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1、考點規(guī)范練28 數(shù)列的概念與表示
一、基礎(chǔ)鞏固
1.數(shù)列1,23,35,47,59,…的一個通項公式an=( )
A.n2n+1 B.n2n-1 C.n2n-3 D.n2n+3
答案B
2.若Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且Sn=nn+1,則1a5等于( )
A.56 B.65 C.130 D.30
答案D
解析當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=nn+1-n-1n=1n(n+1),
則1a5=5×(5+1)=30.
3.已知數(shù)列{an}滿足an+1+an=n,若a1=2,則a4-a2=( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2、
答案D
解析由an+1+an=n,得an+2+an+1=n+1,兩式相減得an+2-an=1,令n=2,得a4-a2=1.
4.數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2,若bn=(n-10)an,則數(shù)列{bn}的最小項為( )
A.第10項 B.第11項 C.第6項 D.第5項
答案D
解析由Sn=n2,得當(dāng)n=1時,a1=1,
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
當(dāng)n=1時顯然適合上式,所以an=2n-1,
所以bn=(n-10)an=(n-10)(2n-1).
令f(x)=(x-10)(2x-1),
易知其圖象的對稱軸為x=514,
所以數(shù)
3、列{bn}的最小項為第5項.
5.已知數(shù)列{an}滿足an+2=an+1-an,且a1=2,a2=3,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則S2 016的值為( )
A.0 B.2 C.5 D.6
答案A
解析∵an+2=an+1-an,a1=2,a2=3,
∴a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-2,a5=a4-a3=-3,a6=a5-a4=-1,a7=a6-a5=2,a8=a7-a6=3….
∴數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列.
又2016=6×336,
∴S2016=336×(2+3+1-2-3-1)=0,故選A.
6.設(shè)數(shù)列2,5,22,11,…,則41是這個數(shù)列的第
4、 項.?
答案14
解析由已知,得數(shù)列的通項公式為an=3n-1.
令3n-1=41,解得n=14,即為第14項.
7.已知數(shù)列{an}滿足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項公式an= .?
答案3n
解析a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,把n換成n-1,得a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,兩式相減得an=3n.
8.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=(n+2)78n,則當(dāng)an取得最大值時,n=
5、 .?
答案5或6
解析由題意令an≥an-1,an≥an+1,
∴(n+2)78n≥(n+1)78n-1,(n+2)78n≥(n+3)78n+1,
解得n≤6,n≥5.∴n=5或n=6.
9.設(shè)數(shù)列{an}是首項為1的正項數(shù)列,且(n+1)an+12-nan2+an+1·an=0,則它的通項公式an= .?
答案1n
解析∵(n+1)an+12-nan2+an+1·an=0,
∴(n+1)an+1-nanan+1+an=0.
∵{an}是首項為1的正項數(shù)列,∴(n+1)an+1=nan,
即an+1an=nn+1,∴an=anan-1·an-1an-2·…
6、·a2a1·a1=n-1n·n-2n-1·…·12·1=1n.
10.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn.
(1)若Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及an;
(2)若Sn=3n+2n+1,求an.
解(1)因為Sn=(-1)n+1·n,
所以a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2.
當(dāng)n=1時,a1=S1=1;
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1)
=(-1)n+1·[n+(n-1)]=(-1)n+1·(2n-1).
又a1也適合于此式,所以an=(-1)n+1·(2n-1).
(2)當(dāng)n=1時,a1=S1=6;
當(dāng)n
7、≥2時,an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]
=2·3n-1+2.①
因為a1不適合①式,所以an=6,n=1,2·3n-1+2,n≥2.
二、能力提升
11.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,則a20的值是( )
A.415 B.425 C.435 D.445
答案D
解析由2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,
得nan-(n-1)an-1=(n+1)an+1-nan=2a2-a1=5.
令bn=nan,則數(shù)列{bn}是公差為5的等差數(shù)列,
故bn=1+(n-1)×
8、5=5n-4.
所以b20=20a20=5×20-4=96,
所以a20=9620=445.
12.已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)函數(shù),且對任意的正數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*),則an等于( )
A.2n-1 B.n C.2n-1 D.32n-1
答案D
解析由題意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(n∈N*),
∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),
兩式相減,得2an=3an-1(n≥2).
又當(dāng)n=1時,S1+2=
9、3a1=a1+2,∴a1=1.
∴數(shù)列{an}是首項為1,公比為32的等比數(shù)列.
∴an=32n-1.
13.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sn=2an-n,則an= .?
答案2n-1
解析當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),
即an=2an-1+1∴an+1=2(an-1+1).
又S1=2a1-1,∴a1=1.
∴數(shù)列{an+1}是以a1+1=2為首項,公比為2的等比數(shù)列,
∴an+1=2·2n-1=2n,∴an=2n-1.
14.已知{an}滿足an+1=an+2n,且a1=32,則ann的最小值為 .?
答案
10、313
解析∵an+1=an+2n,即an+1-an=2n,
∴an=an-an-1+(an-1-an-2)+…+a2-a1+a1=2(n-1)+2(n-2)+…+2×1+32=2×(1+n-1)(n-1)2+32=n2-n+32.
∴ann=n+32n-1.
令f(x)=x+32x-1(x≥1),則f'(x)=1-32x2=x2-32x2.
∴f(x)在1,42內(nèi)單調(diào)遞減,在42,+∞內(nèi)單調(diào)遞增.
又f(5)=5+325-1=525,f(6)=6+326-1=313
11、),an+1=Sn+3n,n∈N*,bn=Sn-3n.
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)若an+1≥an,求a的取值范圍.
解(1)因為an+1=Sn+3n,所以Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,
即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),
即bn+1=2bn.
又b1=S1-3=a-3,
故{bn}的通項公式為bn=(a-3)2n-1.
(2)由題意可知,a2>a1對任意的a都成立.
由(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1.
于是,當(dāng)n≥2時,
an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2
=2
12、×3n-1+(a-3)2n-2,
故an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2
=2n-21232n-2+a-3.
當(dāng)n≥2時,由an+1≥an,可知1232n-2+a-3≥0,即a≥-9.
又a≠3,故所求的a的取值范圍是[-9,3)∪(3,+∞).
三、高考預(yù)測
16.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=-n2+12n-32,其前n項和是Sn,則對任意的n>m(其中m,n∈N*),Sn-Sm的最大值是 .?
答案10
解析由an=-n2+12n-32=-(n-4)·(n-8)>0得4
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