（廣東專用）2013高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第七章第三節(jié) 課時跟蹤訓(xùn)練 理

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1、課時知能訓(xùn)練 一、選擇題 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直線c一定(　　) A．與a，b都相交 B．只能與a，b中的一條相交 C．至少與a，b中的一條相交 D．與a，b都平行 【解析】　若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，則a∥b與a，b異面相矛盾． 【答案】　C 圖7－3－8 2．如圖7－3－8所示，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A、B、C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過(　　) A．點A B．點B C．點C但不過點M D．點C和點M 【解析】　易知

2、γ過C點，且M∈AB， ∴M∈γ，∴γ也過M點． 【答案】　D 3．下列四個命題中，真命題的個數(shù)為(　　) (1)如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合； (2)兩條直線可以確定一個平面； (3)若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l； (4)空間中，相交于同一點的三直線在同一平面內(nèi)． A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　(1)錯，如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合，此命題在三點不共線時才成立． (2)錯，兩直線是異面直線時不能確定一個平面． (3)對，若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l. (4)錯，空間

3、中，相交于同一點的三直線不一定在同一平面內(nèi)． 【答案】　A 圖7－3－9 4．如圖7－3－9，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，過頂點A1與正方體其他頂點的連線與直線BC1成60°角的條數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　直線A1C1、直線A1B都與BC1成60°的角． 【答案】　B 5．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1中點，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【解析】　取DD1的中點F，連結(jié)CF，∠D1CF為所成的角或其補(bǔ)角，取AB

4、＝1，cos∠D1CF＝＝. 【答案】　C 二、填空題 圖7－3－10 6．如圖7－3－10所示，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面邊長為2，高為4，則異面直線BD1與AD所成的角的正切值是________． 【解析】　因為AD∥A1D1，異面直線BD1與AD所成的角就是BD1與A1D1所成的角，即∠A1D1B. 由勾股定理，得A1B＝2， tan ∠A1D1B＝. 【答案】　 7．(2012·惠州質(zhì)檢)a，b，c是空間中的三條直線，下面給出五個命題： ①若a∥b，b∥c，則a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，則a∥c； ③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；

5、 ④若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線． 上述命題中正確的命題是________(只填序號)． 【解析】　由公理4知①正確；當(dāng)a⊥b，b⊥c時，a與c相交、平行，也可以異面，故②不正確；當(dāng)a與b相交，b與c相交時，a與c相交、平行，也可以異面，故③不正確；a?α，b?β，并不能說明a與b“不同在任何一個平面內(nèi)”，故④不正確． 【答案】?、? 圖7－3－11 8．一個正方體紙盒展開后如圖7－3－11所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論： ①AB⊥EF； ②AB與CM所成的角為60°； ③EF與MN是異面直線； ④MN∥CD. 以上四個命題中，正確命題的序號是__

6、______． 【解析】　把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體，如圖所示，則AB⊥EF，EF與MN為異面直線，AB∥CM，MN⊥CD. 所以①③正確． 【答案】?、佗? 三、解答題 圖7－3－12 9．在長方體ABCD—A1B1C1D1的A1C1面上有一點P(如圖7－3－12所示，其中P點不在對角線B1D1)上． (1)過P點在空間作一直線l，使l∥直線BD，應(yīng)該如何作圖？并說明理由； (2)過P點在平面A1C1內(nèi)作一直線m，使m與直線BD成α角，其中α∈(0，]，這樣的直線有幾條，應(yīng)該如何作圖？ 【解】　(1)連結(jié)B1D1，BD，在平面A1C1內(nèi)過P作直線l，使l∥

7、B1D1，則l即為所求作的直線． ∵B1D1∥BD，l∥B1D1，∴l(xiāng)∥直線BD.如圖(1) (1) (2)在平面A1C1內(nèi)作直線m，使m與B1D1相交成α角， ∵BD∥B1D1， ∴直線m與直線BD也成α角，如圖(2)． 由圖知m與BD是異面直線，且m與BD所成的角α∈(0，]． (2) 當(dāng)α＝時，這樣的直線m有且只有一條；當(dāng)α≠時，這樣的直線m有兩條． 圖7－3－13 10．如圖7－3－13所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點．求異面直線BE與CD所成角的余弦值． 【解】　取AC的中點

8、F，連結(jié)EF，BF，在△ACD中，E、F分別是AD、AC的中點，∴EF∥CD. ∴∠BEF即為異面直線BE與CD所成的角或其補(bǔ)角． 在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝AD＝， ∴BE＝. 在Rt△EAF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝. 在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝. 在等腰三角形EBF中， cos∠FEB＝＝＝， ∴異面直線BE與CD所成角的余弦值為. 圖7－3－14 11．如圖7－3－14，三棱錐P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中點． (1)求異面直線AE和PB所成角的余弦值； (2)求三棱錐A—EBC的體積． 【解】　(1)取BC的中點F，連結(jié)EF，AF，則EF∥PB. 所以∠AEF就是異面直線AE和PB所成的角或其補(bǔ)角． ∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC， ∴AF＝，AE＝，EF＝， cos∠AEF＝＝. (2)因為E是PC中點， 所以E到平面ABC的距離為PA＝1， VA—EBC＝VE—ABC＝××4×1＝.