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1、課時(shí)作業(yè)38 直接證明與間接證明
[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
一、選擇題
1．要證明＋<4可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的為( )
A．綜合法 B．分析法
C．比較法 D．歸納法
解析：要證明＋<4，只需證明(＋)2<16，即8＋2<16，即證明<4，亦即只需證明15<16，而15<16顯然成立，故原不等式成立．因此利用分析法證明較為合理，故選B.
答案：B
2．用反證法證明命題：“ a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為( )
A．a(chǎn)，b都能被5整除
B．a(chǎn)，b都不能被5整除
C．a(chǎn)，b不都能被5整除
D．a(chǎn)不能被5整除
解
2、析：“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒有”，即“a，b都不能被5整除”．
答案：B
3．在△ABC中，sinAsinC0，
即cos(A＋C)>0，所以A＋C是銳角，
從而B>，故△ABC必是鈍角三角形．
答案：C
4．分析法又稱執(zhí)果索因法，已知x>0，用分析法證明<1＋時(shí)，索的因是( )
A．x2>2 B．x2>4
C．x2>0 D．x2>1
解析：因?yàn)閤>0，
所以要證
3、<1＋，
只需證()2<2，
即證0<，即證x2>0，
因?yàn)閤>0，所以x2>0成立，故原不等式成立．
答案：C
5．已知p＝a＋(a>2)，q＝2－x2＋4x－2(x>0)，則( )
A．p>q B．pa＋b，則a，b應(yīng)滿足的條件是________．
解析：a＋b>a＋b，即(－)2(＋)>0，需滿足a≥0，b≥0且a≠b.
答案：a≥0，b≥0且a≠b
7．若向量a＝(x＋1,2)，b＝(4，
4、－2)，若a∥b，則實(shí)數(shù)x＝________.
解析：因?yàn)閍∥b，
所以(x＋1)×(－2)＝2×4，
解得x＝－5.
答案：－5
8．[2019·太原模擬]用反證法證明“若x2－1＝0，則x＝－1或x＝1”時(shí)，應(yīng)假設(shè)__________________．
解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．
答案：x≠－1且x≠1
三、解答題
9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.求證：a，b，c成等差數(shù)列．
證明：由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，
因?yàn)閟inB≠0，
5、所以sinA＋sinC＝2sinB，
由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差數(shù)列．
10．已知a，b是正實(shí)數(shù)，求證＋≥＋.
證明：證法一 (作差法)因?yàn)閍，b是正實(shí)數(shù)，所以＋－－＝＋
＝
＝≥0，
所以＋≥＋.
證法二 (分析法)已知a，b是正實(shí)數(shù)，
要證＋≥＋，
只需證a＋b≥(＋)，
即證(a＋b－)(＋)≥(＋)，
即證a＋b－≥，
就是要證a＋b≥2.
顯然a＋b≥2恒成立，所以＋≥＋.
證法三 (綜合法)因?yàn)閍，b是正實(shí)數(shù)，
所以＋＋＋≥2＋2＝2＋2，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，所以＋≥＋.
證法四 (綜合法)因?yàn)閍，b是正實(shí)數(shù)，
所以(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝a＋b＋2＝(＋)2，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，
所以＋≥＋.
[能力挑戰(zhàn)]
11．若a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a＝x2－2y＋，b＝y(tǒng)2－2z＋，c＝z2－2x＋.求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0.
證明：假設(shè)a，b，c都不大于0，
即a≤0，b≤0，c≤0，
所以a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c
＝＋＋
＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
所以a＋b＋c>0，這與a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一個(gè)大于0.
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