐P-ABC的所有頂點都在球O的球
7、面上,△ABC滿足AB=2,∠ACB=90°,PA為球O的直徑且PA=4,則點P的底面ABC的距離為( )
A. B.2
C. D.2
解析:取AB的中點O1,連接OO1,如圖,在△ABC中,AB=2,∠ACB=90°,所以△ABC所在小圓O1是以AB為直徑的圓,所以O(shè)1A=,且OO1⊥AO1,又球O的直徑PA=4,所以O(shè)A=2,所以O(shè)O1==,且OO1⊥底面ABC,所以點P到平面ABC的距離為2OO1=2.
答案:B
二、填空題
11.[2019·南昌模擬]如圖,直角梯形ABCD中,AD⊥DC,AD∥BC,BC=2CD=2AD=2,若將直角梯形繞BC邊旋轉(zhuǎn)一周,則所
8、得幾何體的表面積為________.
解析:本題考查幾何體的表面積.所得幾何體的表面積是底面圓半徑為1、高為1的圓柱的下底面積、側(cè)面積和底面圓半徑為1、高為1的圓錐的側(cè)面積之和,即為π+2π+π=(3+)π.
答案:(3+)π
12.[2019·山東濰坊模擬]已知正四棱柱的頂點在同一個球面上,且球的表面積為12π,當正四棱柱的體積最大時,正四棱柱的高為________.
解析:設(shè)正四棱柱的底面邊長為a,高為h,球的半徑為r,由題意知4πr2=12π,所以r2=3,又2a2+h2=(2r)2=12,所以a2=6-,所以正四棱柱的體積V=a2h=h,則V′=6-h(huán)2,由V′>0,得0
9、2,由V′<0,得h>2,所以當h=2時,正四棱柱的體積最大,Vmax=8.
答案:2
13.[2019·福州四校聯(lián)考]已知三棱錐A-BCD的所有頂點都在球O的球面上,AB為球O的直徑,若該三棱柱的體積為,BC=3,BD=,∠CBD=90°,則球O的體積為________.
解析:設(shè)A到平面BCD的距離為h,∵三棱錐的體積為,BC=3,BD=,∠CBD=90°,∴××3××h=,∴h=2,∴球心O到平面BCD的距離為1.設(shè)CD的中點為E,連接OE,則由球的截面性質(zhì)可得OE⊥平面CBD,∵△BCD外接圓的直徑CD=2,∴球O的半徑OD=2,∴球O的體積為.
答案:
14.[20
10、18·江蘇卷,10]如圖所示,正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為________.
解析:本題考查組合體體積的計算.
多面體由兩個完全相同的正四棱錐組合而成,其中正四棱錐的底面邊長為,高為1,
∴其體積為×()2×1=,∴多面體的體積為.
答案:
[能力挑戰(zhàn)]
15.[2019·廣東廣州調(diào)研]如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某個幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為( )
A.4+4+2 B.14+4
C.10+4+2 D.4
解析:如圖,該幾何體是一個底面為直角梯形,有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐S-ABCD.連接AC,因為AC
11、==2,SC==2,SD=SB==2,CD==2,SB2+BC2=(2)2+42=24=SC2,故△SCD為等腰三角形,△SCB為直角三角形.過D作DK⊥SC于點K,則DK==,△SCD的面積為××2=2,△SBC的面積為×2×4=4.所求幾何體的表面積為×(2+4)×2+2××2×2+4+2=10+4+2,選C.
答案:C
16.[2019·河北聯(lián)盟考試]某幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積是( )
A.13 B.14
C.15 D.16
解析:所求幾何體可看作是將長方體截去兩個三棱柱得到的幾何體,在長方體中還原該幾何體,如圖中ABCD-A′B′C′D′所求,
12、長方體的長、寬、高分別為4,2,3,兩個三棱柱的高為2,底面是兩直角邊長分別為3和1.5的直角三角形,故該幾何體的體積V=4×2×3-2××3××2=15,故選C.
答案:C
17.[2019·廣州調(diào)研]如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1,圖中粗線畫出的是某三棱錐的三視圖,則該三棱錐的外接球的表面積為________.
解析:依題意可得該幾何體的直觀圖為圖中所示的三棱錐B-CDE,且長方體的長、寬、高分別為2,1,1,建立如圖所示的空間直角坐標系,則B(0,0,1),C(0,1,0),D(1,2,0),E(0,2,0),設(shè)球心為P(x,y,z),依題意可得|PB|=|PC|=|PD|=|PE|.由|PD|=|PE|得(x-1)2+(y-2)2+z2=x2+(y-2)2+z2,解得x=.由|PC|=|PE|得x2+(y-1)2+z2=x2+(y-2)2+z2,解得y=.由|PB|=|PE|得x2+y2+(z-1)2=x2+(y-2)2+z2,解得z=.故P,故三棱錐外接球的半徑R=|PB|==,故該三棱錐的外接球的表面積S=4π×=11π.
答案:11π
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