三角函數(shù)誘導(dǎo)公式練習(xí)題答案之歐陽學(xué)文創(chuàng)編之歐陽索引創(chuàng)編

4 π π π 3 π π 歐陽索引創(chuàng)編 2021.02.02 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 1 歐陽家百（2021.03.07） 一、選擇題 1．如果|cosx|=cos（x+π），則 x 的取值集合是（） A．－  π  +2kπ≤x≤  π  +2kπ B．－  π  +2kπ≤x≤  3 π  +2kπ 2 2 2 2 C．  π  +2kπ≤x≤ 3 π +2kπ D．（2k+1）π≤x≤2（k+1）π（以 2 2 上 k∈Z） 2．sin（－  19 π 6  ）的值是（） A．  1 B．－  1 C．  3 D．－  3 2 2 3．下列三角函數(shù)： 2 2 ①sin（nπ+  ）；②cos（2nπ+ ）；③sin（2nπ+ 3 6 3  ）；④cos ［（2n+1）π－ π 6 ］； ⑤sin［（2n+1）π－  π 3 ］（n∈Z）． 其中函數(shù)值與 sin  π 的值相同的是（） 3 A．①② B．①③④  C．②③⑤  D．①③⑤ 4．若 cos（π+α）=－  10 5  ，且 α∈（－  ，0），則 tan（ 2 2  +α） 的值為（） A．－  6  B．  6  C．－  6  D．  6 3 3 2 2 5．設(shè) A、B、C 是三角形的三個(gè)內(nèi)角，下列關(guān)系恒成立的是 （） 歐陽索引創(chuàng)編 2021.02.02 1 1 歐陽索引創(chuàng)編 2021.02.02 A．cos（A+B）=cosCB．sin（A+B）=sinC C．tan（A+B） =tanCD．sin  A +B  =sin  C 2 2 6．函數(shù) f（x）=cos π x （x∈Z）的值域?yàn)椋ǎ? 3 A．{－1，－ 1 ，0， 1 ，1} B．{－1，－ 1 ， 1 ，1} 2 2 2 2 C．{－1，－  3 2  ，0，  3 2  ，1} D ． {－ 1 ，－  3 2  ，  3 2  ， 1} 二、填空題 7．若 α 是第三象限角，則  1 -2 sin(π -a)cos(π -a)  =_________． 8．sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=_________． 三、解答題 9．求值：sin（－660°）cos420°－tan330°cot（－690°）． 10．證明：  2sin(π +q)×cosq-1 tan(9 π +q)-1 = 1 -2sin 2q tan(π +q)+1  ． 11．已知 cosα= ，cos（α+β）=1，求證：cos（2α+β）= ． 3 3 12．化簡：  1 +2sin 290°cos 430° sin 250°+cos 790°  ． 13、求證：  tan(2 π -q)sin(-2π -q)cos(6 π -q) cos(q-π) sin(5 π +q)  =tanθ． 14．求證：（1）sin（  3 π 2 －α）=－cosα； （2）cos（ 3 π 2 +α）=sinα． 參考答案 1 一、選擇題 1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 歐陽索引創(chuàng)編 2021.02.02 q -sin 1 3 π π π 歐陽索引創(chuàng)編 2021.02.02 二、填空題 7．－sinα－cosα 8． 三、解答題  89 2 9．  3 4  +1． 10．證明：左邊= -2sin qcosq-1 cos 2 2 q =－  (cos  (sin q+cosq)2 q+sin q)(cosq-sin  sin = q) sin  q+cos q-cos  q q  ， 右邊=  -tan q-1 tan q+1 sin q+cosq = = -tan q+1 tan q-1 sin q-cosq  ， 左邊=右邊，∴原等式成立． 11．證明：∵cos（α+β）=1，∴α+β=2kπ． ∴cos（2α+β）=cos（α+α+β）=cos（α+2kπ）=cosα= ． 3 12．解：  1 +2sin 290°cos 430° sin 250°+cos 790° = =  1 +2sin( -70°+360°)cos(70°+360°) sin(180°+70°)+cos(70°+2´360°) 1 -2 sin 70°cos 70 ° cos 70 °-sin 70 ° =  (sin 70°-cos 70°) cos 70°-sin 70°  2 =  sin 70°-cos70° cos70°-sin 70°  =－1． 13 ．證明：左邊 = tan(-q)sin( -q)cos(-q) (-tan q)( -sin q) cos = ( -cos q)( -sin q) cos qsin q q =tanθ= 右 邊，  ∴原等式成立． 14 證明：（1）sin（  －α）=sin［π+（ －α）］=－sin（ 2 2 2 歐陽索引創(chuàng)編 2021.02.02  － π 3 1 1 3π π A. （4+ ） B. （4- ） C. （4± ） D. （ 歐陽索引創(chuàng)編 2021.02.02 α）=－cosα． （2）cos（  3 π  +α）=cos［π+（  π  +α）］=－cos（  π  +α）=sinα． 2 2 2 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 2 一、選擇題： 1．已知  sin( +α)= 4 2  ，則  sin(  3π 4  -α)值為（） A. B. 2  —  1 2  C.  3 2  D. —  3 2 2．cos(  p  +α)= — ， <α< 2p,sin( 2p-α) 2 2  值為（） A.  3 2  B.  1 2  C.  ±  3 2  D. —  3 2 3．化簡：  1 +2sin(p-2) ? cos(p-2)  得（） A.sin2+cos2 B.cos2-sin2 C.sin2-cos2 D.± (cos2-sin2) 4．已知 α 和 β 的終邊關(guān)于 x 軸對稱，則下列各式中正確的是 （） A.sinα=sinβ B. sin(α-  2p  ) =sinβ C.cosα=cosβ D. cos(  2p  -α) =-cosβ 5．設(shè) tanθ=-2, - <θ<0，那么 sin 2  2  θ+cos(θ- 2p)的值等于（）， 1 1 1 1 5 5 5 5 5 5 5 二、填空題：  5 -4） 6．cos(  p  -x)=  3 2  ，x∈（-  p  ， p  ），則 x 的值為． 歐陽索引創(chuàng)編 2021.02.02 π 1 7 π 5π 2 2 = 7 π π π 17 π π π 23 π π 歐陽索引創(chuàng)編 2021.02.02 7．tanα=m，則  sin(α+3p）+cos(π+α) sin( -α）-cos(π+α)  =  ． 8．|sinα|=sin（- p +α），則 α 的取值范圍是． 三、解答題： 9．  sin(2π-α）sin(p+a)cos(-π-α) sin(3π-α）·cos(π-α)  ． 10．已知：sin（x+ ）= ，求 6 4 值． 11．求下列三角函數(shù)值：  sin（  +x ) +cos2（ -x）的 6 6 （1）sin  7 π  ；（2）cos  17 π  ；（3）tan（－  23 π  ）； 3 4 6 12．求下列三角函數(shù)值： （1）sin  4 π  ·cos  25 π  ·tan  5 π  ； 3 6 4 （2）sin［（2n+1）π－ 2 π 3 ］. 13．設(shè)  f（θ）=  2 cos  3  π q+sin (2 π -q)+sin( +q)-3 2  ，求  f（  π  ）的值. 2 +2cos (π +q)+cos( -q) 參考答案 2 1．C 2．A 3．C 4．C 5．A 3 6．±  5π 6  7．  m +1 m -1  8．[(2k-1)  p  ,2k p] 9．原式=  -sinα( -sina) cos(π+α) sin 2α( -cosα) sin(π-α）·(-cosα) sinα?( -cosα)  = sinα 10．  11 16 11．解：（1）sin  =sin（2π+ ）=sin 3 3 3  =  3 2  . （2）cos =cos（4π+ ）=cos 4 4 4 = 2 2 . （3）tan（－ ）=cos（－4π+ 6 6 ）=cos  π 6 = 3 2 . 歐陽索引創(chuàng)編 2021.02.02 4 π 25 π 5 π π π π π π 2 π π 2 3 2 2 歐陽索引創(chuàng)編 2021.02.02 （4）sin（－765°）=sin［360°×（－2）－45°］=sin（－45°） =－sin45°=－  2 2  . 注：利用公式（1）、公式（2）可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化 為終邊在第一象限和第二象限的角的三角函數(shù)，從而求值. 12．解：（1）sin  ·cos ·tan =sin（π+ ）·cos（4π+ 3 6 4 3 6  ）·tan （π+ π 4 ） =（－sin  ）·cos ·tan 3 6 4 =（－  3 2  ）·  3 2 ·1=－  3 4  . （2）sin［（2n+1）π－ 2 π 3 ］=sin（π－ ）=sin 3 3 = 3 2 . 13．解：f（θ）= 2 cos 3 q+sin 2 q+cos q-3 2 +2 cos q+cos q = 2 cos 3 q+1-cos 2 q+cos q-3 2 +2 cos 2 q+cos q = 2 cos 3 q-2 -(cos 2 q-cos q) 2 +2 cos 2 q+cos q = 2(cos q-1) -cos q(cosq-1) 2 +2 cos 2 q+cos q = 2(cosq-1)(cos 2 q+cos q+1) -cos q(cosq-1) 2 +2 cos q+cosq = (cosq-1)(2cos 2 q+cosq+2) 2 +2cos q+cosq ＝cosθ－1， ∴f（  π  ）=cos  π  －1=  1  －1=－  1  . 1． 3 3 2 2 三角函數(shù)公式 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式 sin2α＋cos2α=1 sinα cosα  =tanα tanαcotα=1 歐陽索引創(chuàng)編 2021.02.02 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2．  誘導(dǎo)公式 歐陽索引創(chuàng)編 2021.02.02 (奇變偶不變，符號(hào)看象限) （一）  sin(π－α)＝sinα sin(π+α)＝-sinα cos(π－α)＝-cosα cos(π+α)＝-cosα tan(π－α)＝-tanα tan(π+α) ＝tanα sin(2π－α)＝-sinα sin(2π+α) ＝sinα cos(2π－α)＝cosα cos(2π+α) ＝cosα tan(2π－α)＝-tanα tan(2π+α) ＝tanα π （二） sin(  π －α)＝cosα sin( +α)＝cosα 3．  π π cos( －α)＝sinα cos( +α)＝- sinα π π tan( －α)＝cotα tan( +α)＝-cotα 3π 3π sin( －α)＝-cosα sin( +α)＝-cosα 3π 3π cos( －α)＝-sinα cos( +α)＝sinα 3π 3π tan( －α)＝cotα tan( +α)＝-cotα sin(－α)＝－sinα cos( －α)=cosα tan(－α)=－tanα 兩角和與差的三角函數(shù) cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ sin (α+β)=sinαcosβ＋cosαsinβ sin (α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ 歐陽索引創(chuàng)編 2021.02.02 tan2α= sin2α ＝ a 4 歐陽索引創(chuàng)編 2021.02.02 tan(α+β)= tanα+tanβ 1－tanαtanβ tan(α－β)=  tanα－tanβ 1＋tanαtanβ 4．  二倍角公式 sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α－sin2α＝2 cos2α－1＝1－2 sin2α 2tanα 1－tan2α 5．  公式的變形 （1）  升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α 1—cos2α ＝2sin2α （2）  降冪公式：cos2α＝  1＋cos2α 1－cos2α 2 2 （3） （4）  正切公式變形：tanα+tanβ＝tan(α+β)（1－tanαtanβ） tanα－tanβ＝tan(α－β)（1＋tanαtanβ) 萬能公式（用 tanα 表示其他三角函數(shù)值） sin2α＝  2tanα 1+tan2α  1－tan2α cos2α＝ 1+tan2α  tan2α＝  2tanα 1－tan2α 6．  插入輔助角公式 b asinx＋bcosx= a2+b2 sin(x+φ) (tanφ= ) π 特殊地：sinx±cosx＝ 2 sin(x± ) 7．  熟悉形式的變形（如何變形） 1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosx tanx ＋cotx 歐陽索引創(chuàng)編 2021.02.02 4 2 2 2 2 2 2 2 歐陽索引創(chuàng)編 2021.02.02 1－tanα 1＋tanα 1＋tanα 1－tanα π 若 A、B 是銳角，A+B＝ ，則（1＋tanA）(1+tanB)=2 8．  在三角形中的結(jié)論 若：A＋B＋C=π ,  A+B+C π = 則有 tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC A B B C C A tan tan ＋tan tan ＋tan tan ＝1 歐陽索引創(chuàng)編 2021.02.02