2015-16學(xué)年第一學(xué)期初二數(shù)學(xué)《全等圖形》期末復(fù)習(xí)講義

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1、2015-16學(xué)年第一學(xué)期蘇科版初二數(shù)學(xué)《全等三角形》復(fù)習(xí)講義 一、知識系統(tǒng)： 二、知識點： 1、定義：能夠完全重合的圖形叫做全等圖形。 （1）“完全重合”是指兩個圖形的形狀相同、大小相等； （2）全等圖形是指兩個或兩個以上的圖形之間的關(guān)系。一個圖形不能稱為全等圖形。 特征：（1）形狀相同；（2）大小相等。 應(yīng)用舉例：（1）下列四個圖形是全等圖形的是（ ） （2）如圖，中有6個條形方格圖，圖上由實線圍成的圖形是全等形的有哪幾對_____． 2、全等圖形作法及分割： （1）全等圖形的作法：依據(jù)圖形的

2、平移、翻折、旋轉(zhuǎn)三種基本變換，作圖的關(guān)鍵是先找出關(guān)鍵點，然后確定關(guān)鍵點經(jīng)過變換后的位置，最后確定圖形的位置。 （2）全等圖形的分割：把一個圖形分割成兩個或幾個全等圖形，一般的分割思路有：（1）利用中心對稱圖形性質(zhì)分割圖形；（2）利用圖形在分割前后面積不變尋求分割方法。 （3）利用全等圖形設(shè)計圖案：先把圖形割補，在設(shè)計圖案，最后無縫拼接。 3、全等三角形的定義及表示（重點） 兩個能夠完全重合的三角形叫做全等三角形。 如圖所示： △ABC與△DEF是全等三角形，記作 △ABC≌△DEF。其中（1）頂點A和D、B和E、C和F叫做對應(yīng)頂點； （2）AB和DE、BC和EF、AC和DF是對

3、應(yīng)邊； （3）∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F叫做對應(yīng)角。 說明：把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角。 （4）找對應(yīng)邊、對應(yīng)角的常用方法： （1） 全等三角形的對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊； （2） 全等三角形的對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角； （3） 有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊； （4） 有公共角的，公共角是對應(yīng)角； （5） 有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角； （6） 全等三角形中一對最長邊（或最大角）是對應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角），一對最短邊（或最小角）是對應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角）。 應(yīng)用舉例：

4、如圖，△ABC≌△ABD，圖中有相等的角嗎？有相等的邊嗎？請找出來，并說明你的理由. 4、全等三角形的性質(zhì)： 全等三角形的對應(yīng)邊相等；對應(yīng)角相等。 幾何語言：如果△ABC≌△DEF，則∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB=DE，AC=DF，BC=EF。 注意：（1）兩個三角形全等是對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等的前提。如果沒有全等三角形，就沒有對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。 （2）利用全等三角形的性質(zhì)解題時，一定要注意“對應(yīng)”二字，在用字母表示時，也要對應(yīng)著寫，兩個對應(yīng)角所對的邊一定是對應(yīng)邊。 （3）兩個三角形全等，就是兩個三角形能夠完全重合。所以不僅對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)角平分線、對應(yīng)高

5、線和對應(yīng)中線也相等，而且它們的周長和面積也相等。 （4）三角形全等具有傳遞性。 5、三角形全等的判定條件：（重點） （1）兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；簡寫作：“SAS”。 （2）兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；簡寫作：“ASA”。 （3）兩角及其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等；簡寫作：“AAS”。 （4）三邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；簡寫作：“SSS”。 D C B A O 1 2 3 4 （5）用“HL”證明兩個直角三角形全等。 應(yīng)用舉例：如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于O點， ∠1＝∠2，∠3

6、＝∠4． 求證：（1）△ABC≌△ADC；（2）BO＝DO． 6、三角形的穩(wěn)定性：如果一個三角形三邊長度確定，那么這個三角形的形狀和大小就完全確定。三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。 應(yīng)用舉例：工人師傅造門時，常用木條EF固定門框ABCD（如圖所示），使其形狀不變，這種做法的依據(jù)是（ ） A、兩點之間線段最短 B、長方形的對稱性 C、長方形四個角都是直角 D、三角形的穩(wěn)定性 7、尺規(guī)作角平分線和垂線：（1）角平分線的作法；（2）過直線外一點作已知直線的垂線。 應(yīng)用舉例：已知：△ABC是等邊三角形． （1）用直尺和圓規(guī)分別作△ABC的角平分

7、線BE、CD，BE，CD交于點O （保留作圖痕跡，不寫作法）； （2）過點C畫射線CF⊥BC，垂足為C，CF交射線BE與點F．求證： △OCF是等邊三角形； （3）若AB=2，請直接寫出△OCF的面積． 三、典型例題： 1、已知，△ABC≌△DEF，△ABC的周長為12cm，AB=4cm，BC=5cm，則DE= ，EF= ，DF= ． 2、如圖，△ABC≌△AEC，B和E為對應(yīng)頂點，∠B=40°， ∠ACB=70°，求△AEC各個內(nèi)角的度數(shù)。 3、△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∠B=28°，∠E=

8、95°，則 ∠BAD的度數(shù)為（ ） A、75° B、57° C、55° D、77° 4、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC=4cm。已知 △BCD≌△ACE。求四邊形AECD面積。 A B C D E 5、已知：如圖，點D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE， 求證：AB=AC． B C D E F A 6、已知：如圖，A、C、F、D在同一直線上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF， 求證：△ABC≌△DEF． B C D E F A 7、已知

9、：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA， 求證：①△BEC≌△DEA； ②DF⊥BC． 8、如圖，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于點O. 求證：(1) △ABC≌△AED； (2) OB＝OE 說明：證明兩個三角形全等時圖形中常用的隱含條件： 判定兩個三角形全等，尋找條件時，應(yīng)該注意圖形中的隱含條件，常見的有：（1）公共邊或公共角相等；（2）對頂角相等；（3）等邊加（或減）等邊，其和（或其差）仍相等；（4）等角加（或減）等角，其和（或差）仍相等；（5）同角或等角的余角（或補角）相等；（6）有中線或角平分線的定義得

10、出線段或角相等；（7）由垂直定義得出直角相等。另外，一些自然規(guī)律如：“太陽光線可以看成是平行的”，“光的反射角等于入射角”等也是常用的隱含條件。 四、基礎(chǔ)訓(xùn)練： 1、如圖，已知AB=AD，要使△ABC≌△ADC，可增加條件 ， 理由是 定理。 2、下列說法中正確的是（ ） A、兩個直角三角形全等 B、兩個等腰三角形全等 C、兩個等邊三角形全等 D、兩條直角邊對應(yīng)相等的直角三角形全等 3、如圖，△ABC中，∠C=90o，AD平分∠CAB交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E， 且CD=6cm，則DE的長為（ ） A、4cm

11、 B、6cm C、8cm D、10cm 4、三角形內(nèi)到三條邊的距離相等的點是（ ） A、三角形的三條角平分線的交點 B、三角形的三條高的交點 C、三角形的三條中線的交點 D、三角形的三邊的垂直平分線的交點 5、三角形內(nèi)到三個頂點的距離相等的點是（ ） A、三角形的三條角平分線的交點 B、三角形的三條高的交點 C、三角形的三條中線的交點 D、三角形的三邊的垂直平分線的交點 6、在△ABC中，∠A=70o，∠B=40o，則△ABC是（ ） A、鈍角三角形 B、等腰三角形 C、等邊三角

12、形 D、等腰直角三角形 7、如圖，AE=BE，∠C=∠D，求證：△ABC≌△BAD。 8、如圖，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直線上，下面有四個條件，請你從中選三個作為題設(shè)，余下的一個作為結(jié)論，寫出一個正確的命題，并加以證明。 ①AB=DE， ②AC=DF， ③∠ABC=∠DEF， ④BE=CF. 解：我寫的真命題是： 在△ABC和△DEF中， 如果 ， 那么 。（不能只填序號） 證明如下： 9、已知：AC ,BD相交于點O

13、，AO=OC，再添加一個什么條件，使兩個三角形全等？ 10、如圖，在△ABC和△EFD中，AD＝FC，AB＝FE，當添加條件_______時，就可得△ABC≌△EFD（SSS） 11、如圖，點E、F在AB上，且AF＝BE，AC＝BD，AC∥BD．求證：CF∥DE 12、如圖1，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D， （1）求證: △BCE≌△CAD； （2）猜想：AD，DE，BE的數(shù)量關(guān)系為 （不需證明）； E B D A 圖2 C B E C D A （3）當CE繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，猜想線段AD，DE，BE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 6