高中數(shù)學 3-2第2課時 空間向量與垂直關系 活頁規(guī)范訓練 新人教A版選修2-1

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1、第2課時 空間向量與垂直關系 雙基達標　(限時20分鐘) 1．若直線l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量為u＝(－2，0，－4)，則 (　　)． A．l∥α B．l⊥α C．l?α D．l與α斜交 解析　∴u＝－2a，∴a∥u，∴l(xiāng)⊥α. 答案　B 2．若a＝(2，－1，0)，b＝(3，－4，7)，且(λa＋b)⊥a，則λ的值是 (　　)． A．0 B．1

2、 C．－2 D．2 解析　λa＋b＝λ(2，－1，0)＋(3，－4，7)＝(3＋2λ，－4－λ，7) ∵(λa＋b)⊥a ∴2(3＋2λ)＋4＋λ＝0，即λ＝－2. 答案　C 3．若平面α、β的法向量分別為a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，則x的值為 (　　)． A．10 B．－10 C. D．－ 解析　因為α⊥β，則

3、它們的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1，2，4)·(x，－1，－2) ＝0，解得x＝－10. 答案　B 4．若l的方向向量為(2，1，m)，平面α的法向量為(1，，2)，且l⊥α，則m＝________． 解析　由l⊥α得，＝＝，即m＝4. 答案　4 5．設A是空間任一點，n為空間內(nèi)任一非零向量，則適合條件·n＝0的點M的軌跡是________． 解析　∵·n＝0，∴⊥n，或＝0，∴M點在過A且與n垂直的平面上． 答案　過A且以n為法向量的平面 6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為DD1的中點，O為底面ABCD的中心，求證：OB1⊥平面PAC. 證明　如圖，建

4、立空間直角坐標系，不妨設正方體棱長為2，則 A(2，0，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)， B1(2，2，2)，O(1，1，0)． 于是＝(1，1，2)， ＝(－2，2，0)， ＝(－2，0，1)， 由于·＝－2＋2＋0＝0 及·＝－2＋0＋2＝0. ∴⊥，⊥， ∴OB1⊥AC，OB1⊥AP. 又AC∩AP＝A，∴OB1⊥平面PAC. 綜合提高（限時25分鐘） 7．兩平面α、β的法向量分別為u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，則y＋z的值是

5、 (　　)． A．－3 B．6 C．－6 D．－12 解析　α⊥β?u·v＝0?－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6. 答案　B 8．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，若E為A1C1的中點，則直線CE垂直于 (　　)． A．AC B．BD C．A1D D．A1A 解析　建立如圖所示的空間直角坐標系．設正方體的棱 長為1.則 A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，0，0)， A1(0，1，1)，

6、C1(1，0，1)，E(，，1)， ∴＝(－，，1)， ＝(1，－1，0)，＝(－1，－1，0)， ＝(0，－1，－1)，＝(0，0，－1) ∵·＝(－1)×(－)＋(－1)×＋0×1＝0， ∴CE⊥BD 答案　B 9．向量a＝(－1，2，－4)，b＝(2，－2，3)是平面α內(nèi)的兩個不共線的向量，直線l的一個方向向量m＝(2，3，1)，則l與α是否垂直？______(填“是”或“否”)． 解析　m·a＝(2，3，1)·(－1，2，－4) ＝－2＋6－4＝0， m·b＝(2，3，1)·(2，－2，3)＝4－6＋3＝1≠0. ∴l(xiāng)與α不垂直． 答案　否 10．已知點A，B

7、，C的坐標分別為(0，1，0)，(－1，0，1)，(2，1，1)，點P的坐標為(x，0，z)，若⊥，⊥，則點P的坐標為________． 解析　因為＝(－1，－1，1)，＝(2，0，1)，＝(－x，1，－z)， 由·＝0，·＝0，得 則x＝，z＝－， 所以P(，0，－)． 答案　(，0，－) 11．三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC.A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D為BC中點． 證明：平面A1AD⊥平面BCC1B1. 證明　法一　如圖，建立空間直角坐標系．則 A(0，0，0)，B(2，0，0)

8、，C(0，2，0)，A1(0，0，)，C1(0， 1，)， ∵D為BC的中點， ∴D點坐標為(1，1，0)， ∴＝(－2，2，0)，＝(1，1，0)，＝(0，0，)， ∵·＝－2＋2＋0＝0，·＝0＋0＋0＝0， ∴⊥，⊥，∴BC⊥AD，BC⊥AA1， 又AD∩AA1＝A，∴BC⊥平面ADA1， 而BC?平面BCC1B1， ∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. 法二　同法一，得 ＝(0，0，)，＝(1，1，0)， ＝(－2，2，0)，＝(0，－1，)， 設平面A1AD的法向量n1＝(x1，y1，z1)， 平面BCC1B1的法向量為n2＝(x2，y2，z2)． 由

9、得 令y1＝－1得x1＝1，z1＝0， ∴n1＝(1，－1，0)． 由得 令y2＝1，得x2＝1，z2＝， ∴n2＝(1，1，)． ∴n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2. ∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. 12．(創(chuàng)新拓展)如圖所示，矩形ABCD的邊AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，現(xiàn)有數(shù)據(jù)：a＝；a＝1；a＝2；a＝；a＝4. 若在BC邊上存在點Q，使PQ⊥QD，則a可以取所給數(shù)據(jù) 中的哪些值？并說明理由． 解　建立如圖所示的空間直角坐標系， 則A(0，0，0)，P(0，0，2)，D(0，2，0)． 設Q(a，x，0)(BQ＝x，0≤x≤2)， 于是＝(a，x，－2)，＝(－a，2－x，0)． 由PQ⊥QD得 ·＝－a2＋x(2－x)－2×0＝0， 即x2－2x＋a2＝0，此方程有解，Δ≥0， ∴0