(廣東專用)2013高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第七章第三節(jié) 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練 理

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1、課時(shí)知能訓(xùn)練 一、選擇題                  1.已知異面直線a,b分別在平面α,β內(nèi),且α∩β=c,那么直線c一定(  ) A.與a,b都相交 B.只能與a,b中的一條相交 C.至少與a,b中的一條相交 D.與a,b都平行 【解析】 若c與a,b都不相交,則c與a,b都平行,則a∥b與a,b異面相矛盾. 【答案】 C 圖7-3-8 2.如圖7-3-8所示,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且C?l,直線AB∩l=M,過(guò)A、B、C三點(diǎn)的平面記作γ,則γ與β的交線必通過(guò)(  ) A.點(diǎn)A B.點(diǎn)B C.點(diǎn)C但不過(guò)點(diǎn)M D.點(diǎn)C和點(diǎn)M 【解析】 易知

2、γ過(guò)C點(diǎn),且M∈AB, ∴M∈γ,∴γ也過(guò)M點(diǎn). 【答案】 D 3.下列四個(gè)命題中,真命題的個(gè)數(shù)為(  ) (1)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面重合; (2)兩條直線可以確定一個(gè)平面; (3)若M∈α,M∈β,α∩β=l,則M∈l; (4)空間中,相交于同一點(diǎn)的三直線在同一平面內(nèi). A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 (1)錯(cuò),如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面重合,此命題在三點(diǎn)不共線時(shí)才成立. (2)錯(cuò),兩直線是異面直線時(shí)不能確定一個(gè)平面. (3)對(duì),若M∈α,M∈β,α∩β=l,則M∈l. (4)錯(cuò),空間

3、中,相交于同一點(diǎn)的三直線不一定在同一平面內(nèi). 【答案】 A 圖7-3-9 4.如圖7-3-9,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,過(guò)頂點(diǎn)A1與正方體其他頂點(diǎn)的連線與直線BC1成60°角的條數(shù)為(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 直線A1C1、直線A1B都與BC1成60°的角. 【答案】 B 5.已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=2AB,E為AA1中點(diǎn),則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為(  ) A.    B.    C.    D. 【解析】 取DD1的中點(diǎn)F,連結(jié)CF,∠D1CF為所成的角或其補(bǔ)角,取AB

4、=1,cos∠D1CF==. 【答案】 C 二、填空題 圖7-3-10 6.如圖7-3-10所示,若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2,高為4,則異面直線BD1與AD所成的角的正切值是________. 【解析】 因?yàn)锳D∥A1D1,異面直線BD1與AD所成的角就是BD1與A1D1所成的角,即∠A1D1B. 由勾股定理,得A1B=2, tan ∠A1D1B=. 【答案】  7.(2012·惠州質(zhì)檢)a,b,c是空間中的三條直線,下面給出五個(gè)命題: ①若a∥b,b∥c,則a∥c; ②若a⊥b,b⊥c,則a∥c; ③若a與b相交,b與c相交,則a與c相交;

5、 ④若a?平面α,b?平面β,則a,b一定是異面直線. 上述命題中正確的命題是________(只填序號(hào)). 【解析】 由公理4知①正確;當(dāng)a⊥b,b⊥c時(shí),a與c相交、平行,也可以異面,故②不正確;當(dāng)a與b相交,b與c相交時(shí),a與c相交、平行,也可以異面,故③不正確;a?α,b?β,并不能說(shuō)明a與b“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”,故④不正確. 【答案】 ① 圖7-3-11 8.一個(gè)正方體紙盒展開后如圖7-3-11所示,在原正方體紙盒中有如下結(jié)論: ①AB⊥EF; ②AB與CM所成的角為60°; ③EF與MN是異面直線; ④MN∥CD. 以上四個(gè)命題中,正確命題的序號(hào)是__

6、______. 【解析】 把正方體的平面展開圖還原成原來(lái)的正方體,如圖所示,則AB⊥EF,EF與MN為異面直線,AB∥CM,MN⊥CD. 所以①③正確. 【答案】?、佗? 三、解答題 圖7-3-12 9.在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1的A1C1面上有一點(diǎn)P(如圖7-3-12所示,其中P點(diǎn)不在對(duì)角線B1D1)上. (1)過(guò)P點(diǎn)在空間作一直線l,使l∥直線BD,應(yīng)該如何作圖?并說(shuō)明理由; (2)過(guò)P點(diǎn)在平面A1C1內(nèi)作一直線m,使m與直線BD成α角,其中α∈(0,],這樣的直線有幾條,應(yīng)該如何作圖? 【解】 (1)連結(jié)B1D1,BD,在平面A1C1內(nèi)過(guò)P作直線l,使l∥

7、B1D1,則l即為所求作的直線. ∵B1D1∥BD,l∥B1D1,∴l(xiāng)∥直線BD.如圖(1) (1) (2)在平面A1C1內(nèi)作直線m,使m與B1D1相交成α角, ∵BD∥B1D1, ∴直線m與直線BD也成α角,如圖(2). 由圖知m與BD是異面直線,且m與BD所成的角α∈(0,]. (2) 當(dāng)α=時(shí),這樣的直線m有且只有一條;當(dāng)α≠時(shí),這樣的直線m有兩條. 圖7-3-13 10.如圖7-3-13所示,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E為DA的中點(diǎn).求異面直線BE與CD所成角的余弦值. 【解】 取AC的中點(diǎn)

8、F,連結(jié)EF,BF,在△ACD中,E、F分別是AD、AC的中點(diǎn),∴EF∥CD. ∴∠BEF即為異面直線BE與CD所成的角或其補(bǔ)角. 在Rt△EAB中,AB=AC=1,AE=AD=, ∴BE=. 在Rt△EAF中,AF=AC=,AE=,∴EF=. 在Rt△BAF中,AB=1,AF=,∴BF=. 在等腰三角形EBF中, cos∠FEB===, ∴異面直線BE與CD所成角的余弦值為. 圖7-3-14 11.如圖7-3-14,三棱錐P—ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中點(diǎn). (1)求異面直線AE和PB所成角的余弦值; (2)求三棱錐A—EBC的體積. 【解】 (1)取BC的中點(diǎn)F,連結(jié)EF,AF,則EF∥PB. 所以∠AEF就是異面直線AE和PB所成的角或其補(bǔ)角. ∵∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC, ∴AF=,AE=,EF=, cos∠AEF==. (2)因?yàn)镋是PC中點(diǎn), 所以E到平面ABC的距離為PA=1, VA—EBC=VE—ABC=××4×1=.

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