《(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 第5講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)練習(xí)(含解析)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 第5講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)練習(xí)(含解析)(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第5講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)
一、選擇題
1.(2015·浙江卷)設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,l,m是兩條不同的直線,且l?α,m?β( )
A.若l⊥β,則α⊥β B.若α⊥β,則l⊥m
C.若l∥β,則α∥β D.若α∥β,則l∥m
解析 由面面垂直的判定定理,可知A選項(xiàng)正確;B選項(xiàng)中,l與m可能平行;C選項(xiàng)中,α與β可能相交;D選項(xiàng)中,l與m可能異面.
答案 A
2.(2017·深圳四校聯(lián)考)若平面α,β滿足α⊥β,α∩β=l,P∈α,P?l,則下列命題中是假命題的為( )
A.過(guò)點(diǎn)P垂直于平面α的直線平行于平面β
B.過(guò)點(diǎn)P垂直于直線l的直線在平面α
2、內(nèi)
C.過(guò)點(diǎn)P垂直于平面β的直線在平面α內(nèi)
D.過(guò)點(diǎn)P且在平面α內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面β
解析 由于過(guò)點(diǎn)P垂直于平面α的直線必平行于平面β內(nèi)垂直于交線的直線,因此也平行于平面β,因此A正確.過(guò)點(diǎn)P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面α,不一定在平面α內(nèi),因此B不正確.根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知,選項(xiàng)C,D正確.
答案 B
3.如圖,在正四面體P-ABC中,D,E,F(xiàn)分別是AB,BC,CA的中點(diǎn),下面四個(gè)結(jié)論不成立的是( )
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面PAE
D.平面PDE⊥平面ABC
解析 因?yàn)锽C∥DF,DF?平面PDF,
BC
3、?平面PDF,
所以BC∥平面PDF,故選項(xiàng)A正確.
在正四面體中,AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E,
∴BC⊥平面PAE,DF∥BC,則DF⊥平面PAE,又DF?平面PDF,從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項(xiàng)B,C均正確.
答案 D
4.(2017·西安調(diào)研)設(shè)l是直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.若l∥α,l∥β,則α∥β B.若l∥α,l⊥β,則α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,則l∥β D.若α⊥β,l∥α,則l⊥β
解析 A中,α∥β或α與β相交,不正確.B中,過(guò)直線l作平面γ,設(shè)α∩γ=l′,則l′∥l,由l⊥β,知l′⊥β,從
4、而α⊥β,B正確.C中,l∥β或l?β,C不正確.D中,l與β的位置關(guān)系不確定.
答案 B
5.(2017·天津?yàn)I海新區(qū)模擬)如圖,以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后,某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論:
①BD⊥AC;
②△BAC是等邊三角形;
③三棱錐D-ABC是正三棱錐;
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正確的是( )
A.①②④ B.①②③
C.②③④ D.①③④
解析 由題意知,BD⊥平面ADC,且AC?平面ADC,故BD⊥AC,①正確;AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以
5、AB=AC=BC,△BAC是等邊三角形,②正確;易知DA=DB=DC,又由②知③正確;由①知④錯(cuò).
答案 B
二、填空題
6.如圖,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.
解析 ∵PA⊥平面ABC,AB,AC,BC?平面ABC,
∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,則△PAB,△PAC為直角三角形.由BC⊥AC,且AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC,從而B(niǎo)C⊥PC,因此△ABC,△PBC也是直角三角形.
答案 4
7.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)
6、,平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可).
解析 由定理可知,BD⊥PC.
∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí),有PC⊥平面MBD.
又PC?平面PCD,
∴平面MBD⊥平面PCD.
答案 DM⊥PC(或BM⊥PC等)
8.(2016·全國(guó)Ⅱ卷)α,β是兩個(gè)平面,m,n是兩條直線,有下列四個(gè)命題:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m?α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.
其中正確的命題有________(填寫所有正確命題的編號(hào)).
解析 對(duì)于①,α
7、,β可以平行,也可以相交但不垂直,故錯(cuò)誤.
對(duì)于②,由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l?α,n∥l,m⊥α,所以m⊥l,所以m⊥n,故正確.
對(duì)于③,因?yàn)棣痢桅?,所以α,β沒(méi)有公共點(diǎn).又m?α,所以m,β沒(méi)有公共點(diǎn),由線面平行的定義可知m∥β,故正確.
對(duì)于④,因?yàn)閙∥n,所以m與α所成的角和n與α所成的角相等.因?yàn)棣痢桅?,所以n與α所成的角和n與β所成的角相等,所以m與α所成的角和n與β所成的角相等,故正確.
答案?、冖邰?
三、解答題
9.(2017·青島質(zhì)檢)如圖,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F(xiàn),G分別為AC,DC
8、,AD的中點(diǎn).
(1)求證:EF⊥平面BCG;
(2)求三棱錐D-BCG的體積.
(1)證明 由已知得△ABC≌△DBC,因此AC=DC.
又G為AD的中點(diǎn),所以CG⊥AD.
同理BG⊥AD,又BG∩CG=G,因此AD⊥平面BCG.
又EF∥AD,所以EF⊥平面BCG.
(2)解 在平面ABC內(nèi),作AO⊥BC,交CB的延長(zhǎng)線于O,如圖由平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BDC=BC,AO?平面ABC,知AO⊥平面BDC.
又G為AD中點(diǎn),因此G到平面BDC的距離h是AO長(zhǎng)度的一半.
在△AOB中,AO=AB·sin 60°=,
所以VD-BCG=VG-BCD=S△DB
9、C·h=×BD·BC·
sin 120°·=.
10.(2016·北京卷)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求證:DC⊥平面PAC;
(2)求證:平面PAB⊥平面PAC;
(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),在棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得PA∥平面CEF?說(shuō)明理由.
(1)證明 因?yàn)镻C⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又因?yàn)锳C⊥DC,且PC∩AC=C,所以DC⊥平面PAC.
(2)證明 因?yàn)锳B∥CD,DC⊥AC,所以AB⊥AC.
因?yàn)镻C⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.
又因?yàn)镻C∩AC=C,所以AB⊥平面PAC.
又AB?平面PAB
10、,所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)解 棱PB上存在點(diǎn)F,使得PA∥平面CEF.
理由如下:取PB的中點(diǎn)F,連接EF,CE,CF,又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn),所以EF∥PA.又因?yàn)镻A?平面CEF,且EF?平面CEF,
所以PA∥平面CEF.
11.設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面.則下列說(shuō)法正確的是( )
A.若m⊥n,n∥α,則m⊥α
B.若m∥β,β⊥α,則m⊥α
C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,則m⊥α
D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,則m⊥α
解析 A中,由m⊥n,n∥α可得m∥α或m與α相交或m?α,錯(cuò)誤;B中,由m∥β,β⊥α可得m∥α或m與α相交或m
11、?α,錯(cuò)誤;C中,由m⊥β,n⊥β可得m∥n,又n⊥α,所以m⊥α,正確;D中,由m⊥n,n⊥β,β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α,錯(cuò)誤.
答案 C
12.(2017·貴陽(yáng)模擬)如圖,在正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別是BC,CD的中點(diǎn),沿AE,AF,EF把正方形折成一個(gè)四面體,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為P,P點(diǎn)在△AEF內(nèi)的射影為O,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的內(nèi)心
C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心
解析 由題意可知PA,PE,PF兩兩垂直,
所以PA⊥平面PEF,從而PA⊥EF,
而PO⊥平面AEF
12、,則PO⊥EF,因?yàn)镻O∩PA=P,
所以EF⊥平面PAO,
∴EF⊥AO,同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,
∴O為△AEF的垂心.
答案 A
13.如圖,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,則下列結(jié)論中:①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直線BC∥平面PAE;④∠PDA=45°.
其中正確的有________(把所有正確的序號(hào)都填上).
解析 由PA⊥平面ABC,AE?平面ABC,得PA⊥AE,
又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB,PA∩AB=A,得AE⊥平面PAB,又PB?平面PAB,∴AE⊥PB,①正確;又平面PAD⊥平面ABC
13、,∴平面ABC⊥平面PBC不成立,②錯(cuò);由正六邊形的性質(zhì)得BC∥AD,又AD?平面PAD,BC?平面PAD,∴BC∥平面PAD,∴直線BC∥平面PAE也不成立,③錯(cuò);在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°,∴④正確.
答案?、佗?
14.(2016·四川卷)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.
(1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM∥平面PAB,并說(shuō)明理由.
(2)證明:平面PAB⊥平面PBD.
(1)解 取棱AD的中點(diǎn)M(M∈平面PAD),點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn),理由如下:
因?yàn)锳D∥BC,BC=A
14、D.所以BC∥AM,且BC=AM.
所以四邊形AMCB是平行四邊形,從而CM∥AB.
又AB?平面PAB.CM?平面PAB.
所以CM∥平面PAB.
(說(shuō)明:取棱PD的中點(diǎn)N,則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn))
(2)證明 由已知,PA⊥AB,PA⊥CD.
因?yàn)锳D∥BC,BC=AD,
所以直線AB與CD相交,
所以PA⊥平面ABCD.
又BD?平面ABCD,
從而PA⊥BD.因?yàn)锳D∥BC,BC=AD,
M為AD的中點(diǎn),連接BM,所以BC∥MD,且BC=MD.
所以四邊形BCDM是平行四邊形,
所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB.
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.
又BD?平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.
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