3．4 基本不等式1

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1、 蘇教版普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué) 必修5 §3.4 基本不等式(第一課時） 江蘇省西亭高級中學(xué) 王小亮 【教學(xué)目標】 知識目標： （1）探索并了解基本不等式，通過基本不等式的多種不同表征形式，揭示公式本質(zhì)． （2）通過基本不等式的證明過程，了解演繹證明的三種常用方法，即比較法、分析法、綜合法，并能運用三種方法證明簡單的數(shù)學(xué)命題． （3）通過“整體代換”基本不等式，得出其它不等式，并會用基本不等式來證明不等式． 過程與方法： （1）通過圖形得出不等式，并結(jié)合代數(shù)方法來進行嚴格證明，在得出基本不等式的探索過程中，強化數(shù)形結(jié)合

2、思想，體會由感性上升到理性的思維過程． （2）在利用基本不等式變形形式結(jié)論的過程中，通過整體代換，先編題后解題，且由簡單的代換和配湊后的代換，體會不等式的產(chǎn)生，發(fā)展過程，體會數(shù)學(xué)的靈活變化特點，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力． 情感、態(tài)度與價值觀： 1. 通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，認識相等和不等的辯證關(guān)系，“不等”是普遍的，絕對的，而“相等”是局部的，相對的． 2.通過學(xué)生的親身編題，讓其它同學(xué)證明，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生分析、探究的學(xué)習(xí)態(tài)度． 教學(xué)重點：基本不等式及利用基本不等式證明不等式． 教學(xué)難點：不等式的證明方法. 【學(xué)法與教學(xué)用具】 1. 學(xué)法：自主探究、合作交流、共同總結(jié)、自主運

3、用。 2.學(xué)法指導(dǎo)：主要讓學(xué)生動手實踐，課上盡可能多地讓他們探究，教師只是加以點撥；發(fā)現(xiàn)，證明過程基本以學(xué)生為主，其中分析法，綜合法的介紹以及知識的建構(gòu)是以教師引導(dǎo)為主，在新知運用模塊也是堅持學(xué)生為主體，適當?shù)臅r候加以引導(dǎo),通過“編題-變題-解題”的方式呈現(xiàn)，并體驗探究、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的樂趣． 3.教法：開放式探究、啟發(fā)式引導(dǎo)、互動式討論. 4.教學(xué)用具：多媒體 【教學(xué)過程】 一、 情境設(shè)置，提出問題 師：在現(xiàn)實生活中，有很多相等和不等的關(guān)系，數(shù)學(xué)中同樣存在，例如“三角形中內(nèi)角和等于180°，兩邊之和大于第三邊”等等，今天，這堂課我們繼續(xù)來探究數(shù)學(xué)中的相等和不等關(guān)系.數(shù)學(xué)源于生活，

4、首先一起來探究實際生活中的實際問題： 問題1:某半圓拱梁示意圖如圖所示，半圓拱梁由豎直方向支柱支撐，現(xiàn)有一根嚴重破損需要更換，在測得到直徑兩端的水平距離分別為20m，80m的條件下，如何合理推算出該支柱的高度？（討論交流解決方案，無需給出結(jié)果） A B H C 圖2 圖1 生：暢所欲言，羅列以下方法：建系，補全圓（相交弦定理），構(gòu)造直角三角形（三角形相似，射影定

5、理） 師：推廣到一般情況： 問題2：如圖2 ，設(shè)，則________，半徑=________. 生：， 問題3：能否比較這兩個量的大?。? 師：當時，-------8分鐘. 過渡語：剛剛我們從幾何圖形的角度得到當時，.，而數(shù)學(xué)最讓人崇拜的就是其理性精神，所以我們不能滿足于直觀所獲得的認知，而要用嚴謹?shù)耐评韥碜C明.請用代數(shù)方法給出證明.并將完整的證明過程書寫在學(xué)案活動一的位置. 二、合作探究，理性論證（約12分鐘） 活動二 證明：（將證明過程寫在答題區(qū)域內(nèi)）（學(xué)生自主證明，展示）自主證明大約4分鐘 師：下面我們一起探討代數(shù)證明都有哪些方法？先找用作差比較法的學(xué)生展示，點評：該同

6、學(xué)采用是作差比較法.作差后，通過配方說明恒大于等于零，從而說明恒成立.很好?。ò鍟ㄗ鞑睿┍容^法）. 師：轉(zhuǎn)化為只要證明，轉(zhuǎn)化為只要證明，進一步分析為要原不等式成立，只需成立，而最后一個不等式是成立的，則反推出.很好，這種從結(jié)論出發(fā)，分析尋找要它成立的條件，這種證法形象稱為分析法，但它對書寫的要求很高，前面必須要加上“要證，只要證……”當然我們書寫時也可以在分析法的基礎(chǔ)上，改變書寫順序.從條件出發(fā)，推出結(jié)論.也就是另外一種書寫的方法：綜合法. 師：剛剛我們從三種方法：比較法，分析法，綜合法給出猜想的嚴格證明，說明是嚴格成立的.并且從比較法中可以看出，出現(xiàn)，a和b的約束，也可以=0，也就是條

7、件為，且當a=b時，即為，反過來要只能a=b.故取等號的條件是，當且僅當a=b時.這就是本課我們要學(xué)習(xí)的基本不等式.（亮課題，板書課題） 同時思考，基本不等式成立的條件，等號成立的條件，基本形式分別是什么？ 三、嚴謹思維，構(gòu)建新知 當時，（當且僅當時，取到等號） 師：這就是本節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的基本不等式，對于基本不等式： （1）條件是什么？ （2）何時等號成立？ （3）基本形式：積與和的不等關(guān)系. 生說師寫.（1）;（2）當且僅當時，取到“=”.（3）師：左邊出現(xiàn)ab，右邊出現(xiàn)a+b的形式，也就積與和的不等關(guān)系. 師：其中稱為a，b的幾何平均數(shù). 稱為a.b的算術(shù)平均數(shù)，也就是

8、兩個 非負數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù).如果從數(shù)列的角度理解就是正的 等比中項不大于等差中項.它們的幾何意義就是“半弦不大于半徑”. 師：當然除了基本不等式有特殊的代數(shù)意義和幾何意義外，，它還可以通過變形 和代換推出其它很多的不等式，變形：，兩邊平方得：. 學(xué)習(xí)了基本不等式，我們應(yīng)該如何使用呢？這里，兩個a，b可以用是兩個非負 的常數(shù)，也可以是兩個非負的表達式，比如：， 等等，代換的表達式是一個變量，多個變量，可以是一次式，二次式，分式，根 式，指數(shù)式，對數(shù)式……，只需替換的兩個表達式是非負數(shù)即可.接下來由你們 用兩個非負的表達式來代換a，b，，并把不等式及不等式成立

9、的條件寫在例1 的位置，選擇部分同學(xué)將它作為本節(jié)課的例題，一起來給予證明. -25分鐘 四、編證演練，鞏固新知 活動二 請你用基本不等式：當時，通過代換a，b，得到不等式. 教學(xué)設(shè)想：1.發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，創(chuàng)造力. 2.最好出現(xiàn)：，，，，， 3.選擇兩個：其中一個我證.另外一個與書上的例題相同形式的學(xué)生證.（如果未出現(xiàn)，在的基礎(chǔ)上，一邊變成常數(shù)，修改.）讓其它同學(xué)證明.點評：要是一邊是常數(shù)，只需代換基本不等式的兩個表達式的乘積是定值就可以了. 4.進一步深化，我來編一個，你們來證：. （如果學(xué)生沒有證到，我就將替換的過程，以引導(dǎo)學(xué)生證明） 五、總結(jié)提

10、煉，內(nèi)化新知 1.知識結(jié)構(gòu)；通過變形和代換得到其它不等式. 2.學(xué)習(xí)過程； 觀察 猜想 證明 應(yīng)用，從感性到理性；從編題到解題. 3.思想方法：.數(shù)形結(jié)合思想，整體代換思想. 其實今天這堂課不僅收獲了基本不等式，替換得到的很多不等式，這些都是我們同學(xué)自己發(fā)現(xiàn)并驗證的，說明我們同學(xué)還是很有創(chuàng)造力和想象力，在今后的學(xué)習(xí)中，敢于創(chuàng)新，勇于鉆研，我們在座的都可能成為笛卡爾. 六、課外作業(yè)，延伸新知 （1）必做題：課本P98 1，2，6，7． （2）探究題：請在課后利用基本不等式 當時，（當且僅當時，取“=”），通過代換a，b，“造”出一些不等式．請用“我編你證”模式完成：求證：若 ，則 ． 投影儀 課題 1.基本不等式.:…… 2.證明方法……. 3.變形 4.代換 七、板書設(shè)計