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1、4 π
π
π
3 π
π
歐陽(yáng)索引創(chuàng)編
2021.02.02
三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 1
歐陽(yáng)家百（2021.03.07） 一、選擇題
1．如果|cosx|=cos（x+π），則 x 的取值集合是（）
A．－
π
+2kπ≤x≤
π
+2kπ B．－
π
+2kπ≤x≤
3 π
+2kπ
2 2 2 2
C．
π
+2kπ≤x≤
3 π
+2kπ D．（2k+1）π≤x≤2（k+1）π（以
2 2
上 k∈Z） 2．sin（－
19
2、 π
6
）的值是（）
A．
1
B．－
1
C．
3
D．－
3
2 2 3．下列三角函數(shù)：
2
2
①sin（nπ+
）；②cos（2nπ+ ）；③sin（2nπ+ 3 6 3
）；④cos
［（2n+1）π－
π
6
］；
⑤sin［（2n+1）π－
π
3
］（n∈Z）．
其中函數(shù)值與
sin
π
的值相同的是（）
3
A．①② B．①③④
C．②③⑤
D．①③⑤
4．若 cos（π+α）=－
3、
10
5
，且 α∈（－
，0），則 tan（ 2 2
+α）
的值為（）
A．－
6
B．
6
C．－
6
D．
6
3
3
2
2
5．設(shè) A、B、C 是三角形的三個(gè)內(nèi)角，下列關(guān)系恒成立的是
（）
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1
1
歐陽(yáng)索引創(chuàng)編
2021.02.02
A．cos（A+B）=cosCB．sin（A+B）=sinC C．tan（A+B）
=tanCD．sin
A +B
=
4、sin
C
2 2
6．函數(shù)
f（x）=cos
π x
（x∈Z）的值域?yàn)椋ǎ?
3
A．{－1，－
1
，0，
1
，1} B．{－1，－
1
，
1
，1}
2 2 2 2
C．{－1，－
3
2
，0，
3
2
，1} D ． {－ 1 ，－
3
2
，
3
2
，
1}
二、填空題
7．若 α 是第三象限角，則
1 -2 sin(π -a)cos(π -a)
=_________．
5、8．sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=_________．
三、解答題
9．求值：sin（－660°）cos420°－tan330°cot（－690°）．
10．證明：
2sin(π +q)×cosq-1 tan(9 π +q)-1
=
1 -2sin 2q tan(π +q)+1
．
11．已知
cosα= ，cos（α+β）=1，求證：cos（2α+β）= ． 3 3
12．化簡(jiǎn)：
1 +2sin 290°cos 430° sin 250°+cos 790°
．
13、求證：
6、
tan(2 π -q)sin(-2π -q)cos(6 π -q)
cos(q-π) sin(5 π +q)
=tanθ．
14．求證：（1）sin（
3 π
2
－α）=－cosα；
（2）cos（
3 π
2
+α）=sinα．
參考答案 1
一、選擇題
1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B
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q -sin
1
3 π
π
π
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二、填空題
7．－sinα－cosα 8． 三、解答題
7、
89
2
9．
3
4
+1．
10．證明：左邊=
-2sin
qcosq-1
cos
2 2
q
=－
(cos
(sin q+cosq)2 q+sin q)(cosq-sin
sin
=
q) sin
q+cos
q-cos
q
q
，
右邊=
-tan q-1 tan q+1 sin q+cosq = =
-tan q+1 tan q-1 sin q-cosq
，
左邊=右邊，∴原等式成立．
11．證明：∵cos（α+β
8、）=1，∴α+β=2kπ．
∴cos（2α+β）=cos（α+α+β）=cos（α+2kπ）=cosα= ．
3
12．解：
1 +2sin 290°cos 430° sin 250°+cos 790°
=
=
1 +2sin( -70°+360°)cos(70°+360°) sin(180°+70°)+cos(70°+2′360°)
1 -2 sin 70°cos 70 °
cos 70 °-sin 70 °
=
(sin 70°-cos 70°) cos 70°-sin 70°
2
=
s
9、in 70°-cos70° cos70°-sin 70°
=－1．
13 ．證明：左邊 =
tan(-q)sin( -q)cos(-q) (-tan q)( -sin q) cos
=
( -cos q)( -sin q) cos qsin q
q
=tanθ= 右
邊，
∴原等式成立． 14 證明：（1）sin（
－α）=sin［π+（ －α）］=－sin（ 2 2 2
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－
π 3
1
1 3π
π
A. （4+
） B. （4-
） C. （4±
10、） D. （
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α）=－cosα．
（2）cos（
3 π
+α）=cos［π+（
π
+α）］=－cos（
π
+α）=sinα．
2 2 2
三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 2
一、選擇題：
1．已知
sin( +α)=
4 2
，則
sin(
3π
4
-α)值為（）
A. B.
2
—
1
2
C.
3
2
D. —
3
2
2．cos(
p
11、
+α)= — ， <α< 2p,sin( 2p-α) 2 2
值為（）
A.
3
2
B.
1
2
C.
±
3
2
D. —
3
2
3．化簡(jiǎn)：
1 +2sin(p-2) ? cos(p-2)
得（）
A.sin2+cos2 B.cos2-sin2 C.sin2-cos2 D.±
(cos2-sin2)
4．已知 α 和 β 的終邊關(guān)于 x 軸對(duì)稱，則下列各式中正確的是 （）
A.sinα=sinβ B. sin(α-
2p
12、
) =sinβ C.cosα=cosβ D.
cos(
2p
-α) =-cosβ
5．設(shè) tanθ=-2, - <θ<0，那么 sin
2
2
θ+cos(θ- 2p)的值等于（），
1 1 1 1
5 5 5
5 5 5 5 二、填空題：
5
-4）
6．cos(
p
-x)=
3
2
，x∈（-
p
， p
），則 x 的值為．
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π 1
7 π 5π
2
2
=
7
13、π
π
π
17 π
π
π
23 π
π
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7．tanα=m，則
sin(α+3p）+cos(π+α) sin( -α）-cos(π+α)
=
．
8．|sinα|=sin（- p +α），則 α 的取值范圍是． 三、解答題：
9．
sin(2π-α）sin(p+a)cos(-π-α)
sin(3π-α）·cos(π-α)
．
10．已知：sin（x+ ）= ，求
6 4
值．
11．求下列三角函數(shù)值：
sin（
+x ) +
14、cos2（ -x）的 6 6
（1）sin
7 π
；（2）cos
17 π
；（3）tan（－
23 π
）；
3 4 6
12．求下列三角函數(shù)值：
（1）sin
4 π
·cos
25 π
·tan
5 π
；
3 6 4
（2）sin［（2n+1）π－
2 π
3
］.
13．設(shè)
f（θ）=
2 cos
3
π
q+sin (2 π -q)+sin( +q)-3
2
，求
f（
15、
π
）的值.
2 +2cos (π +q)+cos( -q) 參考答案 2
1．C 2．A 3．C 4．C 5．A
3
6．±
5π
6
7．
m +1
m -1
8．[(2k-1)
p
,2k p]
9．原式=
-sinα( -sina) cos(π+α) sin 2α( -cosα) sin(π-α）·(-cosα) sinα?( -cosα)
= sinα 10．
11
16
11．解：（1）sin
=sin（2π+ ）=sin 3 3 3
16、
=
3
2
.
（2）cos
=cos（4π+ ）=cos 4 4 4
=
2
2
.
（3）tan（－
）=cos（－4π+ 6 6
）=cos
π
6
=
3
2
.
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4 π
25 π
5 π
π
π
π
π
π
2 π
π
2
3
2
2
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（4）sin（－765°）=sin［360°×（－2）－45°］=sin（－45°）
=－sin45°=－
17、
2
2
.
注：利用公式（1）、公式（2）可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化
為終邊在第一象限和第二象限的角的三角函數(shù)，從而求值.
12．解：（1）sin
·cos ·tan =sin（π+ ）·cos（4π+ 3 6 4 3 6
）·tan
（π+
π
4
）
=（－sin
）·cos ·tan
3 6 4
=（－
3
2
）·
3
2
·1=－
3
4
.
（2）sin［（2n+1）π－
2 π
3
］=sin（π－
）=sin
3
18、3
=
3
2
.
13．解：f（θ）=
2 cos
3
q+sin
2
q+cos
q-3
2 +2 cos q+cos q
=
2 cos
3
q+1-cos
2
q+cos
q-3
2 +2 cos
2
q+cos
q
=
2 cos
3
q-2 -(cos
2
q-cos
q)
2 +2 cos
2
q+cos
q
=
2(cos q-1) -cos q(cosq-1)
2 +2 cos
2
q+cos
q
19、=
2(cosq-1)(cos
2
q+cos
q+1) -cos
q(cosq-1)
2 +2 cos q+cosq
=
(cosq-1)(2cos
2
q+cosq+2)
2 +2cos q+cosq ＝cosθ－1，
∴f（
π
）=cos
π
－1=
1
－1=－
1
.
1．
3 3 2 2
三角函數(shù)公式
同角三角函數(shù)基本關(guān)系式
sin2α＋cos2α=1
sinα
cosα
=tanα
tanα
20、cotα=1
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2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2．
誘導(dǎo)公式
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(奇變偶不變，符號(hào)看象限)
（一）
sin(π－α)＝sinα sin(π+α)＝-sinα cos(π－α)＝-cosα cos(π+α)＝-cosα
tan(π－α)＝-tanα tan(π+α) ＝tanα
sin(2π－α)＝-sinα sin(2π+α) ＝sinα
cos(2π－α)＝cosα cos(2π+α)
21、＝cosα
tan(2π－α)＝-tanα tan(2π+α) ＝tanα
π
（二） sin(
π
－α)＝cosα sin( +α)＝cosα
3．
π π
cos( －α)＝sinα cos( +α)＝- sinα
π π
tan( －α)＝cotα tan( +α)＝-cotα
3π 3π
sin( －α)＝-cosα sin( +α)＝-cosα
3π 3π
cos( －α)＝-sinα cos( +α)＝sinα
3π 3π
tan( －α)＝cotα tan( +α)＝-cotα
sin(－α)
22、＝－sinα cos( －α)=cosα tan(－α)=－tanα 兩角和與差的三角函數(shù)
cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ
cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ
sin (α+β)=sinαcosβ＋cosαsinβ
sin (α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ
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tan2α=
sin2α ＝
a
4
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tan(α+β)=
tanα+tanβ 1－tanαtanβ
tan(α－β)=
tanα
23、－tanβ 1＋tanαtanβ
4．
二倍角公式
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α－sin2α＝2 cos2α－1＝1－2 sin2α
2tanα
1－tan2α
5．
公式的變形
（1）
升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α 1—cos2α ＝2sin2α
（2）
降冪公式：cos2α＝
1＋cos2α 1－cos2α 2 2
（3）
（4）
正切公式變形：tanα+tanβ＝tan(α+β)（1－tanαtanβ）
tanα－tan
24、β＝tan(α－β)（1＋tanαtanβ) 萬(wàn)能公式（用 tanα 表示其他三角函數(shù)值）
sin2α＝
2tanα
1+tan2α
1－tan2α
cos2α＝
1+tan2α
tan2α＝
2tanα
1－tan2α
6．
插入輔助角公式
b
asinx＋bcosx= a2+b2 sin(x+φ) (tanφ= )
π
特殊地：sinx±cosx＝ 2 sin(x± )
7．
熟悉形式的變形（如何變形）
1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosx tanx ＋cotx
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4
2 2
2 2 2 2 2
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1－tanα 1＋tanα
1＋tanα 1－tanα
π
若 A、B 是銳角，A+B＝ ，則（1＋tanA）(1+tanB)=2
8．
在三角形中的結(jié)論
若：A＋B＋C=π ,
A+B+C π
= 則有
tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC
A B B C C A tan tan ＋tan tan ＋tan tan ＝1
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