2015-16學(xué)年第一學(xué)期初二數(shù)學(xué)《全等圖形》期末復(fù)習(xí)講義

2015-16學(xué)年第一學(xué)期蘇科版初二數(shù)學(xué)《全等三角形》復(fù)習(xí)講義 一、知識(shí)系統(tǒng)： 二、知識(shí)點(diǎn)： 1、定義：能夠完全重合的圖形叫做全等圖形。 （1）“完全重合”是指兩個(gè)圖形的形狀相同、大小相等； （2）全等圖形是指兩個(gè)或兩個(gè)以上的圖形之間的關(guān)系。一個(gè)圖形不能稱(chēng)為全等圖形。 特征：（1）形狀相同；（2）大小相等。 應(yīng)用舉例：（1）下列四個(gè)圖形是全等圖形的是（ ） （2）如圖，中有6個(gè)條形方格圖，圖上由實(shí)線(xiàn)圍成的圖形是全等形的有哪幾對(duì)_____． 2、全等圖形作法及分割： （1）全等圖形的作法：依據(jù)圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)三種基本變換，作圖的關(guān)鍵是先找出關(guān)鍵點(diǎn)，然后確定關(guān)鍵點(diǎn)經(jīng)過(guò)變換后的位置，最后確定圖形的位置。 （2）全等圖形的分割：把一個(gè)圖形分割成兩個(gè)或幾個(gè)全等圖形，一般的分割思路有：（1）利用中心對(duì)稱(chēng)圖形性質(zhì)分割圖形；（2）利用圖形在分割前后面積不變尋求分割方法。 （3）利用全等圖形設(shè)計(jì)圖案：先把圖形割補(bǔ)，在設(shè)計(jì)圖案，最后無(wú)縫拼接。 3、全等三角形的定義及表示（重點(diǎn)） 兩個(gè)能夠完全重合的三角形叫做全等三角形。 如圖所示： △ABC與△DEF是全等三角形，記作 △ABC≌△DEF。其中（1）頂點(diǎn)A和D、B和E、C和F叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)； （2）AB和DE、BC和EF、AC和DF是對(duì)應(yīng)邊； （3）∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F叫做對(duì)應(yīng)角。 說(shuō)明：把兩個(gè)全等三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。 （4）找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的常用方法： （1） 全等三角形的對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊； （2） 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角； （3） 有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊； （4） 有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角； （5） 有對(duì)頂角的，對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角； （6） 全等三角形中一對(duì)最長(zhǎng)邊（或最大角）是對(duì)應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角），一對(duì)最短邊（或最小角）是對(duì)應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角）。 應(yīng)用舉例：如圖，△ABC≌△ABD，圖中有相等的角嗎？有相等的邊嗎？請(qǐng)找出來(lái)，并說(shuō)明你的理由. 4、全等三角形的性質(zhì)： 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；對(duì)應(yīng)角相等。 幾何語(yǔ)言：如果△ABC≌△DEF，則∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB=DE，AC=DF，BC=EF。 注意：（1）兩個(gè)三角形全等是對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等的前提。如果沒(méi)有全等三角形，就沒(méi)有對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。 （2）利用全等三角形的性質(zhì)解題時(shí)，一定要注意“對(duì)應(yīng)”二字，在用字母表示時(shí)，也要對(duì)應(yīng)著寫(xiě)，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊一定是對(duì)應(yīng)邊。 （3）兩個(gè)三角形全等，就是兩個(gè)三角形能夠完全重合。所以不僅對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)、對(duì)應(yīng)高線(xiàn)和對(duì)應(yīng)中線(xiàn)也相等，而且它們的周長(zhǎng)和面積也相等。 （4）三角形全等具有傳遞性。 5、三角形全等的判定條件：（重點(diǎn)） （1）兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；簡(jiǎn)寫(xiě)作：“SAS”。 （2）兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；簡(jiǎn)寫(xiě)作：“ASA”。 （3）兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；簡(jiǎn)寫(xiě)作：“AAS”。 （4）三邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；簡(jiǎn)寫(xiě)作：“SSS”。 D C B A O 1 2 3 4 （5）用“HL”證明兩個(gè)直角三角形全等。 應(yīng)用舉例：如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于O點(diǎn)， ∠1＝∠2，∠3＝∠4． 求證：（1）△ABC≌△ADC；（2）BO＝DO． 6、三角形的穩(wěn)定性：如果一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)度確定，那么這個(gè)三角形的形狀和大小就完全確定。三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。 應(yīng)用舉例：工人師傅造門(mén)時(shí)，常用木條EF固定門(mén)框ABCD（如圖所示），使其形狀不變，這種做法的依據(jù)是（ ） A、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短 B、長(zhǎng)方形的對(duì)稱(chēng)性 C、長(zhǎng)方形四個(gè)角都是直角 D、三角形的穩(wěn)定性 7、尺規(guī)作角平分線(xiàn)和垂線(xiàn)：（1）角平分線(xiàn)的作法；（2）過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)。 應(yīng)用舉例：已知：△ABC是等邊三角形． （1）用直尺和圓規(guī)分別作△ABC的角平分線(xiàn)BE、CD，BE，CD交于點(diǎn)O （保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）； （2）過(guò)點(diǎn)C畫(huà)射線(xiàn)CF⊥BC，垂足為C，CF交射線(xiàn)BE與點(diǎn)F．求證： △OCF是等邊三角形； （3）若AB=2，請(qǐng)直接寫(xiě)出△OCF的面積． 三、典型例題： 1、已知，△ABC≌△DEF，△ABC的周長(zhǎng)為12cm，AB=4cm，BC=5cm，則DE= ，EF= ，DF= ． 2、如圖，△ABC≌△AEC，B和E為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，∠B=40°， ∠ACB=70°，求△AEC各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。 3、△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∠B=28°，∠E=95°，則 ∠BAD的度數(shù)為（ ） A、75° B、57° C、55° D、77° 4、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC=4cm。已知 △BCD≌△ACE。求四邊形AECD面積。 A B C D E 5、已知：如圖，點(diǎn)D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE， 求證：AB=AC． B C D E F A 6、已知：如圖，A、C、F、D在同一直線(xiàn)上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF， 求證：△ABC≌△DEF． B C D E F A 7、已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA， 求證：①△BEC≌△DEA； ②DF⊥BC． 8、如圖，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于點(diǎn)O. 求證：(1) △ABC≌△AED； (2) OB＝OE 說(shuō)明：證明兩個(gè)三角形全等時(shí)圖形中常用的隱含條件： 判定兩個(gè)三角形全等，尋找條件時(shí)，應(yīng)該注意圖形中的隱含條件，常見(jiàn)的有：（1）公共邊或公共角相等；（2）對(duì)頂角相等；（3）等邊加（或減）等邊，其和（或其差）仍相等；（4）等角加（或減）等角，其和（或差）仍相等；（5）同角或等角的余角（或補(bǔ)角）相等；（6）有中線(xiàn)或角平分線(xiàn)的定義得出線(xiàn)段或角相等；（7）由垂直定義得出直角相等。另外，一些自然規(guī)律如：“太陽(yáng)光線(xiàn)可以看成是平行的”，“光的反射角等于入射角”等也是常用的隱含條件。 四、基礎(chǔ)訓(xùn)練： 1、如圖，已知AB=AD，要使△ABC≌△ADC，可增加條件 ， 理由是 定理。 2、下列說(shuō)法中正確的是（ ） A、兩個(gè)直角三角形全等 B、兩個(gè)等腰三角形全等 C、兩個(gè)等邊三角形全等 D、兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的直角三角形全等 3、如圖，△ABC中，∠C=90º，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E， 且CD=6cm，則DE的長(zhǎng)為（ ） A、4cm B、6cm C、8cm D、10cm 4、三角形內(nèi)到三條邊的距離相等的點(diǎn)是（ ） A、三角形的三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn) B、三角形的三條高的交點(diǎn) C、三角形的三條中線(xiàn)的交點(diǎn) D、三角形的三邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn) 5、三角形內(nèi)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是（ ） A、三角形的三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn) B、三角形的三條高的交點(diǎn) C、三角形的三條中線(xiàn)的交點(diǎn) D、三角形的三邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn) 6、在△ABC中，∠A=70º，∠B=40º，則△ABC是（ ） A、鈍角三角形 B、等腰三角形 C、等邊三角形 D、等腰直角三角形 7、如圖，AE=BE，∠C=∠D，求證：△ABC≌△BAD。 8、如圖，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直線(xiàn)上，下面有四個(gè)條件，請(qǐng)你從中選三個(gè)作為題設(shè)，余下的一個(gè)作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題，并加以證明。 ①AB=DE， ②AC=DF， ③∠ABC=∠DEF， ④BE=CF. 解：我寫(xiě)的真命題是： 在△ABC和△DEF中， 如果 ， 那么 。（不能只填序號(hào)） 證明如下： 9、已知：AC ,BD相交于點(diǎn)O，AO=OC，再添加一個(gè)什么條件，使兩個(gè)三角形全等？ 10、如圖，在△ABC和△EFD中，AD＝FC，AB＝FE，當(dāng)添加條件_______時(shí)，就可得△ABC≌△EFD（SSS） 11、如圖，點(diǎn)E、F在AB上，且AF＝BE，AC＝BD，AC∥BD．求證：CF∥DE 12、如圖1，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D， （1）求證: △BCE≌△CAD； （2）猜想：AD，DE，BE的數(shù)量關(guān)系為 （不需證明）； E B D A 圖2 C B E C D A （3）當(dāng)CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，猜想線(xiàn)段AD，DE，BE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 6