3．4 基本不等式1

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1、 蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué) 必修5 §3.4 基本不等式(第一課時(shí)） 江蘇省西亭高級(jí)中學(xué) 王小亮 【教學(xué)目標(biāo)】 知識(shí)目標(biāo)： （1）探索并了解基本不等式，通過(guò)基本不等式的多種不同表征形式，揭示公式本質(zhì)． （2）通過(guò)基本不等式的證明過(guò)程，了解演繹證明的三種常用方法，即比較法、分析法、綜合法，并能運(yùn)用三種方法證明簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題． （3）通過(guò)“整體代換”基本不等式，得出其它不等式，并會(huì)用基本不等式來(lái)證明不等式． 過(guò)程與方法： （1）通過(guò)圖形得出不等式，并結(jié)合代數(shù)方法來(lái)進(jìn)行嚴(yán)格證明，在得出基本不等式的探索過(guò)程中，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合

2、思想，體會(huì)由感性上升到理性的思維過(guò)程． （2）在利用基本不等式變形形式結(jié)論的過(guò)程中，通過(guò)整體代換，先編題后解題，且由簡(jiǎn)單的代換和配湊后的代換，體會(huì)不等式的產(chǎn)生，發(fā)展過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)的靈活變化特點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力． 情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)： 1. 通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)相等和不等的辯證關(guān)系，“不等”是普遍的，絕對(duì)的，而“相等”是局部的，相對(duì)的． 2.通過(guò)學(xué)生的親身編題，讓其它同學(xué)證明，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生分析、探究的學(xué)習(xí)態(tài)度． 教學(xué)重點(diǎn)：基本不等式及利用基本不等式證明不等式． 教學(xué)難點(diǎn)：不等式的證明方法. 【學(xué)法與教學(xué)用具】 1. 學(xué)法：自主探究、合作交流、共同總結(jié)、自主運(yùn)

3、用。 2.學(xué)法指導(dǎo)：主要讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，課上盡可能多地讓他們探究，教師只是加以點(diǎn)撥；發(fā)現(xiàn)，證明過(guò)程基本以學(xué)生為主，其中分析法，綜合法的介紹以及知識(shí)的建構(gòu)是以教師引導(dǎo)為主，在新知運(yùn)用模塊也是堅(jiān)持學(xué)生為主體，適當(dāng)?shù)臅r(shí)候加以引導(dǎo),通過(guò)“編題-變題-解題”的方式呈現(xiàn)，并體驗(yàn)探究、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的樂(lè)趣． 3.教法：開(kāi)放式探究、啟發(fā)式引導(dǎo)、互動(dòng)式討論. 4.教學(xué)用具：多媒體 【教學(xué)過(guò)程】 一、 情境設(shè)置，提出問(wèn)題 師：在現(xiàn)實(shí)生活中，有很多相等和不等的關(guān)系，數(shù)學(xué)中同樣存在，例如“三角形中內(nèi)角和等于180°，兩邊之和大于第三邊”等等，今天，這堂課我們繼續(xù)來(lái)探究數(shù)學(xué)中的相等和不等關(guān)系.數(shù)學(xué)源于生活，

4、首先一起來(lái)探究實(shí)際生活中的實(shí)際問(wèn)題： 問(wèn)題1:某半圓拱梁示意圖如圖所示，半圓拱梁由豎直方向支柱支撐，現(xiàn)有一根嚴(yán)重破損需要更換，在測(cè)得到直徑兩端的水平距離分別為20m，80m的條件下，如何合理推算出該支柱的高度？（討論交流解決方案，無(wú)需給出結(jié)果） A B H C 圖2 圖1 生：暢所欲言，羅列以下方法：建系，補(bǔ)全圓（相交弦定理），構(gòu)造直角三角形（三角形相似，射影定

5、理） 師：推廣到一般情況： 問(wèn)題2：如圖2 ，設(shè)，則________，半徑=________. 生：， 問(wèn)題3：能否比較這兩個(gè)量的大??？ 師：當(dāng)時(shí)，-------8分鐘. 過(guò)渡語(yǔ)：剛剛我們從幾何圖形的角度得到當(dāng)時(shí)，.，而數(shù)學(xué)最讓人崇拜的就是其理性精神，所以我們不能滿(mǎn)足于直觀(guān)所獲得的認(rèn)知，而要用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评韥?lái)證明.請(qǐng)用代數(shù)方法給出證明.并將完整的證明過(guò)程書(shū)寫(xiě)在學(xué)案活動(dòng)一的位置. 二、合作探究，理性論證（約12分鐘） 活動(dòng)二 證明：（將證明過(guò)程寫(xiě)在答題區(qū)域內(nèi)）（學(xué)生自主證明，展示）自主證明大約4分鐘 師：下面我們一起探討代數(shù)證明都有哪些方法？先找用作差比較法的學(xué)生展示，點(diǎn)評(píng)：該同

6、學(xué)采用是作差比較法.作差后，通過(guò)配方說(shuō)明恒大于等于零，從而說(shuō)明恒成立.很好?。ò鍟?shū)（作差）比較法）. 師：轉(zhuǎn)化為只要證明，轉(zhuǎn)化為只要證明，進(jìn)一步分析為要原不等式成立，只需成立，而最后一個(gè)不等式是成立的，則反推出.很好，這種從結(jié)論出發(fā)，分析尋找要它成立的條件，這種證法形象稱(chēng)為分析法，但它對(duì)書(shū)寫(xiě)的要求很高，前面必須要加上“要證，只要證……”當(dāng)然我們書(shū)寫(xiě)時(shí)也可以在分析法的基礎(chǔ)上，改變書(shū)寫(xiě)順序.從條件出發(fā)，推出結(jié)論.也就是另外一種書(shū)寫(xiě)的方法：綜合法. 師：剛剛我們從三種方法：比較法，分析法，綜合法給出猜想的嚴(yán)格證明，說(shuō)明是嚴(yán)格成立的.并且從比較法中可以看出，出現(xiàn)，a和b的約束，也可以=0，也就是條

7、件為，且當(dāng)a=b時(shí)，即為，反過(guò)來(lái)要只能a=b.故取等號(hào)的條件是，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí).這就是本課我們要學(xué)習(xí)的基本不等式.（亮課題，板書(shū)課題） 同時(shí)思考，基本不等式成立的條件，等號(hào)成立的條件，基本形式分別是什么？ 三、嚴(yán)謹(jǐn)思維，構(gòu)建新知 當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)） 師：這就是本節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的基本不等式，對(duì)于基本不等式： （1）條件是什么？ （2）何時(shí)等號(hào)成立？ （3）基本形式：積與和的不等關(guān)系. 生說(shuō)師寫(xiě).（1）;（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到“=”.（3）師：左邊出現(xiàn)ab，右邊出現(xiàn)a+b的形式，也就積與和的不等關(guān)系. 師：其中稱(chēng)為a，b的幾何平均數(shù). 稱(chēng)為a.b的算術(shù)平均數(shù)，也就是

8、兩個(gè) 非負(fù)數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù).如果從數(shù)列的角度理解就是正的 等比中項(xiàng)不大于等差中項(xiàng).它們的幾何意義就是“半弦不大于半徑”. 師：當(dāng)然除了基本不等式有特殊的代數(shù)意義和幾何意義外，，它還可以通過(guò)變形 和代換推出其它很多的不等式，變形：，兩邊平方得：. 學(xué)習(xí)了基本不等式，我們應(yīng)該如何使用呢？這里，兩個(gè)a，b可以用是兩個(gè)非負(fù) 的常數(shù)，也可以是兩個(gè)非負(fù)的表達(dá)式，比如：， 等等，代換的表達(dá)式是一個(gè)變量，多個(gè)變量，可以是一次式，二次式，分式，根 式，指數(shù)式，對(duì)數(shù)式……，只需替換的兩個(gè)表達(dá)式是非負(fù)數(shù)即可.接下來(lái)由你們 用兩個(gè)非負(fù)的表達(dá)式來(lái)代換a，b，，并把不等式及不等式成立

9、的條件寫(xiě)在例1 的位置，選擇部分同學(xué)將它作為本節(jié)課的例題，一起來(lái)給予證明. -25分鐘 四、編證演練，鞏固新知 活動(dòng)二 請(qǐng)你用基本不等式：當(dāng)時(shí)，通過(guò)代換a，b，得到不等式. 教學(xué)設(shè)想：1.發(fā)揮學(xué)生的主觀(guān)能動(dòng)性，創(chuàng)造力. 2.最好出現(xiàn)：，，，，， 3.選擇兩個(gè)：其中一個(gè)我證.另外一個(gè)與書(shū)上的例題相同形式的學(xué)生證.（如果未出現(xiàn)，在的基礎(chǔ)上，一邊變成常數(shù)，修改.）讓其它同學(xué)證明.點(diǎn)評(píng)：要是一邊是常數(shù)，只需代換基本不等式的兩個(gè)表達(dá)式的乘積是定值就可以了. 4.進(jìn)一步深化，我來(lái)編一個(gè)，你們來(lái)證：. （如果學(xué)生沒(méi)有證到，我就將替換的過(guò)程，以引導(dǎo)學(xué)生證明） 五、總結(jié)提

10、煉，內(nèi)化新知 1.知識(shí)結(jié)構(gòu)；通過(guò)變形和代換得到其它不等式. 2.學(xué)習(xí)過(guò)程； 觀(guān)察 猜想 證明 應(yīng)用，從感性到理性；從編題到解題. 3.思想方法：.數(shù)形結(jié)合思想，整體代換思想. 其實(shí)今天這堂課不僅收獲了基本不等式，替換得到的很多不等式，這些都是我們同學(xué)自己發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證的，說(shuō)明我們同學(xué)還是很有創(chuàng)造力和想象力，在今后的學(xué)習(xí)中，敢于創(chuàng)新，勇于鉆研，我們?cè)谧亩伎赡艹蔀榈芽? 六、課外作業(yè)，延伸新知 （1）必做題：課本P98 1，2，6，7． （2）探究題：請(qǐng)?jiān)谡n后利用基本不等式 當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”），通過(guò)代換a，b，“造”出一些不等式．請(qǐng)用“我編你證”模式完成：求證：若 ，則 ． 投影儀 課題 1.基本不等式.:…… 2.證明方法……. 3.變形 4.代換 七、板書(shū)設(shè)計(jì)