(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 第5講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)練習(xí)(含解析)

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1、第5講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 一、選擇題 1.(2015·浙江卷)設(shè)α,β是兩個不同的平面,l,m是兩條不同的直線,且l?α,m?β(  ) A.若l⊥β,則α⊥β B.若α⊥β,則l⊥m C.若l∥β,則α∥β D.若α∥β,則l∥m 解析 由面面垂直的判定定理,可知A選項正確;B選項中,l與m可能平行;C選項中,α與β可能相交;D選項中,l與m可能異面. 答案 A 2.(2017·深圳四校聯(lián)考)若平面α,β滿足α⊥β,α∩β=l,P∈α,P?l,則下列命題中是假命題的為(  ) A.過點(diǎn)P垂直于平面α的直線平行于平面β B.過點(diǎn)P垂直于直線l的直線在平面α

2、內(nèi) C.過點(diǎn)P垂直于平面β的直線在平面α內(nèi) D.過點(diǎn)P且在平面α內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面β 解析 由于過點(diǎn)P垂直于平面α的直線必平行于平面β內(nèi)垂直于交線的直線,因此也平行于平面β,因此A正確.過點(diǎn)P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面α,不一定在平面α內(nèi),因此B不正確.根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知,選項C,D正確. 答案 B 3.如圖,在正四面體P-ABC中,D,E,F(xiàn)分別是AB,BC,CA的中點(diǎn),下面四個結(jié)論不成立的是(  ) A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDE⊥平面ABC 解析 因為BC∥DF,DF?平面PDF, BC

3、?平面PDF, 所以BC∥平面PDF,故選項A正確. 在正四面體中,AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E, ∴BC⊥平面PAE,DF∥BC,則DF⊥平面PAE,又DF?平面PDF,從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項B,C均正確. 答案 D 4.(2017·西安調(diào)研)設(shè)l是直線,α,β是兩個不同的平面,則下列說法正確的是(  ) A.若l∥α,l∥β,則α∥β B.若l∥α,l⊥β,則α⊥β C.若α⊥β,l⊥α,則l∥β D.若α⊥β,l∥α,則l⊥β 解析 A中,α∥β或α與β相交,不正確.B中,過直線l作平面γ,設(shè)α∩γ=l′,則l′∥l,由l⊥β,知l′⊥β,從

4、而α⊥β,B正確.C中,l∥β或l?β,C不正確.D中,l與β的位置關(guān)系不確定. 答案 B 5.(2017·天津濱海新區(qū)模擬)如圖,以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后,某學(xué)生得出下列四個結(jié)論: ①BD⊥AC; ②△BAC是等邊三角形; ③三棱錐D-ABC是正三棱錐; ④平面ADC⊥平面ABC. 其中正確的是(  ) A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④ 解析 由題意知,BD⊥平面ADC,且AC?平面ADC,故BD⊥AC,①正確;AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以

5、AB=AC=BC,△BAC是等邊三角形,②正確;易知DA=DB=DC,又由②知③正確;由①知④錯. 答案 B 二、填空題 6.如圖,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,則圖中直角三角形的個數(shù)為________. 解析 ∵PA⊥平面ABC,AB,AC,BC?平面ABC, ∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,則△PAB,△PAC為直角三角形.由BC⊥AC,且AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC,從而BC⊥PC,因此△ABC,△PBC也是直角三角形. 答案 4 7.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M滿足________時

6、,平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認(rèn)為正確的條件即可). 解析 由定理可知,BD⊥PC. ∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時,有PC⊥平面MBD. 又PC?平面PCD, ∴平面MBD⊥平面PCD. 答案 DM⊥PC(或BM⊥PC等) 8.(2016·全國Ⅱ卷)α,β是兩個平面,m,n是兩條直線,有下列四個命題: ①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β. ②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n. ③如果α∥β,m?α,那么m∥β. ④如果m∥n,α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等. 其中正確的命題有________(填寫所有正確命題的編號). 解析 對于①,α

7、,β可以平行,也可以相交但不垂直,故錯誤. 對于②,由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l?α,n∥l,m⊥α,所以m⊥l,所以m⊥n,故正確. 對于③,因為α∥β,所以α,β沒有公共點(diǎn).又m?α,所以m,β沒有公共點(diǎn),由線面平行的定義可知m∥β,故正確. 對于④,因為m∥n,所以m與α所成的角和n與α所成的角相等.因為α∥β,所以n與α所成的角和n與β所成的角相等,所以m與α所成的角和n與β所成的角相等,故正確. 答案?、冖邰? 三、解答題 9.(2017·青島質(zhì)檢)如圖,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F(xiàn),G分別為AC,DC

8、,AD的中點(diǎn). (1)求證:EF⊥平面BCG; (2)求三棱錐D-BCG的體積. (1)證明 由已知得△ABC≌△DBC,因此AC=DC. 又G為AD的中點(diǎn),所以CG⊥AD. 同理BG⊥AD,又BG∩CG=G,因此AD⊥平面BCG. 又EF∥AD,所以EF⊥平面BCG. (2)解 在平面ABC內(nèi),作AO⊥BC,交CB的延長線于O,如圖由平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BDC=BC,AO?平面ABC,知AO⊥平面BDC. 又G為AD中點(diǎn),因此G到平面BDC的距離h是AO長度的一半. 在△AOB中,AO=AB·sin 60°=, 所以VD-BCG=VG-BCD=S△DB

9、C·h=×BD·BC· sin 120°·=. 10.(2016·北京卷)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC. (1)求證:DC⊥平面PAC; (2)求證:平面PAB⊥平面PAC; (3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),在棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得PA∥平面CEF?說明理由. (1)證明 因為PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又因為AC⊥DC,且PC∩AC=C,所以DC⊥平面PAC. (2)證明 因為AB∥CD,DC⊥AC,所以AB⊥AC. 因為PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB. 又因為PC∩AC=C,所以AB⊥平面PAC. 又AB?平面PAB

10、,所以平面PAB⊥平面PAC. (3)解 棱PB上存在點(diǎn)F,使得PA∥平面CEF. 理由如下:取PB的中點(diǎn)F,連接EF,CE,CF,又因為E為AB的中點(diǎn),所以EF∥PA.又因為PA?平面CEF,且EF?平面CEF, 所以PA∥平面CEF. 11.設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面.則下列說法正確的是(  ) A.若m⊥n,n∥α,則m⊥α B.若m∥β,β⊥α,則m⊥α C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,則m⊥α D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,則m⊥α 解析 A中,由m⊥n,n∥α可得m∥α或m與α相交或m?α,錯誤;B中,由m∥β,β⊥α可得m∥α或m與α相交或m

11、?α,錯誤;C中,由m⊥β,n⊥β可得m∥n,又n⊥α,所以m⊥α,正確;D中,由m⊥n,n⊥β,β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α,錯誤. 答案 C 12.(2017·貴陽模擬)如圖,在正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別是BC,CD的中點(diǎn),沿AE,AF,EF把正方形折成一個四面體,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為P,P點(diǎn)在△AEF內(nèi)的射影為O,則下列說法正確的是(  ) A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的內(nèi)心 C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心 解析 由題意可知PA,PE,PF兩兩垂直, 所以PA⊥平面PEF,從而PA⊥EF, 而PO⊥平面AEF

12、,則PO⊥EF,因為PO∩PA=P, 所以EF⊥平面PAO, ∴EF⊥AO,同理可知AE⊥FO,AF⊥EO, ∴O為△AEF的垂心. 答案 A 13.如圖,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,則下列結(jié)論中:①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直線BC∥平面PAE;④∠PDA=45°. 其中正確的有________(把所有正確的序號都填上). 解析 由PA⊥平面ABC,AE?平面ABC,得PA⊥AE, 又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB,PA∩AB=A,得AE⊥平面PAB,又PB?平面PAB,∴AE⊥PB,①正確;又平面PAD⊥平面ABC

13、,∴平面ABC⊥平面PBC不成立,②錯;由正六邊形的性質(zhì)得BC∥AD,又AD?平面PAD,BC?平面PAD,∴BC∥平面PAD,∴直線BC∥平面PAE也不成立,③錯;在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°,∴④正確. 答案 ①④ 14.(2016·四川卷)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD. (1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM∥平面PAB,并說明理由. (2)證明:平面PAB⊥平面PBD. (1)解 取棱AD的中點(diǎn)M(M∈平面PAD),點(diǎn)M即為所求的一個點(diǎn),理由如下: 因為AD∥BC,BC=A

14、D.所以BC∥AM,且BC=AM. 所以四邊形AMCB是平行四邊形,從而CM∥AB. 又AB?平面PAB.CM?平面PAB. 所以CM∥平面PAB. (說明:取棱PD的中點(diǎn)N,則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn)) (2)證明 由已知,PA⊥AB,PA⊥CD. 因為AD∥BC,BC=AD, 所以直線AB與CD相交, 所以PA⊥平面ABCD. 又BD?平面ABCD, 從而PA⊥BD.因為AD∥BC,BC=AD, M為AD的中點(diǎn),連接BM,所以BC∥MD,且BC=MD. 所以四邊形BCDM是平行四邊形, 所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB. 又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB. 又BD?平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD. 6

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