2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 專題突破練（7）概率與其他知識(shí)的交匯（理）（含解析）

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1、專題突破練(7)　概率與其他知識(shí)的交匯 一、選擇題 1．(2018·太原五中測(cè)試)在區(qū)間[1，5]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)m，則方程4x2＋m2y2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由方程4x2＋m2y2＝1，即＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，得<，即m2<4，而1≤m≤5，則1≤m＜2，則所求概率為＝．故選B． 2．(2018·湖南六校聯(lián)考)折紙已經(jīng)成為開發(fā)少年兒童智力的一種重要工具和手段，已知在折疊“愛心”活動(dòng)中，會(huì)產(chǎn)生如圖所示的幾何圖形，其中四邊形ABCD為正方形，G為線段BC的中點(diǎn)，四邊形AEFG與四邊形DGHI也是正方形，

2、連接EB，CI，則向多邊形AEFGHID中投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　設(shè)AB＝2，則BG＝1，AG＝，故多邊形AEFGHID的面積S＝()2×2＋×2×2＝12，由sin∠EAB＝cos∠GAB＝＝，所以S陰影部分＝×AE×AB×sin∠EAB＝2，故所求概率P＝＝．故選C． 3．(2018·黑龍江虎林一中期末)若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)(σ>0)，則有如下結(jié)論： P(μ－σ

3、同學(xué)，一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，平均分為120，方差為100，理論上說(shuō)成績(jī)?cè)?30分以上人數(shù)約為(　　) A．19 B．12 C．6 D．5 答案　C 解析　由條件知μ＝120，σ＝10，則P(X>130)＝(1－0．6826)＝0．1587，所以成績(jī)?cè)?30分以上人數(shù)約為40×0．1587≈6．故選C． 4．(2018·廣東三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1，2，3三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　將a記為橫坐標(biāo)，b記為縱坐標(biāo)，可知

4、有(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共9個(gè)基本事件，而函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的條件為其導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)根．因?yàn)閒′(x)＝x2＋2ax＋b2，滿足題中條件為Δ＝4a2－4b2>0，即a>b，所以滿足條件的有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共6個(gè)基本事件，所以所求的概率為P＝＝．故選D． 5．(2018·湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考二)已知實(shí)數(shù)a，b是利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)，設(shè)事件A為“(a－1)2＋b2>”，則事件A發(fā)生的概率為(　　) A． B．1－ C． D．

5、1－ 答案　B 解析　分別以a，b為橫軸和縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，則符合題意的實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)表示的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形及其內(nèi)部，其中使得事件A不發(fā)生的實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)表示的平面區(qū)域?yàn)橐?1，0)為圓心，半徑為的四分之一個(gè)圓及其內(nèi)部，則事件A發(fā)生的概率為＝1－．故選B． 6．(2018·山東青島統(tǒng)測(cè))矩形OABC內(nèi)的陰影部分由曲線f(x)＝sinx(x∈(0，π))及直線x＝a(a∈(0，π))與x軸圍成，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，若落在陰影部分的概率為，則a的值為(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　根據(jù)題意，陰影部分的面積為sinxdx＝1－

6、cosa，矩形的面積為a×＝8，故由幾何概型的概率公式可得＝，解得cosa＝－，所以a＝．故選A． 7．(2018·山西考前適應(yīng)訓(xùn)練)甲、乙二人約定7：10在某處會(huì)面，甲在7：00～7：20內(nèi)某一時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)，乙在7：05～7：20內(nèi)某一時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)，則甲至少需等待乙5分鐘的概率是(　　) A．B．C．D． 答案　C 解析　設(shè)甲、乙到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)刻分別是x，y，則取值范圍為對(duì)應(yīng)區(qū)域是以20和15為邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方形，其中甲至少需等待乙5分鐘滿足y－x≥5，對(duì)應(yīng)區(qū)域是以15為直角邊的等腰直角三角形(如圖中陰影部分(含邊界)所示)，則所求概率為＝．故選C． 二、填空題 8．(201

7、9·成都模擬)甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中成績(jī)的莖葉圖如圖所示，其中一個(gè)數(shù)字被污損，記甲、乙的平均成績(jī)分別為甲，乙，則甲>乙的概率是________． 答案　 解析　乙的綜合測(cè)評(píng)成績(jī)?yōu)?6，87，91，92，94，乙＝＝90，污損處可取數(shù)字0，1，2，…，9，共10種，而甲>乙發(fā)生對(duì)應(yīng)的數(shù)字有6，7，8，9，共4種，故甲>乙的概率為＝． 9．(2018·安徽聯(lián)考)將一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為b，設(shè)任意投擲兩次使l1：x＋ay＝3，l2：bx＋6y＝3平行的概率為P1，不平行的概率為P2，若點(diǎn)(P1，P2)在圓(x－m)2＋y2＝的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)m的

8、取值范圍是________． 答案?。?m< 解析　由l1∥l2得ab＝6且a≠6，b≠1，滿足條件的(a，b)為(1，6)，(2，3)，(3，2)，而所有的(a，b)有6×6＝36種，∴P1＝，P2＝，∴2＋2<，解得－

9、解答題 11．(2018·河北衡水中學(xué)九模)某儀器經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)合格才能出廠，初檢合格率為；若初檢不合格，則需要進(jìn)行調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后再次對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)；若仍不合格，作為廢品處理，再檢合格率為．每臺(tái)儀器各項(xiàng)費(fèi)用如表： 項(xiàng)目 生產(chǎn)成本 檢驗(yàn)費(fèi)/次 調(diào)試費(fèi) 出廠價(jià) 金額(元) 1000 100 200 3000 (1)求每臺(tái)儀器能出廠的概率； (2)求生產(chǎn)一臺(tái)儀器所獲得的利潤(rùn)為1600元的概率(注：利潤(rùn)＝出廠價(jià)－生產(chǎn)成本－檢驗(yàn)費(fèi)－調(diào)試費(fèi))； (3)假設(shè)每臺(tái)儀器是否合格相互獨(dú)立，記X為生產(chǎn)兩臺(tái)儀器所獲得的利潤(rùn)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解　(1)記每臺(tái)儀器不能出廠為事件A，

10、 則P(A)＝1－1－＝， 所以每臺(tái)儀器能出廠的概率為P()＝1－＝． (2)生產(chǎn)一臺(tái)儀器利潤(rùn)為1600元的概率 P＝1－×＝． (3)X的取值可能為3800，3500，3200，500，200，－2800． P(X＝3800)＝×＝， P(X＝3500)＝C××＝， P(X＝3200)＝2＝， P(X＝500)＝C×××＝， P(X＝200)＝C××××＝， P(X＝－2800)＝×2＝， X的分布列為 X 3800 3500 3200 500 200 －2800 P E(X)＝3800×＋3500×＋3200×＋50

11、0×＋200×＋(－2800)×＝3350． 12．(2018·湖南雅禮中學(xué)月考三)某廠用鮮牛奶在某臺(tái)設(shè)備上生產(chǎn)A，B兩種奶制品．生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時(shí)，獲利1000元；生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶1．5噸，使用設(shè)備1．5小時(shí)，獲利1200元．要求每天B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過(guò)A產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過(guò)12小時(shí)．假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W(單位：噸)是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為 W 12 15 18 P 0．3 0．5 0．2 該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利Z(單位：元)是一個(gè)隨機(jī)變量．

12、 (1)求Z的分布列和均值； (2)若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立，求3天中至少有1天的最大獲利超過(guò)10000元的概率． 解　(1)設(shè)每天A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為x，y，相應(yīng)的獲利為z， 則有(*) 目標(biāo)函數(shù)為z＝1000x＋1200y． 將z＝1000x＋1200y變形為l：y＝－x＋，設(shè)l0：y＝－x． 當(dāng)W＝12時(shí)，(*)表示的平面區(qū)域如圖①陰影部分所示，三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0，0)，B(2．4，4．8)，C(6，0)． 平移直線l0知當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)B， 即當(dāng)x＝2．4，y＝4．8時(shí)，z取最大值， 故最大獲利Z＝zmax＝2．4×1000＋4．8×1200＝

13、8160(元)． 當(dāng)W＝15時(shí)，(*)表示的平面區(qū)域如圖②陰影部分所示，三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0，0)，B(3，6)，C(7．5，0)． 平移直線l0知當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)B， 即當(dāng)x＝3，y＝6時(shí)，z取得最大值， 故最大獲利Z＝zmax＝3×1000＋6×1200＝10200(元)． 當(dāng)W＝18時(shí)，(*)表示的平面區(qū)域如圖③陰影部分所示，四個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0，0)，B(3，6)，C(6，4)，D(9，0)． 平移直線l0知當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)C， 即當(dāng)x＝6，y＝4時(shí)，z取得最大值， 故最大獲利Z＝zmax＝6×1000＋4×1200＝10800(元)． 故最大獲利Z的分布列為 Z 8

14、160 10200 10800 P 0．3 0．5 0．2 因此，E(Z)＝8160×0．3＋10200×0．5＋10800×0．2＝9708． (2)由(1)知，一天最大獲利超過(guò)10000元的概率p1＝P(Z>10000)＝0．5＋0．2＝0．7， 由二項(xiàng)分布，3天中至少有1天最大獲利超過(guò)10000元的概率為p＝1－(1－p1)3＝1－0．33＝0．973． 13．(2018·河南八市聯(lián)考一)我們國(guó)家正處于老齡化社會(huì)中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有戶籍人口400萬(wàn)，其中老人(年齡60歲及以上)人數(shù)約有66萬(wàn)，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機(jī)抽取600

15、人并委托醫(yī)療機(jī)構(gòu)免費(fèi)為他們進(jìn)行健康評(píng)估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個(gè)等級(jí)，并以80歲為界限分成兩個(gè)群體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，樣本頻數(shù)分布被制作成如下圖表： (1)若采用分層抽樣的方法從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進(jìn)一步了解他們的生活狀況，則兩個(gè)群體中各應(yīng)抽取多少人？ (2)估算該市80歲及以上老人占全市戶籍人口的百分比； (3)據(jù)統(tǒng)計(jì)該市大約有五分之一的戶籍老人無(wú)固定收入，政府計(jì)劃為這部分老人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼，標(biāo)準(zhǔn)如下： ①80歲及以上老人每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼200元； ②80歲以下老人每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼120元； ③不能自理的老人每人每月額外發(fā)放生

16、活補(bǔ)貼100元． 利用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算．(單位：億元，結(jié)果保留兩位小數(shù)) 解　(1)數(shù)據(jù)整理如下表： 健康狀況 健康 基本健康 不健康尚能自理 不能自理 80歲及以上 20 45 20 15 80歲以下 200 225 50 25 從圖表中知采用分層抽樣的方法從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進(jìn)一步了解他們的生活狀況，80歲及以上應(yīng)抽取8×＝3(人)，80歲以下應(yīng)抽取8×＝5(人)． (2)在600人中80歲及以上老人在老人中占比為＝， 用樣本估計(jì)總體，80歲及以上長(zhǎng)者為66×＝11(萬(wàn)人)， 80歲及以上老人占全市

17、戶籍人口的百分比為×100%＝2．75%． (3)解法一：用樣本估計(jì)總體，設(shè)任一戶籍老人每月享受的生活補(bǔ)助為X元， P(X＝0)＝， P(X＝120)＝×＝， P(X＝200)＝×＝， P(X＝220)＝×＝， P(X＝300)＝×＝， 則隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 120 200 220 300 P E(X)＝＝28， 全市老人的總預(yù)算為28×12×66×104＝2．2176×108元． 故政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算約為2．22億元． 解法二：在無(wú)固定收入的戶籍老人中， 80歲及以上老人有66××＝(萬(wàn))， 80歲以下老人有66××＝11(萬(wàn))， 不能自理老人有66××＝(萬(wàn))． 所以全市老人總預(yù)算為： ×200＋11×120＋×100×104×12＝2．2176×108元． 故政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算約為2．22億元． 11