2013年全國(guó)高考數(shù)學(xué) 試題分類匯編4 數(shù)列

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1、2013年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編4：數(shù)列 一、選擇題 ．（2013年高考上海卷（理））在數(shù)列中,,若一個(gè)7行12列的矩陣的第i行第j列的元素,()則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個(gè)數(shù)為( ) (A)18 (B)28 (C)48 (D)63 【答案】A. ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對(duì)））已知數(shù)列滿足,則的前10項(xiàng)和等于 (A) (B) (C) (D) 【答案】C ．（2013年高考新課標(biāo)1（理））設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為,的面積為,,若,,則( ) A.{

2、Sn}為遞減數(shù)列 B.{Sn}為遞增數(shù)列 C.{S2n-1}為遞增數(shù)列,{S2n}為遞減數(shù)列 D.{S2n-1}為遞減數(shù)列,{S2n}為遞增數(shù)列 【答案】B ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））函數(shù)的圖像如圖所示,在區(qū)間上可找到個(gè)不同的數(shù)使得則的取值范圍是 (A) (B) (C) (D) 【答案】B ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））已知等比數(shù)列的公比為q,記 則以下結(jié)論一定正確的是( ) A.數(shù)列為等差

3、數(shù)列,公差為 B.數(shù)列為等比數(shù)列,公比為 C.數(shù)列為等比數(shù)列,公比為 D.數(shù)列為等比數(shù)列,公比為 【答案】C ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,,則 (A) (B) (C) (D) 【答案】C ．（2013年高考新課標(biāo)1（理））設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））下面是關(guān)

4、于公差的等差數(shù)列的四個(gè)命題: 其中的真命題為 (A) (B) (C) (D) 【答案】D ．（2013年高考江西卷（理））等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,..的第四項(xiàng)等于 A.-24 B.0 C.12 D.24 【答案】A 二、填空題 ．（2013年高考四川卷（理））在等差數(shù)列中,,且為和的等比中項(xiàng),求數(shù)列的首項(xiàng)、公差及前項(xiàng)和. 【答案】解:設(shè)該數(shù)列公差為,前項(xiàng)和為.由已知,可得 . 所以, 解得,或,即數(shù)

5、列的首相為4,公差為0,或首相為1,公差為3. 所以數(shù)列的前項(xiàng)和或 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,則的最小值為________. 【答案】 ．（2013年高考湖北卷（理））古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1,3,6,10,,第個(gè)三角形數(shù)為.記第個(gè)邊形數(shù)為,以下列出了部分邊形數(shù)中第個(gè)數(shù)的表達(dá)式: 三角形數(shù) 正方形數(shù) 五邊形數(shù) 六邊形數(shù) 可以推測(cè)的表達(dá)式,由此計(jì)算___________. 選考題 【答案】1000

6、 ．（2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純WORD版含附加題））在正項(xiàng)等比數(shù)列中,,,則滿足的最大正整數(shù) 的值為_____________. 【答案】12 ．（2013年高考湖南卷（理））設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和,則 (1)_____; (2)___________. 【答案】; ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））當(dāng)時(shí),有如下表達(dá)式: 兩邊同時(shí)積分得: 從而得到如下等式: 請(qǐng)根據(jù)以下材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,計(jì)算: 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（

7、理）試題（含答案））已知是等差數(shù)列,,公差,為其前項(xiàng)和,若成等比數(shù)列,則 【答案】 ．（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）若等差數(shù)列的前6項(xiàng)和為23,前9項(xiàng)和為57,則數(shù)列的前項(xiàng)和__________. 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））在等差數(shù)列中,已知,則_____. 【答案】 ．（2013年高考陜西卷（理））觀察下列等式: 照此規(guī)律, 第n個(gè)等式可為_______. 【答案】 ．（2013年高考新課標(biāo)1（理））若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn=,則數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是=____

8、__. 【答案】=. ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））如圖,互不-相同的點(diǎn)和分別在角O的兩條邊上,所有相互平行,且所有梯形的面積均相等.設(shè)若則數(shù)列的通項(xiàng)公式是_________. 【答案】 ．（2013年高考北京卷（理））若等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20,a3+a5=40,則公比q=_______;前n項(xiàng)和Sn=___________. 【答案】2, ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列,是的前項(xiàng)和,若是方程的兩個(gè)根,則____________.

9、【答案】63 三、解答題 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））設(shè)函數(shù),證明: (Ⅰ)對(duì)每個(gè),存在唯一的,滿足; (Ⅱ)對(duì)任意,由(Ⅰ)中構(gòu)成的數(shù)列滿足. 【答案】解: (Ⅰ) 是x的單調(diào)遞增函數(shù),也是n的單調(diào)遞增函數(shù). . 綜上,對(duì)每個(gè),存在唯一的,滿足;(證畢) (Ⅱ) 由題知 上式相減: . 法二: ．（2013年高考上海卷（理））(3?分+6分+9分)給定常數(shù),定義函數(shù),數(shù)列滿足. (1)若,求及;(2)求證:對(duì)任意,; (3)是否存在,使得成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的,若不存在,說明理

10、由. 【答案】:(1)因?yàn)?,故, (2)要證明原命題,只需證明對(duì)任意都成立, 即只需證明 若,顯然有成立; 若,則顯然成立 綜上,恒成立,即對(duì)任意的, (3)由(2)知,若為等差數(shù)列,則公差,故n無限增大時(shí),總有 此時(shí), 即 故, 即, 當(dāng)時(shí),等式成立,且時(shí),,此時(shí)為等差數(shù)列,滿足題意; 若,則, 此時(shí),也滿足題意; 綜上,滿足題意的的取值范圍是. ．（2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純WORD版含附加題））本小題滿分10分. 設(shè)數(shù)列,即當(dāng)時(shí),,記,對(duì)于,定義集合 (1)求集合中元素的個(gè)數(shù); (2)求集合中元素

11、的個(gè)數(shù). 【答案】本題主要考察集合.數(shù)列的概念與運(yùn)算.計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí),考察探究能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法分析解決問題能力及推理論證能力. (1)解:由數(shù)列的定義得:,,,,,,,,,, ∴,,,,,,,,,, ∴,,,, ∴集合中元素的個(gè)數(shù)為5 (2)證明:用數(shù)學(xué)歸納法先證 事實(shí)上, ① 當(dāng)時(shí), 故原式成立 ② 假設(shè)當(dāng)時(shí),等式成立,即 故原式成立 則:,時(shí), 綜合①②得: 于是 由上可知:是的倍數(shù) 而,所以是 的倍數(shù) 又不是的倍數(shù), 而 所以不是的倍數(shù) 故當(dāng)時(shí),集合中元素的個(gè)數(shù)為 于是當(dāng)時(shí),集合中元素的個(gè)數(shù)為 又 故集合中元素的個(gè)數(shù)為

12、 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））在公差為的等差數(shù)列中,已知,且成等比數(shù)列. (1)求; (2)若,求 【答案】解:(Ⅰ)由已知得到: ; (Ⅱ)由(1)知,當(dāng)時(shí),, ①當(dāng)時(shí), ②當(dāng)時(shí), 所以,綜上所述:; ．（2013年高考湖北卷（理））已知等比數(shù)列滿足:,. (I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (II)是否存在正整數(shù),使得?若存在,求的最小值;若不存在,說明理由. 【答案】解:(I)由已知條件得:,又,, 所以數(shù)列的通項(xiàng)或 (II)若,,不存在這樣的正整數(shù); 若,,不存在這樣的正整數(shù). ．（2013

13、年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,. (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為,且 (為常數(shù)).令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【答案】解:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為, 由,得 , 解得,, 因此 (Ⅱ)由題意知: 所以時(shí), 故, 所以, 則 兩式相減得 整理得 所以數(shù)列數(shù)列的前n項(xiàng)和 ．（2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純WORD版含附加題））本小題滿分16分.設(shè)是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,是其前項(xiàng)和.記,,其中為實(shí)數(shù). (1)若,且成等比數(shù)列,證明:(

14、); (2)若是等差數(shù)列,證明:. 【答案】證明:∵是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,是其前項(xiàng)和 ∴ (1)∵ ∴ ∵成等比數(shù)列 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴左邊= 右邊= ∴左邊=右邊∴原式成立 (2)∵是等差數(shù)列∴設(shè)公差為,∴帶入得: ∴對(duì)恒成立 ∴ 由①式得: ∵ ∴ 由③式得: 法二:證:(1)若,則,,. 當(dāng)成等比數(shù)列,, 即:,得:,又,故. 由此:,,. 故:(). (2), . (※) 若是等差數(shù)列,則型. 觀察(※)式后一項(xiàng),分子冪低于分母冪, 故有:,即,而≠0, 故. 經(jīng)檢

15、驗(yàn),當(dāng)時(shí)是等差數(shù)列. ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對(duì)））等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,且成等比數(shù)列,求的通項(xiàng)式. 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列不是遞減數(shù)列, 其前n項(xiàng)和為, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差數(shù)列. (Ⅰ) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ) 設(shè), 求數(shù)列的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值. 【答案】 ．（2013年高考江西卷（理））正項(xiàng)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和{an}滿足: (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an; (

16、2)令,數(shù)列{bn}的前項(xiàng)和為.證明:對(duì)于任意的,都有 【答案】(1)解:由,得. 由于是正項(xiàng)數(shù)列,所以. 于是時(shí),. 綜上,數(shù)列的通項(xiàng). (2)證明:由于. 則. . ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知,,. (Ⅰ) 求的值; (Ⅱ) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅲ) 證明:對(duì)一切正整數(shù),有. 【答案】.(1) 解: ,. 當(dāng)時(shí), 又, (2)解: ,. ① 當(dāng)時(shí), ② 由① — ②,得 數(shù)列是以首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列. 當(dāng)時(shí),上式顯然成

17、立. (3)證明:由(2)知, ①當(dāng)時(shí),,原不等式成立. ②當(dāng)時(shí), ,原不等式亦成立. ③當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),,原不等式亦成立. 綜上,對(duì)一切正整數(shù),有. ．（2013年高考北京卷（理））已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An,第n項(xiàng)之后各項(xiàng),,的最小值記為Bn,dn=An-Bn . (I)若{an}為2,1,4,3,2,1,4,3,,是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對(duì)任意n∈N*,),寫出d1,d2,d3,d4的值; (II)設(shè)d為非負(fù)整數(shù),證明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要條件為{an}為公差為d的等差數(shù)列; (III

18、)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),則{an}的項(xiàng)只能是1或者2,且有無窮多項(xiàng)為1. 【答案】(I) (II)(充分性)因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列,且,所以 因此,,. (必要性)因?yàn)?所以. 又因?yàn)?,所以. 于是,. 因此,即是公差為的等差數(shù)列. (III)因?yàn)?所以,.故對(duì)任意. 假設(shè)中存在大于2的項(xiàng). 設(shè)為滿足的最小正整數(shù),則,并且對(duì)任意,. 又因?yàn)?所以,且. 于是,. 故,與矛盾. 所以對(duì)于任意,有,即非負(fù)整數(shù)列的各項(xiàng)只能為1或2. 因此對(duì)任意,,所以. 故. 因此對(duì)于任意正整數(shù),存在滿足,且,即數(shù)列有無窮多項(xiàng)為1. ．（2013年高考陜西卷（理）） 設(shè)是公比為q的等比數(shù)列. (Ⅰ) 導(dǎo)的前n項(xiàng)和公式; (Ⅱ) 設(shè)q≠1, 證明數(shù)列不是等比數(shù)列. 【答案】解:(Ⅰ) 分兩種情況討論. ① ②. 上面兩式錯(cuò)位相減: . ③綜上, (Ⅱ) 使用反證法. 設(shè)是公比q≠1的等比數(shù)列, 假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列.則 ①當(dāng)=0成立,則不是等比數(shù)列. ②當(dāng)成立,則 .這與題目條件q≠1矛盾. ③綜上兩種情況,假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列均不成立,所以當(dāng)q≠1時(shí), 數(shù)列不是等比數(shù)列.